איך להוכיח קבוצה צפופה ב-R

[exzoty]

היי,

אם מוגדרת קבוצה כך שאיבריה הם k^2/r^2
k, r הם מספרים מקבוצת השלמים
מובן לי שהקבוצה מוכלת ב-Q. אך איך ניתן להוכיח שהיא אכן צפופה ב-R?

[exzoty]

מצטער על ההקפצה, אבל מישהו יודע איך?

[Yes]

הרבה זמן שלא ראיתי כאן טופולוגיה.

השיוך של ל-$\mathbb Q$ הוא בהחלט בכיוון, אבל שים לב של כל תת-קבוצה אפילו אינסופית היא צפופה ב-$\mathbb R$. לדוגמה, $\mathbb Z\subset \mathbb Q$, אבל ברור ש-$\mathbb Z$ לא צפופה ב-$\mathbb R$.
אני אתן לך כיוון - מספיק לך להראות שלכל קטע פתוח $(a,b)\in \mathbb R$ קיימים $k, r \in\mathbb Z$ כך ש-$\frac{k^2}{r^2} \in (a,b)$. ולמה? כי יש משפט שאומר שבכל קבוצה פתוחה ב-$\mathbb R$ קיים קטע פתוח (נשמע די טרוויאלי). את זה כבר הרבה יותר פשוט להוכיח מאשר להוכיח עבור קבוצה פתוחה כלשהי.

[exzoty]

תודה!!

[avi500]

זהו תיקון להוכחה הקודמת
כדי להוכיח צפיפות של ריבועי הרציונליים. נניח קטע $(a,b)$ על ישר הממשיים $\mathbb R$ ונניח $a,b>1$. כיוון שגם $\sqrt a, \sqrt b\in \mathbb R$ אזי הקטע הפתוח $(\sqrt a, \sqrt b)$ מוכל ב $\mathbb R$. מכאן שיש בו מספר רציונלי $k/r\in (\sqrt a,\sqrt b)$ כיוון שהרציונליים צפופים בממשיים. מכאן, ע"פ הסדר הקיים בממשיים, נובע ש $(k/r)^2\in ( a, b)$. כאשר $a,b<1$ נבצע תהליך דומה לצמד המספרים $1/a,1/b$. אם אחד קטן מ-1 והשני גדול מ- 1 אזי מצאנו ש $k,r=1$