מציג תוצאות 1 עד 5 מתוך 5

אשכול: פתרון סינגולרי

  1. #1
    הסמל האישי שלletisya800 משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל פתרון סינגולרי

    בסעיפים ב-ג,באיזה שלב אני בודקת פתרון סינגולרי אם השתמשתי בהצבה z=\frac{y}{x}?
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: doc דיפרנציאליות 1.doc‏ (655.0 ק"ב , 89 צפיות) ב"ה משוואות דיפרנציאליות רגילות תרגיל בית מספר 1 שאלה 1 המשוואה סדר המשוואה לינארית/לא לינארית סקצשן* 2)':)»; סדר 1 לא לינארית 0:יע)ע5+:נ2(+ן7173 סדר 1 לא לינארית y':2xa?y סדר 1 לינארית Wm” ., y +x2y:0 סדר 3 לינארית yLZyLV')! ”racy: 0 סדר 2 לא לינארית שאלה 2 סעיף א x y xe y y x - = ¢ נחלק את שני אגפי המשוואה ב- x ונקבל: 0 ¹ - = ¢ x e x y y x y נסמן: x y z = ז"א zx y = ¬ ¢ + = ¢ z x z y c x x y x y c x e c x c e x e c x e dz dx e dz dx e dx dz e z x e z z x z x y x y z z z z z z + - = - = + = + = + + = + + - = - = - = - = ¢ - = ¢ + - - - ò ò ln ln 0 0 חילקנו ב- x ולכן נחפש פתרון סינגולרי: ??? סעיף ב dx dy x y dx dy x y x xdy dx y x xdy dx y x = + = + = + = - + 2 1 2 ) 2 ( 0 ) 2 ( נסמן: x y z zx y x z z y = ¬ = ¬ ¢ + = ¢ c x z x dx z dz x x dx z dz x z z x z z z + = + = + ¹ = + ¢ = + ¢ + = + ò ò ln 1 ln 1 0 1 1 2 1 נחזור למשתנים מקוריים x c x y c x x y c x x y - = = + = + ~ ~ 1 ln 2 2 חילקנו ב- x ולכן נחפש פתרון סינגולרי: ??? סעיף ג 0 2 3 4 2 3 4 ¹ - - = ¢ - - = ¢ x x y x y y y x x y y נסמן: x y z zx y = ¬ = x z z y ¢ + = ¢ dz z z z dx z z z dx dz z z z x z z z z x z z z x z z 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 2 3 4 2 2 2 - + - = - - + = - - + = ¢ - - - = ¢ - - = ¢ + 4 5 4 1 ) 3 ( ) 1 ( 2 1 3 ) 1 )( 3 ( 2 - = = + + - = - - + + = - + - B A z B z A z z B z A z z x c x z z dx dz z z + = - - + = - - + ò ò ò 1 ln 4 5 3 ln 4 1 1 1 4 5 3 1 4 1 נחזור למשתנים מקוריים: c x x y x y + = - - + 1 ln 4 5 3 ln 4 1 חילקנו ב- x ולכן נחפש פתרון סינגולרי: ??? סעיף ד xy y x y 2 3 2 2 + = ¢ נניח כי 0 ¹ x ונחלק מונה ומכנה ב- 2 x ,נקבל: x y x y y 2 3 1 2 ÷ ø ö ç è æ + = ¢ נסמן: x y z zx y = ¬ = x z z y ¢ + = ¢ z z xz z 2 3 1 ' 2 + = + c x x y x y c x z c x z dz x dx z dz x dx z z xz z = - = + = + + = + = + = + ò ò ln 2 1 cot 2 cot 2 ln 2 1 cot 2 ln 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 ' 2 2 2 2 2 2 שאלה 3 תהי ) ( ) ( ' * x f y x a y = + משוואה דיפרנציאלית לינארית לא הומוגנית ויהיו 2 1 , p p y y שני פתרונות שלה, נמצא תנאי על b a , עבורם יתקיים: 2 1 p p y y b a + גם פתרון למשוואה*. 2 1 , p p y y שני פתרונות למשוואה * ולכן: ) ( ) ( ' ) ( ) ( ' 2 2 1 1 x f y x a y x f y x a y p p p p = + = + נרצה לדעת מתי יתקיים: ) ( ) )( ( )' ( 2 1 2 1 x f y y x a y y p p p p = + + + b a b a : ) ( ) ( ) ( ) ) ( ' ( ) ) ( ' ( ) )( ( )' ( ) ( 2 2 ) ( 1 1 2 1 2 1 x f x f x f y x a y y x a y y y x a y y x f p p x f p p p p p p = + = + + + = + + + = = b a b a b a b a 4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 [ ] 1 0 1 0 ) ( 0 1 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + ® = - + ¹ = - + × = - + = + b a b a b a b a b a x f x f x f x f x f x f x f x f שאלה 4 מד"ר לינארית לא הומוגנית מסדר ראשון היא מהצורה ) ( ) ( ' x f y x a y = + נתון כי 2 1 , p p y y פתרונות פרטיים,כלומר מתקיים : ) ( ) ( ' ) ( ) ( ' 2 2 1 1 x f y x a y x f y x a y p p p p = + = + [ ] 0 ) ( )' ( 2 1 2 1 = - × + - Þ p p p p y y x a y y זאת אומרת 2 1 p p y y - פתרון פרטי למשוואה הומוגנית 0 ) ( ' = + y x a y טענה: הפתרון הכללי של המשוואה יהיה: ò - × - = dx y y x f y y y p p p p ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 . הסבר לטענה: 2 1 p p y y - פתרון פרטי למשוואה הומוגנית 0 ) ( ' = + y x a y ,לכן מחפשים פונקציה ) ( x v עבורה v y y y p p × - = ) ( 2 1 הוא פתרון למשוואה ) ( ) ( ' x f y x a y = + . נציב את v y y y p p × - = ) ( 2 1 ב- ) ( ) ( ' x f y x a y = + ונקבל: ) ( ) )( ( ' ) ( )' ( 2 1 2 1 2 1 x f y y x a v y y v y y p p p p p p = - + × - + × - נוציא v כגורם משותף : [ ] ) ( ' ) ( ) )( ( )' ( 2 1 2 1 2 1 x f v y y v y y x a y y v p p p p p p = × - + - + - × מכיוון ש- v y y p p × - ) ( 2 1 פתרון למשוואה ההומוגנית אזי [ ] 0 ) )( ( )' ( 2 1 2 1 = - + - p p p p y y x a y y קיבלנו ) ( ' ) ( 2 1 x f v y y p p = - כלומר ) ( ) ( ' 2 1 p p y y x f v - = ולכן ) ( ) ( 2 1 p p y y x f v - = ò לכן הפתרון הכללי של המשוואה יהיה: ò - × - = dx y y x f y y y p p p p ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 שאלה 5 תהי 0 ) ( ' * = + y x a y משוואה לינארית הומוגנית מסדר ראשון ויהיו 2 1 , y y שני פתרונות שלה. נוכיח כי לכל R Î 2 1 , l l הצירוף הלינארי 2 2 1 1 y y l l + גם פתרון למשוואה *. 2 1 , y y שני פתרונות לכן : 0 ) ( ' 0 ) ( ' 2 2 1 1 = + = + y x a y y x a y 0 ) )( ( )' ( 2 1 2 1 = - + - Þ y y x a y y כעת נבדוק אם 2 2 1 1 y y × + × l l גם מהווה פתרון למשוואה * זאת אומרת נבדוק האם מתקיים 0 ) )( ( )' ( 2 2 1 1 2 2 1 1 º + + + y y x a y y l l l l . ( ) ( ) 0 ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ' ) )( ( )' ( 0 2 2 2 0 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = + + + = + + + = + + + = = 4 4 3 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 y x a y y x a y y x a y x a y y y y x a y y l l l l l l l l l l מסקנה: 2 2 1 1 y y l l + גם פתרון למשוואה *. שאלה 6 סעיף א { y y y x M x N y M x N y M dy y x dx y ydx dy x y N M 1 2 1 ) , ( 2 1 0 ) sin 2 ( ) 2 (sin - = - = ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ = ¶ ¶ = - + = - 4 3 4 2 1 הביטוי ) , ( y x M x N y M ¶ ¶ - ¶ ¶ פונקציה של y בלבד כלומר קיימת פונקציה ) ( y h כך שמתקיים y y h 1 ) ( - = אזי גורם האינטגרציה למשוואה הנתונה יהיה dy y dy y h e e y x I ò = ò = - 1 ) ( ) , ( . נכפול את שני אגפי המשוואה המקורית ב- ) , ( y x I ונקבל: 0 ) 2 (sin ) 2 (sin ) 2 (sin 2 2 ln ln = - - = - = - dx y dy x y y dx y dy x y y ydx e dy x y e y y קיבלנו משוואה מדויקת,כי x N y y M ¶ ¶ = - = ¶ ¶ 2 , נחפש כעת פונקצית פוטנציאל שתתאים לאגף שמאל במשוואה: ò ò + - = - = = ) ( ) , ( ) , ( 2 2 y c x y dx y dx y x M y x U נגזור לפי y : c x x x x y c y y y c xy xy y y y c x y y y c xy ~ cos sin ) ( sin ) ( ' 2 2 sin ) ( ' ) 2 (sin ) ( ' 2 + - = = + - = - = + - קיים 2 c כך ש- c c c = - 2 ~ c x x x x x y y x U + - + - = cos sin ) , ( 2 הפתרון הכללי יהיה c x x x x x y = + - cos sin 2 . סעיף ב 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ' ) 2 ( 3 3 3 3 3 = + - = - + = + = + = + dy y x ydx ydx dy y x ydx dy y x y dx dy y x y y y x { y y y x M x N y M x N y M dy y x dx y N M 2 ) 1 ( 1 ) , ( 1 1 0 ) 2 ( 3 = - - = ¶ ¶ - ¶ ¶ - = ¶ ¶ = ¶ ¶ = - - + 4 3 4 2 1 הביטוי ) , ( y x M x N y M ¶ ¶ - ¶ ¶ EMBED Equation.3 ) , ( y x M x N y M ¶ ¶ - ¶ ¶ פונקציה של y בלבד כלומר קיימת פונקציה ) ( y h כך שמתקיים y y h 2 ) ( = . אזי גורם האינטגרציה למשוואה הנתונה יהיה 2 ln 2 2 ) ( 1 ) , ( y e e e y x I y dy y dy y h = = ò = ò = - - - . נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה ונקבל: 0 2 1 0 1 ) 3 ( 1 2 2 3 2 = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - + = × - - + dy y y x dx y dy y y x ydx y קיבלנו משוואה מדויקת.נחפש כעת פונקצית פוטנציאל מתאימה לאגף שמאל: ò + = = ) ( 1 1 ) , ( y c x y dx y y x U נגזור לפי y ונקבל: 1 2 2 2 ) ( 2 ) ( ' 2 ) ( ' c y y c y y c y y x y c y x + - = - = - - = + - 1 2 1 ) , ( c y x y y x U + - = קיים 2 c כך ש- 1 2 ~ c c c - = 2 1 2 1 ) , ( c c y x y y x U = + - = לכן הפתרון הכללי יהיה: c x y y ~ 1 2 = - שאלה 7 סעיף א x y x y y cot cos ' 4 + = טענה: זוהי משוואת ברנולי כי היא מהצורה n y x q y x p y ) ( ) ( ' = + עבור 1 ¹ n . נסמן: 3 4 1 - - = = y y z Ü dx dy y dx dz = - = - 4 3 x x z z x z x z x y x z x y x y y z x y x y y z y z y cos 3 cot 3 ' cot 3 cos 3 ' cot 3 cos 3 ' cot 3 cos 3 ' cot cos 3 ' 3 ' ' 3 4 4 4 4 4 - = + - - = - - = - - = + = - - = קיבלנו משוואה לינארית מסדר ראשון שהפתרון שלה נתון על ידי: ò ò ò = - × = × - = ò × - ò = - - dx x x x dx e x e dx e x e y x x xdx x ) )(sin cos 3 ( sin 1 ) cos 3 ( ) cos 3 ( ) ln(sin ) ln(sin cot cot x c x x c x x sin cot cos 2 3 cos 2 3 sin 1 2 + × = ÷ ø ö ç è æ + × לכן הפתרון הכללי יהיה: x c x x y sin cot cos 2 3 + × = סעיף ב { x y xy x y xy y xy y y x y x N x N y M y y x N x y M dy y xy dx x y y xy x y dx dy y xy x y y x y y x y y y y x y y x N M 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ) , ( ln 2 1 * * * 0 ) ln 2 1 ( 1 ln 2 1 ln 2 ' ln 2 ' ' ) ln 2 ( 2 2 = - + = - + = ¶ ¶ - ¶ ¶ - = ¶ ¶ = ¶ ¶ = - + - = - = - = = - 4 4 3 4 4 2 1 קיבלנו שהביטוי ) , ( y x N x N y M ¶ ¶ - ¶ ¶ פונקציה של המשתנה - x בלבד כלומר קיימת פונקציה ) ( x g כך ש- ) ( ) , ( x g y x N x N y M = ¶ ¶ - ¶ ¶ ואז גורם האינטגרציה למשואה יהיה x e e y x I x dx x g 1 ) , ( ln ) ( = = ò = - . עכשיו נכפול את שני אגפי המשוואה *** בגורם האינטגרציה ונקבל: 0 ) ln 2 1 ( ln 2 = - × + - dy x y xy e dx x y x טענה: המשוואה שהתקבלה היא משוואה מדויקת. למה? כי מתקיים תנאי הכרחי ומספיק 2 1 x x N y M = ¶ ¶ = ¶ ¶ אם כך אפשר לחפש פונקצית פוטנציאל ) , ( y x U עבורה יתקיים: + + + - = = x y xy U x y U y x ) ln 2 1 ( ' ' 2 מאחר ש- 2 ' x y U x = נקבל לאחר אינטגרציה לפי המשתנה x : ) ( 1 2 2 y c x y dx x y dx x y U + - = = = ò ò נגזור את שני אגפי המשוואה לפי המשתנה y ונקבל: ) ( ' 1 ' y c x U y + - = נשווה זאת ל- y U ' +++ ונקבל: ò ò + - - = - = - = + - = - c y y x y ydy y x dy y c y y x y c y c x y y x ) 1 ln 2 ( 2 1 2 ln 2 2 ) ( ' ln 2 2 ) ( ' ) ( ' 1 ln 2 1 2 ואז הפתרון הכללי יהיה: c y y x y = - - ) 1 ln 2 ( 2 1 2 כי נתון שהמשוואה לא הומוגנית _1444715716.unknown _1444716414.unknown _1444717015.unknown _1444718843.unknown _1444719468.unknown _1444721441.unknown _1445146057.unknown _1445146097.unknown _1445146234.unknown _1445146513.unknown _1445146074.unknown _1444721455.unknown _1444719535.unknown _1444720280.unknown _1444721421.unknown _1444719893.unknown _1444719964.unknown _1444719881.unknown _1444719499.unknown _1444719508.unknown _1444719482.unknown _1444719270.unknown _1444719399.unknown _1444719445.unknown _1444719292.unknown _1444718971.unknown _1444719026.unknown _1444719158.unknown _1444718956.unknown _1444718477.unknown _1444718630.unknown _1444718802.unknown _1444718553.unknown _1444718224.unknown _1444718247.unknown _1444717107.unknown _1444716565.unknown _1444716866.unknown _1444716964.unknown _1444716984.unknown _1444716876.unknown _1444716703.unknown _1444716814.unknown _1444716582.unknown _1444716471.unknown _1444716509.unknown _1444716429.unknown _1444716450.unknown _1444715858.unknown _1444716387.unknown _1444716391.unknown _1444716393.unknown _1444716395.unknown _1444716397.unknown _1444716398.unknown _1444716396.unknown _1444716394.unknown _1444716392.unknown _1444716389.unknown _1444716390.unknown _1444716388.unknown _1444716382.unknown _1444716385.unknown _1444716386.unknown _1444716384.unknown _1444716380.unknown _1444716381.unknown _1444716253.unknown _1444715859.unknown _1444715850.unknown _1444715854.unknown _1444715856.unknown _1444715857.unknown _1444715855.unknown _1444715852.unknown _1444715853.unknown _1444715851.unknown _1444715720.unknown _1444715722.unknown _1444715849.unknown _1444715721.unknown _1444715718.unknown _1444715719.unknown _1444715717.unknown _1444333132.unknown _1444715700.unknown _1444715708.unknown _1444715712.unknown _1444715714.unknown _1444715715.unknown _1444715713.unknown _1444715710.unknown _1444715711.unknown _1444715709.unknown _1444715704.unknown _1444715706.unknown _1444715707.unknown _1444715705.unknown _1444715702.unknown _1444715703.unknown _1444715701.unknown _1444715647.unknown _1444715651.unknown _1444715653.unknown _1444715655.unknown _1444715652.unknown _1444715649.unknown _1444715650.unknown _1444715648.unknown _1444334662.unknown _1444338030.unknown _1444715646.unknown _1444336585.unknown _1444337022.unknown _1444335076.unknown _1444333429.unknown _1444333574.unknown _1444136206.unknown _1444136573.unknown _1444321414.unknown _1444321429.unknown _1444136231.unknown _1444136221.unknown Wm” ., y +x2y:0 _1444136089.unknown _1444136137.unknown yLZyLV')! ”racy: 0 0:יע)ע5+:נ2(+ן7173 y':2xa?y סקצשן* 2)':)»;

  2. #2
    אסיסטנט חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    האמת היא שחילקת ב-x, אז כאן צריך לבדוק האם יש פיתרון סינגולרי (של x כפונקציה של y).במקרה הראשון המשוואה לא מוגדת אם x=0, ולכן זהו לא פתרון.
    בתרגיל הבא זה שוב ככה, צריך לבדוק האם x(y)=0 פתרון. כן זה באמת פתרון, כי אם x=0 אז גם dx=0 ונקבל אמת.
    ב-ג' אם נעשה בחזקת מינוס 1 לפני האגפים, נקבל באגף שמאל 'x, ואם נציב x=0 נקבל פסוק שקר, לכן זהו לא פתרון.
    ב-ד' אין בעיה כזו וגם לא צריך להניח שx שונה מאפס, כי שם המשוואה כבר נתונה בצורה שבה x לא יכול להיות אפס. נימוק קצת יותר פורמלי כאן הוא כזה- המשוואה היא מהצורה (y'=f(x,y, כאשר הפונ' f לא רציפה בx=0 או y=0. המקרה המיוחד כאן הוא x=0 וגם y=0, שהוא דיי מוזר לעצמו. אם למדת גבולות של פונקציות בשני משתנים, אפשר להוכיח שהגבול כשx,y שואפים לאפס של הפונ' f לא קיים, ולכן אני לא חושב שכדאי לדון במקרה הזה בפתרונות סינגולריים בx=0,y=0.
    אהבתי letisya800 אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    הסמל האישי שלletisya800 משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    סעיפים א-ב הבנתי

    סעיף ד -ברור (בכל אופן תודה )

    סעיף ג- לא הבנתי למה אתה מתכוון כשאתה אומר "נעשה בחזקת מינוס אחד לפני האגפים". אתה יכול בבקשה לכתוב במפורש?

    תודה

  4. #4
    אסיסטנט חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אנחנו רוצים לבדוק האם יש פתרון סינגולרי בx=0. כדי לעשות זאת, נשים לב שצורת המשוואה היא:
    daum_equation_1383681181656.png
    הסוף הוא סתירה, ולכן x=0 אינו פתרון.
    המעבר בכתום הוא הנימוק שלא הבנת, וזה בערך ככה - החלפתי מונים ומכנים, ואם לרגע נתייחס לזה פורמלית כשבר - פשוט העלתי בחזקת 1- את שני האגפים.
    האמת שיש כאן איזו הנחה מובלעת שy הוא לא אפס. כלומר המקרה לא נכון כאשר x=0 וגם y=0. אותו נימוק אפשר לתת הפוך, אם תוהים מה קורה כאשר y=0 אך x אינו אפס, ונגיע למשהו דומה ושוב סתירה.
    ואם תוהים במקרה של x=0 וגם y=0 אז גם כאן זה נראה לי קצת בעייתי, כי הגבול כש(x,y)->(0,0) לא קיים.
    אהבתי letisya800 אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #5
    הסמל האישי שלletisya800 משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    זה ממש מוסבר היטב ומובן לחלוטין,תודה רבה !!

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 0

There are no members to list at the moment.

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו