מציג תוצאות 1 עד 11 מתוך 11

אשכול: עקרון האינדוקציה

  1. #1
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל עקרון האינדוקציה
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    שלום חברים.

    קיבלנו תרגיל מסוים שאני לא יודע כיצד להתמודד איתו ואשמח לקבל עזרה.



    5.ג'. אגב, עוד לא למדנו את הבינום של ניוטון...
    איך אני ניגש אם כן לפתרון הסעיף הזה?
    חשבתי איך שהוא לומר שלכל n טבעי ולכל a טבעי קיים k טבעי שאם נחלק את הביטוי ב-a^2 נקבל את k.
    אבל אני לא באמת יודע איך להמשיך...

    תודה רבה.
    אהבתי עקרון האינדוקציהam12348 אהב \ אהבו את התגובה
     


  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל תרגיל 5 סעיף ג - הוכחת חלוקת ביטוי במספר בלי שארית

    שלום רב,

    רצ"ב שני דפים עם הוכחת תרגיל 5 סעיף ג

    דרך אגב, טענתי בהוכחה שניתן להוכיח באינדוקציה ש-
    $(a+1)^n=b_n \cdot a^n+.......+ b_k \cdot a^k+.....+b_1 \cdot a +1 1 \leq k \leq n$

    אתה יכול לנסות להוכיח זאת ע"ס הזהות:

    $(a+1)^{n+1} = (a+1)^n \cdot (a+1)$

    אתה משתמש בה בשלב המעבר - הנחת נכונות עבור n והוכחה עבור n+1

    כמובן לא לשכוח לבדוק עבור n=1, n=2 - רואים די מידית את נכונות הטענה

    בברכה,
    עמוס

    תרגיל 5 ג דף 1.jpg

    תרגיל 5 ג דף 2.jpg
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 18-10-2018 בשעה 09:29
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי am12348 צפה בהודעה
    שלום רב,

    רצ"ב שני דפים עם הוכחת תרגיל 5 סעיף ג

    דרך אגב, טענתי בהוכחה שניתן להוכיח באינדוקציה ש-
    $(a+1)^n=b_n \cdot a^n+.......+ b_k \cdot a^k+.....+b_1 \cdot a +1 1 \leq k \leq n$

    אתה יכול לנסות להוכיח זאת ע"ס הזהות:


    $(a+1)^(n+1) = (a+1)^n \cdot (a+1)$

    אתה משתמש בה בשלב המעבר - הנחת נכונות עבור n והוכחה עבור n+1

    כמובן לא לשכוח לבדוק עבור n=1, n=2 - רואים די מידית את נכונות הטענה

    בברכה,
    עמוס

    תרגיל 5 ג דף 1.jpg

    תרגיל 5 ג דף 2.jpg
    קודם כל תודה רבה על הפתרון המושקע.

    שנית, נאבדתי בהבנת הפתרון החל מהשורה לפני אחרונה בעמוד הראשון, שם לא הבנתי לגמרי מה עשית,
    איך שהוא a+1 בחזקת n כפול n+1 הפך ל- a+1 בחזקת n פלוס a כפול a+1 בחזקת n

    חוץ מזה, לא הבנתי את הטענה של סכום החזקות של a^k, לא הבנתי מה זה הקיי הזה, לא הבנתי מה הקשר פלוס 1, לא הבנתי מה הקשר מקדמים ולמה הם קשורים...

    תודה רבה

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    ובלי שום קשר לכך שאני מעוניין להבין את הפתרון שלך, עמוס, האם ההוכחה הזאת היא נכונה:



  4. #4
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שלום רב

    אכתוב מחדש את השורה האחרונה שרשומה בכתב. כנראה ה-a בשורה הובנה כ-n

    $\frac{(a+1)^(n+1)-(n+1)a-1}{a^2}=\frac{(a+1)^n \cdot (a+1) - (n+1) \ddot a -1}{a^2}=$

    $\frac{((a+1)^n \cdot a + (a+1)^n \cdot 1 - na-a-1}{a^2}=$
    $\frac{(a+1)^n-an-1+(a+1)^n \cdot a -a}{a^2}$

    הביטוי
    $\frac{(a+1)^n-an-1}{a^2}$
    מספר שלם לפי הנחת האינדוקציה - הנחנו נכונות עבור n

    ונשאר להוכיח כי
    $\frac{(a+1)^n \cdot a -a}{a^2}$






    מספר שלם

    זה מביא אותנו לשאלה השנייה שלך

    מה שטענתי שפיתוח
    $(a+1)^n=b_n \cdot a^n + .... +b_k \cdot a^j + ....+b_1 \cdot a_1$

    כאשר ה-b-ים הם מספרים שלמים

    אתה צודק אני חושב שה-k פה קצת "מבלבל" רציתי לרשום איבר כללי בתוך הפיתוח. צריך להשתמש באות אחרת, אז רשמתי עכשיו j במקום k שהוא חלק מהשאלה

    מה שאני טוען כאן שהפיתוח של a+1 בחזקת n הנו מקדמים שלמים כפול חזקות של a ועוד 1

    נבדוק למשל עבור
    $(a+1)^2= a^2+ 2a +1$
    $b_2=1,b_1=2$


    אתה יכול להוציא את a מחוץ לסוגריים וזה יביא לכך

    $(a+1)^n \cdot a = a \cdot a \cdot (b_n \cdot a^(n-1) + ....+ b_1)+1 \cdot a$





    לדוגמא במקרה של n=2

    $a \cdot (a+1)^2= a \cdot (a^2 +2a +1)=a \cdot (a^2 +2a) +a \cdot 1=a \cdot a \cdot (a+2) +a$

    אתה יכול לבדוק על חזקות גבוהות יותר. תראה שמתקיימת אותה תכונה

    מה שמקבלים
    $a \cdot (a+1)^n = a^2 \cdot מספר שלם + a$

    עכשיו צריך להחסיר את a ומקבלים
    $a^2 \cdot מספר שלם$
    שכמובן מתחלק ב-a בריבוע בלי שארית

    אני מקווה שההסבר עכשיו ברור יותר
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 19-10-2018 בשעה 09:11
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #5
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי am12348 צפה בהודעה
    שלום רב

    אכתוב מחדש את השורה האחרונה שרשומה בכתב. כנראה ה-a בשורה הובנה כ-n

    $\frac{(a+1)^(n+1)-(n+1)a-1}{a^2}=\frac{(a+1)^n \cdot (a+1) - (n+1) \ddot a -1}{a^2}=$

    $\frac{((a+1)^n \cdot a + (a+1)^n \cdot 1 - na-a-1}{a^2}=$
    $\frac{(a+1)^n-an-1+(a+1)^n \cdot a -a}{a^2}$

    הביטוי
    $\frac{(a+1)^n-an-1}{a^2}$
    מספר שלם לפי הנחת האינדוקציה - הנחנו נכונות עבור n

    ונשאר להוכיח כי
    $\frac{(a+1)^n \cdot a -a}{a^2}$






    מספר שלם

    זה מביא אותנו לשאלה השנייה שלך

    מה שטענתי שפיתוח
    $(a+1)^n=b_n \cdot a^n + .... +b_k \cdot a^j + ....+b_1 \cdot a_1$

    כאשר ה-b-ים הם מספרים שלמים

    אתה צודק אני חושב שה-k פה קצת "מבלבל" רציתי לרשום איבר כללי בתוך הפיתוח. צריך להשתמש באות אחרת, אז רשמתי עכשיו j במקום k שהוא חלק מהשאלה

    מה שאני טוען כאן שהפיתוח של a+1 בחזקת n הנו מקדמים שלמים כפול חזקות של a ועוד 1

    נבדוק למשל עבור
    $(a+1)^2= a^2+ 2a +1$
    $b_2=1,b_1=2$


    אתה יכול להוציא את a מחוץ לסוגריים וזה יביא לכך

    $(a+1)^n \cdot a = a \cdot a \cdot (b_n \cdot a^(n-1) + ....+ b_1)+1 \cdot a$





    לדוגמא במקרה של n=2

    $a \cdot (a+1)^2= a \cdot (a^2 +2a +1)=a \cdot (a^2 +2a) +a \cdot 1=a \cdot a \cdot (a+2) +a$

    אתה יכול לבדוק על חזקות גבוהות יותר. תראה שמתקיימת אותה תכונה

    מה שמקבלים
    $a \cdot (a+1)^n = a^2 \cdot מספר שלם + a$

    עכשיו צריך להחסיר את a ומקבלים
    $a^2 \cdot מספר שלם$
    שכמובן מתחלק ב-a בריבוע בלי שארית

    אני מקווה שההסבר עכשיו ברור יותר
    ברור, תודה רבה.
    שאלה, האם אני צריך להוכיח ריגורוזית כאן שפיתחת סוגריים מהצורה של איי פלוס אחת בחזקת אן מביא איברים עם איי פלוס אחת?
    או מספיק להסביר במילים?

    אני פשוט מאוד חדש בנושא ההוכחות הפורמליות ריגורוזיות האלה ואני ממש לא בטוח לגבי כל מה שאני כותב.

    תודה רבה


  6. #6
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל בדיקת ההוכחה השנייה שמוצעת

    ההוכחה נראית נכונה זאת דרך נוספת להוכיח את המבוקש

    נראה מה כתוב כאן

    בדיקה עבור n=1 זה ברור. אפשר לבדוק עבור חזקות גבוהות יותר, לפעמים זה נותן לנו אינדיקציה לגבי המשך ההוכחה

    מניחים נכונות עבור n, דהיינו

    $(a+1)^n -na-1= a^2 \cdot k$
    כאשר k שלם

    מוכיחים עבור n=1
    $(a+1)^(n+1) -(n+1) \cdot a -1 = (a+1)^n \cdot (a+1)-n \cdot a -a -1$

    לפי הנחת האינדוקציה
    $(a+1)^n -na-1= a^2 \cdot k$
    כאשר k מספר שלם כלשהוא המתאים ל-n. מציבים כאן את
    $(a+1)^n=a^2 \cdot k+na+1$

    בביטוי שרשמנו עבור n+1
    ומקקבלים אחרי התקזזות של an, a,1
    את
    $a^2 \cdot (ak+k+n)$

    שזאת כפולה של a הריבוע

    הביטוי ak+k+n הוא מספר שלם. זה k אחר שמתאים ל-n+1

    הראינו בשלב המעבר מ-n ל-n+1 שנכונות עבור n גוררת נכונות עבור n+1

    תוכל להשתמש בכל אחת מן ההוכחות

    ייתכן שלבעיה ישנם מספר פתרונות המובילים לפתרונה.

    בברכה
    עמוס
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  7. #7
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי am12348 צפה בהודעה
    ההוכחה נראית נכונה זאת דרך נוספת להוכיח את המבוקש

    נראה מה כתוב כאן

    בדיקה עבור n=1 זה ברור. אפשר לבדוק עבור חזקות גבוהות יותר, לפעמים זה נותן לנו אינדיקציה לגבי המשך ההוכחה

    מניחים נכונות עבור n, דהיינו

    $(a+1)^n -na-1= a^2 \cdot k$
    כאשר k שלם

    מוכיחים עבור n=1
    $(a+1)^(n+1) -(n+1) \cdot a -1 = (a+1)^n \cdot (a+1)-n \cdot a -a -1$

    לפי הנחת האינדוקציה
    $(a+1)^n -na-1= a^2 \cdot k$
    כאשר k מספר שלם כלשהוא המתאים ל-n. מציבים כאן את
    $(a+1)^n=a^2 \cdot k+na+1$

    בביטוי שרשמנו עבור n+1
    ומקקבלים אחרי התקזזות של an, a,1
    את
    $a^2 \cdot (ak+k+n)$

    שזאת כפולה של a הריבוע

    הביטוי ak+k+n הוא מספר שלם. זה k אחר שמתאים ל-n+1

    הראינו בשלב המעבר מ-n ל-n+1 שנכונות עבור n גוררת נכונות עבור n+1

    תוכל להשתמש בכל אחת מן ההוכחות

    ייתכן שלבעיה ישנם מספר פתרונות המובילים לפתרונה.

    בברכה
    עמוס
    כן, תודה רבה.

    מה לגבי,
    שאלה, האם אני צריך להוכיח ריגורוזית כאן שפיתחת סוגריים מהצורה של איי פלוס אחת בחזקת אן מביא איברים עם איי פלוס אחת?
    או מספיק להסביר במילים?


  8. #8
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אם הבנתי למה אתה מתכוון, אפשר לתאר במילים. לדעתי, לפעמים יתר ריגורוזיות הופכת את ההוכחה לארוכה ומקשה על הבנתה. לפעמים כדאי לציין טענות שהן די ברורות
    במילים ולהמשיך בשלבים החשובים של ההוכחה. אבל תלוי מי שבודק את מה שכתבת יהיו כאלה שזה כן חשוב להם להראות את שלבי ההוכחה באופן מדוקדק

    אוכיח את הטענה הזאת באינדוקציה

    עבור n=1,n=2 אתה יכול לבדוק על חזקות גבוהות יותר הטענה ברורה

    נניח נכונות עבור n ונוכיח עבור n+1
    כלומר נניח

    $(a+1)^n=a^n+b_(n-1) \cdot a^(n-1) +...+ b_1 \cdot a +1$

    כאשר ה-b-ים הם מספרים שלמים כלשהם
    ונוכיח כי
    $(a+1)^(n+1)=a^(n+1) +c_n \cdot a^n +...+ c_1 \cdot a +1$

    שים לב ה-c-ים הם מספרים שלמים אחרים המתאימים לחזקת n+1

    עכשיו

    $(a+1)^(n+1)=(a+1)^n \cdot (a+1) = (a+1)^n \cdot a + (a+1)^n=$
    $a \cdot (a^n + b_(n-1) \cdot a^(n-1) +...+b_1 \cdot a +1) +a^n + b_(n-1) \cdot a^(n-1) +...+b_1 \cdot a +1=$
    $a^(n+1) +(b_(n-1) +1) \cdot a^n+...+(a+b_1) \cdot a +1$

    $c_n=b_(n-1) +1,....,c_1=a+b_1$
    השורה השנייה היא שימוש בהנחת האינדוקציה עבור n

    ה-c-ים הם מקדמים שלמים אחרים המתאימים לפיתוח עבור n=1 כמו שה-b-ים מתאימים לפיתוח עבור n

    הראינו שנכונות עבור n גוררת נכונות עבור n+1

  9. #9
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי am12348 צפה בהודעה
    אם הבנתי למה אתה מתכוון, אפשר לתאר במילים. לדעתי, לפעמים יתר ריגורוזיות הופכת את ההוכחה לארוכה ומקשה על הבנתה. לפעמים כדאי לציין טענות שהן די ברורות
    במילים ולהמשיך בשלבים החשובים של ההוכחה. אבל תלוי מי שבודק את מה שכתבת יהיו כאלה שזה כן חשוב להם להראות את שלבי ההוכחה באופן מדוקדק

    אוכיח את הטענה הזאת באינדוקציה

    עבור n=1,n=2 אתה יכול לבדוק על חזקות גבוהות יותר הטענה ברורה

    נניח נכונות עבור n ונוכיח עבור n+1
    כלומר נניח

    $(a+1)^n=a^n+b_(n-1) \cdot a^(n-1) +...+ b_1 \cdot a +1$

    כאשר ה-b-ים הם מספרים שלמים כלשהם
    ונוכיח כי
    $(a+1)^(n+1)=a^(n+1) +c_n \cdot a^n +...+ c_1 \cdot a +1$

    שים לב ה-c-ים הם מספרים שלמים אחרים המתאימים לחזקת n+1

    עכשיו

    $(a+1)^(n+1)=(a+1)^n \cdot (a+1) = (a+1)^n \cdot a + (a+1)^n=$
    $a \cdot (a^n + b_(n-1) \cdot a^(n-1) +...+b_1 \cdot a +1) +a^n + b_(n-1) \cdot a^(n-1) +...+b_1 \cdot a +1=$
    $a^(n+1) +(b_(n-1) +1) \cdot a^n+...+(a+b_1) \cdot a +1$

    $c_n=b_(n-1) +1,....,c_1=a+b_1$
    השורה השנייה היא שימוש בהנחת האינדוקציה עבור n

    ה-c-ים הם מקדמים שלמים אחרים המתאימים לפיתוח עבור n=1 כמו שה-b-ים מתאימים לפיתוח עבור n

    הראינו שנכונות עבור n גוררת נכונות עבור n+1
    אני לא רואה איפה וידאת את הנחת האינדוקציה עבור n=1
    האיבר ה-n בהנחה עושה רושם שהוא 1 ואילו אמור לצאת a+1
    לא כל כך ברור.

    העניין הזה
    תודה רבה


  10. #10
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני חושב שהבנתי למה אתה מתכוון

    עבור n=1

    $(a+1)^1= a+1$

    זה מצב בסיסי אין לך אברי ביניים אבל כפי שניתן לראות, יש לך חזקה גבוהה 1 של a וכמובן פלוס 1

    אני מוכיח עבור n גדול שווה ל-2, לשם כך צריך לבדוק עבור חזקות גבוהות יותר


    עבור n=2
    $(a+1)^2=a^2+2a+1$
    $b_1=2$

    עבור n=3

    $(a+1)^3= a^3+3a^2+3a+1$
    $b_2=3, b_1=3$


    זאת הבדיקה הראשונה עבור n=1,2,3

    מה שנשאר כמובן להניח נכונות עבור n שהוא גדול שווה ל-2 ולהוכיח עבור n+1 וראית את זה בפוסט הקודם

    איחוד ההוכחה עבור n=1 עם ההוכחה עבור n גדול/שווה ל-2 נותן לנו את הטענה
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 19-10-2018 בשעה 13:05
    אהבתי Helpme אהב \ אהבו את התגובה
     

  11. #11
    משתמש רשום חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי am12348 צפה בהודעה
    אני חושב שהבנתי למה אתה מתכוון

    עבור n=1

    $(a+1)^1= a+1$

    זה מצב בסיסי אין לך אברי ביניים אבל כפי שניתן לראות, יש לך חזקה גבוהה 1 של a וכמובן פלוס 1

    אני מוכיח עבור n גדול שווה ל-2, לשם כך צריך לבדוק עבור חזקות גבוהות יותר


    עבור n=2
    $(a+1)^2=a^2+2a+1$
    $b_1=2$

    עבור n=3

    $(a+1)^3= a^3+3a^2+3a+1$
    $b_2=3, b_1=3$


    זאת הבדיקה הראשונה עבור n=1,2,3

    מה שנשאר כמובן להניח נכונות עבור n שהוא גדול שווה ל-2 ולהוכיח עבור n+1 וראית את זה בפוסט הקודם

    איחוד ההוכחה עבור n=1 עם ההוכחה עבור n גדול/שווה ל-2 נותן לנו את הטענה
    במשפט האחרון התכוונת n+1?

    תודה רבה.


מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 0

There are no members to list at the moment.

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו