עמוד 1 מתוך 2 1 2 אחרוןאחרון
מציג תוצאות 1 עד 15 מתוך 23

אשכול: פירוק לשברים חלקיים

  1. #1
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל פירוק לשברים חלקיים

    *** לקוח מוויקיפדיה + עריכות שלי..


    באלגברה, פירוק ל'''שברים חלקיים''' של פונקציה מספר רציונלי מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר:

    * המכנה של כל אחד מהשברים הינו חזקה (מתמטיקה) של פולינום פולינום אי פריק.
    * המונה הינו [[פולינום]] ממעלה נמוכה משל המכנה.

    פירוק לשברים חלקיים הוא שימושי בתחומים רבים, למשל במציאת פונקציות קדומות.


    ==דוגמאות==

    ===גורם ריבועי פריק במכנה===

    נניח וברצוננו לפרק את השבר : :{x+3 \over x^2-3x-40}\, לשברים חלקיים.

    המכנה בבירור מתפרק לגורמים הבאים:
    (x-8)(x+5) .

    לפיכך, אנו נחפש סקלרים ''A'' ו-''B'' כך ש:

    {x+3 \over x^2-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}

    דרך אחת למצוא את ''A'' ו-''B'' היא על ידי "העלמת השברים", כלומר, הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף  (x-8)(x+5) .

    זה מביא אותנו לביטוי הבא: x+3=A(x+5)+B(x-8)\,.

    נאסוף באגף הימני של המשוואה את אשר מוכפל ב-x ואת אשר לא.

    x+3=(A+B)x+(5A-8B)\,.

    מכיוון שיש שוויון בין שני אגפי המשוואה, ניתן להשוות את המקדמים של הביטויים הדומים.

    :<br />
\begin{matrix}<br />
A & + & B & = & 1 \\<br />
5A & - & 8B & = & 3<br />
\end{matrix}<br />

    הפתרון לביטויים אלו הוא ''A'' = 11/13, ''B'' = 2/13. לפיכך, יש לנו את הפירוק הבא לשבר זה:

    {x+3 \over x^2-3x-40}={11/13 \over x-8}+{2/13 \over x+5}.

    נבהיר שבחרנו A ו B כי כל גורם במכנה הוא ממעלה ראשונה, אבל אם יש ממעלה שנייה , מה נעשה?

    ===גורם ריבועי בלתי פריק במכנה====

    על מנת לפרק את השבר

    :{10x^2+12x+20 \over x^3-8}

    לשברים חלקיים, ראשית נשים לב כי

    :x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\,.

    ניתן לראות כי הביטוי  x^2+2x+4 איננו פריק באמצעות מספרים ממשיים מכיוון שהדיסקרימיננטה של הביטוי היא שלילית.

    לכן, אנו מחפשים סקלרים ''A'', ''B'', ''C'' כך ש:

    {10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}.

    שימו לב, שעל כל גורם שהוא פולינום ממעלה שנייה בעצם נוסיף עוד איבר שהוא עם מונה מהצורה "ax+b" .

    לאחר "העלמת השברים" אנו מקבלים

    :10x^2+12x+20=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,.

    ניתן לסדר משוואה זו ולכתוב על פיה שלוש משוואות לינאריות בעלות שלושת הנעלמים ''A'', ''B'', ''C'', כמו שעשינו בדוגמה הקודמת, אבל מכיוון שפתירת מערכת כזו של משוואות הופכת למעיקה ככל שמספר המשתנים גדל, אנו מנסים שיטה אחרת. הצבה של 2 במקום ''x'' במשוואה מעלימה את כל הביטוי הימני השני ואנו מקבלים :

    10\cdot 2^2+12\cdot 2+20=A(2^2+2\cdot 2+4)\,,

    מכאן 12A=84 לכן A=7 כך שקיבלנו

    :10x^2+12x+20=7(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,.

    נציב 0 במקום ''x''.

    :20=7(4)+C(-2)\,,

    מכאן C=4 . קיבלנו :

    10x^2+12x+20=7(x^2+2x+4)+(Bx+4)(x-2)\,.

    נציב 1 במקום ''x''.

    10+12+20=7(1+2+4)+(B+4)(1-2)\,,

    מכאן ''B''=3. אם כך, הפירוק לשברים חלקיים של שבר זה הוא:

    {10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.


    באותה מידה יכלנו פשוט להשוות את המקדמים של הפולינומים בעלי החזקות השוות .


    ===גורמים החוזרים על עצמם במכנה===

    עבור שברים מהצורה הזו

    :{P(x) \over (x+2)(x+3)^5}

    (כאשר ה"P(x)" יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :{A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}.

    דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ממעלה ראשונה אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.
    לדוגמה, ניקח את השבר הבא:

    :{10x^2-63x+29 \over x^3-11x^2+40x-48}.

    המכנה מתפרק באופן הבא:


    :x^3-11x^2+40x-48=(x-3)(x-4)^2\,.

    הגורם ממעלה ראשונה  (x-4) חוזר על עצמו במכנה. לפיכך, הפירוק לשברים חלקיים נעשה בצורה הבאה:

    {10x^2-63x+29 \over x^3-11x^2+40x-48}={10x^2-63x+29 \over (x-3)(x-4)^2}={A \over x-3}+{B \over x-4}+{C \over (x-4)^2}.

    מכאן פותרים כמו בדוגמאות לעיל.

    עבור שברים מהצורה הזו

    {P(x) \over (x+2)(x^2+1)^5}

    בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה , הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :{A \over x+2}+{Bx+C \over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}+{Fx+G \over (x^2+1)^3}+{Hx+I \over (x^2+1)^4}+{Jx+K \over (x^2+1)^5}.

    דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 14-01-2011 בשעה 15:48

  2. #2
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אריאל, לא עדיף להציב ערך באיקס כך שאחד מהמקדמים של a או b יהיה שווה לאפס ואז תהיה משוואה אחת במקום שניים?
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  3. #3
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי hurricane צפה בהודעה
    אריאל, לא עדיף להציב ערך באיקס כך שאחד מהמקדמים של a או b יהיה שווה לאפס ואז תהיה משוואה אחת במקום שניים?

    לא, כי אתה בכל אופן עושה את זה פעמיים..

  4. #4
    הסמל האישי שלasherm01 צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה אריאל!.
    נראה דיי מחוכם...
    רק לא הבנתי מה זה סקלר:09:....
    מתי כבר יגיע היום שנלך יד ביד ולא ראש בראש (?)!
    תן חיוך ה: טובה.
    אולי אני אפס ואת/ה האחד---> אבל ביחד אנחנו עשר
    גרוש בלי גרוש, מחפש גרושה עם ירושה" (מתוך מודעה אמיתית בעיתון)
    אני פוחד פחד מוות- מהמוות

  5. #5
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי אריאל צפה בהודעה
    לא, כי אתה בכל אופן עושה את זה פעמיים..
    לא הבנת. נגיד במקרה:
    x+3=A(x+5)+B(x-8)
    נציב x=8 ונקבל:
    11=13A \\ A=\frac{11}{13}
    נציב x=-5 ונקבל:
    -2=-13B \\ B=\frac{2}{13}

    בהרבה יותר מהיר מלפתור מערכת של שתי משוואות. זה פשוט להציב ולחלק.

    אשר, סקלר זה מספר ממשי.
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  6. #6
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי hurricane צפה בהודעה
    לא הבנת. נגיד במקרה:
    x+3=a(x+5)+b(x-8)
    נציב x=8 ונקבל:
    11=13a \\ a=\frac{11}{13}
    נציב x=-5 ונקבל:
    -2=-13b \\ b=\frac{2}{13}

    בהרבה יותר מהיר מלפתור מערכת של שתי משוואות. זה פשוט להציב ולחלק.

    אשר, סקלר זה מספר ממשי.

    ברק , כן הבנתי, וכפי שאתה רואה אתה עושה את ההצבה "פעמיים" כמו שאמרתי, זו דרך אפשרית, אבל לא תמיד היא הכי נוחה.

    רצו להראות פה דרכים אפשריים בכל אופן.

  7. #7
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי asherm01 צפה בהודעה
    תודה אריאל!.
    נראה דיי מחוכם...
    רק לא הבנתי מה זה סקלר:09:....

    סקלר זה כל מספר ממשי

  8. #8
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אריאל, אתה מסכים איתי שיותר מהר לפתור משוואה אחת מאשר שתי משוואות?

    ד"א, יש לי שאלה. אמרת ש:
    עבור שברים מהצורה הזו



    בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה , הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :.

    דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.

    למה זה פירוק נכון?
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  9. #9
    הסמל האישי שלasherm01 צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Hurricane צפה בהודעה
    לא הבנת. נגיד במקרה:
    x+3=A(x+5)+B(x-8)
    נציב x=8 ונקבל:
    11=13A \\ A=\frac{11}{13}
    נציב x=-5 ונקבל:
    -2=-13B \\ B=\frac{2}{13}

    בהרבה יותר מהיר מלפתור מערכת של שתי משוואות. זה פשוט להציב ולחלק.

    אשר, סקלר זה מספר ממשי.
    ומה זה זה לא ממשי???
    מתי כבר יגיע היום שנלך יד ביד ולא ראש בראש (?)!
    תן חיוך ה: טובה.
    אולי אני אפס ואת/ה האחד---> אבל ביחד אנחנו עשר
    גרוש בלי גרוש, מחפש גרושה עם ירושה" (מתוך מודעה אמיתית בעיתון)
    אני פוחד פחד מוות- מהמוות

  10. #10
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מספר מרוכב לדוגמא..

    אה אתה עדיין ב806, תלמד על זה ב807 ..

  11. #11
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Hurricane צפה בהודעה
    אריאל, אתה מסכים איתי שיותר מהר לפתור משוואה אחת מאשר שתי משוואות?

    ד"א, יש לי שאלה. אמרת ש:
    עבור שברים מהצורה הזו



    בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה , הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :.

    דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה.

    למה זה פירוק נכון?

    אתה פותר משוואה אחת - פעמיים [ בפעם השלישית אני אומר]

    אבל במקרה זה, אתה צודק זה יותר מהר אבל אני לא מבין למה אתה מתעקש כשבאים להדגים.

    ולא לא תמיד יותר מהר להציב מספרים , יש פעמים שתסתבך קצת הרבה יותר זמן איזה מספרים להציב ויהיה עדיף לך לפתור גם 3 משוואות עם 3 נעלמים .


    לגבי הפירוק, למה הוא לא נכון ?

    x+2 ליניארי אז קיבל במונה את A ועל כל גורם לא פריק ממעלה שנייה הוסיפו גורם כאשר במונה גורם מהצורה ax+b . זה בסדר גמור..

  12. #12
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    השאלה שלי היא כזאת, למה הפירוק הוא לא:
    \frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x^2+1)^5}
    או:
    \frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x^2+1)}+\frac{C}{(x^2+1)}+\frac{D}{(x^2+1)}+\frac{E}{(x^2+1)}+\frac{F}{(x^2+1)}

    שאלה נוספת:
    הראית בדוגמא אחת:
    עבור שברים מהצורה הזו

    :

    (כאשר ה"" יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :

    ובדוגמא אחרת:
    עבור שברים מהצורה הזו



    בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה , הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :

    אתה אומר בעצם שאפשר להשתמש בשתי הדרכים כדי לפרק?
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  13. #13
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Hurricane צפה בהודעה
    השאלה שלי היא כזאת, למה הפירוק הוא לא:
    \frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x^2+1)^5}
    או:
    \frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x^2+1)}+\frac{C}{(x^2+1)}+\frac{D}{(x^2+1)}+\frac{E}{(x^2+1)}+\frac{F}{(x^2+1)}

    שאלה נוספת:
    הראית בדוגמא אחת:
    עבור שברים מהצורה הזו

    :

    (כאשר ה"" יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :

    ובדוגמא אחרת:
    עבור שברים מהצורה הזו



    בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה , הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא:

    :

    אתה אומר בעצם שאפשר להשתמש בשתי הדרכים כדי לפרק?

    כדאי שתחזור על הכתבה שוב.

    על כל גורם שהוא ממעלה שנייה אתה תוסיף מעליו ax+b ולא A לבד, כי הוא ממעלה שנייה .

    אם הוא ממעלה ראשונה אז אתה שם במונה רק A לבד.

    בנוגע למספר האיברים זה כמספר החזקות (הגורמים בעצם) על כל גורם אתה מוסיף שבר מתאים .

    לגבי השאלה השנייה - אני מאמין שכבר עניתי אבל אני אבהיר שוב, שים לב בדוגמא הראשונה כל הגורמים הם ממעלה ראשונה (כל גורם זה  x+3 גם אם הוא מופיע 5 פעמים.. ) ולכן בהתאם נשים במונה גורם קבוע (A לדוג' ) ואילו בדוגמא השנייה הגורמים הם ממעלה שנייה ולכן אנו שמים בהתאם במונה גורם מהצורה ax+b

  14. #14
    הסמל האישי שלHurricane אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אוקיי קראתי את הכתבה ואני עדיין לא מבין משהו.
    אני מבין שכאשר המכנה ממעלה שנייה ולא פריק, המונה יהיה מהצורה Ax+B. אבל למה זה? אם אני אציב במונה A במקום Ax+B, זה לא יהיה יותר "מפורק"? או שאולי אם אציב רק A לא יהיה פתרון?
    Jello!
    אפליקציה חדשה וממכרת בטירוף לאנדרואיד!



    המדריכים שכתבתי. לכניסה לחצו עליי

  15. #15
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    העניין הוא שכל גורם במכנה תורם למונה פולינום מסוים, כאשר הוא ממעלה שנייה הוא תורם גורם עם ax+b כאשר ממעלה ראשונה תורם a במונה.

    יכול להיות שבמקרים מסויימים תקבל פתרון ואף נכון אבל זה לא המקרה הכללי, כי תחשוב למשל על השיטה של ההשוואת המקדמים של פולינומים בעלות חזקות שוות, אז אם תוריד מ BX-C ל B בעצם תוריד כל מיני גורמים(שמוכפלים בbx-c) במעלה אחת, ואז תשווה מקדמים לא מתאימים או שיותר מזה, יכול להשאר לך פולינומים מהצורה 4x^2 אבל חוץ ממנו אין שום גורם ממעלה שנייה(כי הורדת מעלה אחת) ככה שייצא לך 4=0 ..

עמוד 1 מתוך 2 1 2 אחרוןאחרון

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

אשכולות דומים

  1. פירוק LU
    ע"י as1 בפורום : אלגברה לינארית
    תגובות: 0
    הודעה אחרונה: 16-02-2010, 12:26
  2. פירוק לגורמים
    ע"י dl8495 בפורום : חטיבת הביניים
    תגובות: 18
    הודעה אחרונה: 05-12-2009, 17:53

ביקרו באשכול זה : 2

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו