מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: שאלת אתגר (אולי)

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל שאלת אתגר (אולי)
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    שלום לכולם,

    תהי נתונה הפונקציה f מהממשיים לממשיים הגזירה ב-1 המקיימת

    לכל x,y ממשיים מתקיים:
    $xy(f(x)-f(y))+2x=x \cdot f(x)-y\cdot f(y)+2y$

    $f'(1)=2012$

    יש לחשב את ערכה של הפונקציה ב-2012
    $f(2012)=?$

  2. #
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל בעיית אתגר - פתרון

    שבוע טוב ושנה טובה,

    רצ"ב הצעה שלי לפתרון

    אם עבור הפונקציה הנתונה לכל x,y ממשיים מתקיים

    $xy(f(x)-f(y))+2x=x \cdot f(x) - y \cdot f(y)+2y$
    אזי בפרט עבור כל x ועבור y=2012 מתקיים




    $x\cdot 2012 \cdot(f(x)-f(2012))+2x=x \cdot f(x) - 2012 \cdot f(2012)+2 \cdot 2012$

    מכאן נובע:







    $x\cdot 2012 \cdot f(x) - x\cdot 2012 \cdot f(2012) +2x=x \cdot f(x) - 2012 \cdot f(2012)+2 \cdot 2012$

    $\downarrow$

    $x\cdot 2012 \cdot f(x) - x \cdot f(x) =x\cdot 2012 \cdot f(2012) - 2012 \cdot f(2012)+2 \cdot 2012-2x$

    $\downarrow$

    $2011 \cdot x \cdot f(x)= 2012 \cdot f(2012) \cdot x - 2012 \cdot f(2012) + 4024 -2x$

    $\downarrow$

    נחלק את שני האגפים ב-
    $2011 \cdot x$

    נקבל

    $f(x)=\frac{2012 \cdot f(2012) \cdot x}{2011 \cdot x} - \frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x}+\frac{4024}{2011 \cdot x}-\frac{2x}{2011 \cdot x}$

    $\downarrow$

    $f(x)=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011} - \frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x}+\frac{4024}{2011 \cdot x}-\frac{2}{2011}$

    $\downarrow$

    $f'x)=0+ \frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x^2}-\frac{4024}{2011 \cdot x^2}-0$

    $\downarrow$

    $f'x)=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x^2}-\frac{4024}{2011 \cdot x^2}$

    $f'(1)=2012 \to 2012=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot 1^2}-\frac{4024}{2011 \cdot 1^2}$

    $\downarrow$

    $2012=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011}-\frac{4024}{2011}$

    $\downarrow$

    $2012=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011}-\frac{2 \cdot 2012}{2011}$

    נכפיל ב-2011 את שני האגפים, נקבל

    $2012 \cdot 2011 = 2012 \cdot f(2012)-2 \cdot 2012$

    נחלק ב-2012 את שני האגפים, נקבל:
    $2011=f(2012)-2 \to f(2012)= 2011+2=2013$

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    הגישה שלך נכונה. באמת אם בוחרים 1 יש איפוס של הכל - לא הייתה לך כל טעות. אבל מזה לא מתקדמים.

    .צריך לנסות להסתמך על הנתון שהשוויון נכון עבור כל x,y ממשיים ולבחור ערך כזה של y שממנו ניתן להתקדם.

    בהצעה לפתרון שלי רשמתי y=2012
    אהבתי אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    למישהו יש רעיון כיצד לנסות לגשת לבעיה?

  4. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ניסיתי להגיע לפשט את הביטוי ולהגיע לביטוי של הנגזרת באמצעותו ולייצר משוואה, וכיו"ב.
    אבל בחישוב שלי יצא שאחד מאפס את הכל ואז לא השגתי כלום, אבל אולי היה לי טעות חשבון.
    אהבתי שאלת אתגר (אולי)am12348 אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #4
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל בעיית אתגר - פתרון

    שבוע טוב ושנה טובה,

    רצ"ב הצעה שלי לפתרון

    אם עבור הפונקציה הנתונה לכל x,y ממשיים מתקיים

    $xy(f(x)-f(y))+2x=x \cdot f(x) - y \cdot f(y)+2y$
    אזי בפרט עבור כל x ועבור y=2012 מתקיים




    $x\cdot 2012 \cdot(f(x)-f(2012))+2x=x \cdot f(x) - 2012 \cdot f(2012)+2 \cdot 2012$

    מכאן נובע:







    $x\cdot 2012 \cdot f(x) - x\cdot 2012 \cdot f(2012) +2x=x \cdot f(x) - 2012 \cdot f(2012)+2 \cdot 2012$

    $\downarrow$

    $x\cdot 2012 \cdot f(x) - x \cdot f(x) =x\cdot 2012 \cdot f(2012) - 2012 \cdot f(2012)+2 \cdot 2012-2x$

    $\downarrow$

    $2011 \cdot x \cdot f(x)= 2012 \cdot f(2012) \cdot x - 2012 \cdot f(2012) + 4024 -2x$

    $\downarrow$

    נחלק את שני האגפים ב-
    $2011 \cdot x$

    נקבל

    $f(x)=\frac{2012 \cdot f(2012) \cdot x}{2011 \cdot x} - \frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x}+\frac{4024}{2011 \cdot x}-\frac{2x}{2011 \cdot x}$

    $\downarrow$

    $f(x)=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011} - \frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x}+\frac{4024}{2011 \cdot x}-\frac{2}{2011}$

    $\downarrow$

    $f'x)=0+ \frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x^2}-\frac{4024}{2011 \cdot x^2}-0$

    $\downarrow$

    $f'x)=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot x^2}-\frac{4024}{2011 \cdot x^2}$

    $f'(1)=2012 \to 2012=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011 \cdot 1^2}-\frac{4024}{2011 \cdot 1^2}$

    $\downarrow$

    $2012=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011}-\frac{4024}{2011}$

    $\downarrow$

    $2012=\frac{2012 \cdot f(2012)}{2011}-\frac{2 \cdot 2012}{2011}$

    נכפיל ב-2011 את שני האגפים, נקבל

    $2012 \cdot 2011 = 2012 \cdot f(2012)-2 \cdot 2012$

    נחלק ב-2012 את שני האגפים, נקבל:
    $2011=f(2012)-2 \to f(2012)= 2011+2=2013$

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    הגישה שלך נכונה. באמת אם בוחרים 1 יש איפוס של הכל - לא הייתה לך כל טעות. אבל מזה לא מתקדמים.

    .צריך לנסות להסתמך על הנתון שהשוויון נכון עבור כל x,y ממשיים ולבחור ערך כזה של y שממנו ניתן להתקדם.

    בהצעה לפתרון שלי רשמתי y=2012
    אהבתי אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 11

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו