מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: פונקציות, עוצמות ויחס שקילות

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל פונקציות, עוצמות ויחס שקילות

    א. הראה שאם קיימת פונקציה f של A על B, אז העוצמה של B קטנה או שווה מהעוצמה של A. הדרכה: בחר שרירותית מקור לכל איבר של B.

    ב. הוכח כי אם E הוא יחס שקילות על קבוצה A, אז העוצמה של A גדולה או שווה מהעוצמה של A/E, כאשר A/E היא קבוצת המנה.


    לגבי סעיף א', לא הבנתי איך מהעובדה שקיימת פונקציה f של A על B אז אפשר להסיק שהעוצמה של B קטנה או שווה לעוצמה של A. לפי ההגדרה של קטן שווה, אם העוצמה של B קטנה או שווה מהעוצמה של A אז קיימת התאמה חד חד ערכית בין B ל - A. כלומר מהנתון שקיימת פונקציה f של A על B צריך להוכיח שקיימת התאמה חד חד ערכית בין B ל- A כדי להוכיח זאת. נניח אני בוחר שרירותית מקור לכל איבר של B, איך זה עוזר לי בדיוק? לפי הנתונים לכל איבר ב B מגיע לפחות חץ אחד ומכל איבר ב A יוצא בדיוק חץ אחד (לפי ההגדרה של פונקציה על) וכדי להראות שקיימת התאמה חח"ע בין B ל-A אז לכל איבר ב A צריך להגיע בדיוק חץ אחד אבל זה לא מסתדר, אלא אם כן ניתן להפוך את כיוון החצים.

    לגבי סעיף ב', אין לי מושג...

  2. #2
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    doron שים לב זה תרגיל דיי טריוויאלי, רק חשוב לשים לב למשמעויות:

    סעיף א:

    קודם כל המשמעות של פונקציה על f:A \rightarrow B הינה שאפשר להתאים

    לכל איבר ב-B איבר פרטי משלו מ-A, וזה אפוא אומר ש-"מספר" האיברים ב-A גדול משל B.
    (למעשה זוהי בעצם הגדרה, אשר תופסת גם לעוצמות שלא בנות-מנייה..)

    מכל-מקום, נראה שקיימת פונקציה חח"ע g:B \rightarrow A, ע"י עזר ב-f:

    נגדיר את g באופן הבא:

    g(x) = f^{-1}(x), כאשר ב- f^{-1}(x) הכוונה לאיבר מ-A אשר נשלח ל-B (לפחות אחד כזה קיים כי f הינה על!)

    קל לבדוק שהפונקציה הזו הינה חח"ע - ולכן, אכן מקבלים את הדרוש!

    טענה זו היא מקרה פרטי של טענה כללית יותר, שאומרת שאם קיימת פונקציה חח"ע מ-A ל-B,
    אזי שקיימת פונקציה על מתת-קבוצה של B ל-A והכיוון ההפוך דומה.

    סעיף ב:

    טריוויאלי, מכיוון שקבוצת המנה זו קבוצת הנציגים, ולכן, מוכלת בוודאי ב-A. ואם כן, אזי שבוודאי שהעוצמה של A גדולה או שווה לעוצמה של קבוצת המנה שלה, A/E.

    Its bark is worse than its bite !
    נערך לאחרונה על ידי ohad, 29-07-2010 בשעה 14:53

  3. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אוהד, לא הבנתי את כל מה שאמרת לגבי סעיף א'. המשמעות של פונקציה מ A ל B אומר שלכל איבר ב A ניתן להתאים איבר ב B. מה שכתבת זה משהו אחר לגמרי וזה לא נכון שזה אומר שמס' האיברים ב A גדול משל B, זה לא תמיד כך בכלל. לגבי פונקציה g שהגדרת, אין לי מושג למה אתה טוען שהפונקציה ההפוכה לf הכוונה לאיבר מA אשר נשלח ל B. הפונקציה ההפוכה זה מ B ל A ולכן מכל איבר ב B נשלח איבר ל A, זה בדיוק הפוך ממה שכתבת. אז איך זה עוזר לי בדיוק?
    חוץ מזה איך אתה מוכיח שפונקציה כזו היא חח"ע?

  4. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כן, כמובן שאתה צודק, פשוט התכוונתי לכתוב המשמעות של פונקציה f:A \rightarrow B שהיא על, הכוונה שאפשר להעמיד לכל איבר ב-B איבר אינדווידואלי מ-A,
    וזה אפוא אומר שמספר האיברים ב-A גדול או שווה לזה שב-B. (ערכתי את ההודעה...)

    ובאשר לזה שסימנתי f^{-1}(x), לא התכוונתי לפונקציה ההפוכה, שכן היא לא בהכרח קיימת - אני אסביר ביתר פירוט:

    כיוון שקיימת f:A \rightarrow B שהינה על, אזי שלכל x \in B קיים איבר, a \in A, אשר נשלח אליו, a \rightarrow x.

    נוכל לכל x \in B "לתפוס" לפחות איבר אחד מ-A שנשלח אליו, ואיבר זה נסמן כ- f^{-1}(x).

    עתה, תחת הסימונים הנ"ל, נגדיר g:B \rightarrow A ע"י g(x) = f^{-1}(x), וזו חד-חד ערכית - נבדוק:

    נניח ש- g(x_1) = g(x_2), אזי ש- f^{-1}(x_1) = f^{-1}(x_2)
    וזה אומר שהאיבר שעובר ע"י f ל-x_1 שווה לאיבר שעובר, תחת f, ל-x_2 (נזכור ש- x_1,x_2 \in B)

    ומכל-מקום, כיוון ש-f הינה פונקציה, אזי שהיא חייבת לקיים חד-ערכיות, ואינה יכולה לשלוח איבר אחד בתחום לשני תמונות בתווח, ולפיכך, x_1 = x_2.

    הדבר שחשוב להבין:

    f הפיכה אם ורק אם היא חח"ע ועל, ועל-כן, הסימון f^{-1}(x) מסמן בחירה של איבר אחד מ-A, אשר נשלח ל-x שב-B, וניתן לבחור איבר כזה כי f היא פונקציה על!!!

    מקווה שהנקודה הובהרה!
    ___________

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

אשכולות דומים

  1. עוצמות
    ע"י doron2010 בפורום : מתמטיקה אקדמאית כללי
    תגובות: 1
    הודעה אחרונה: 28-07-2010, 08:59
  2. פיסיקה|כמות החום הנפלטת בשריפה
    ע"י Jacob בפורום : מכניקה
    תגובות: 2
    הודעה אחרונה: 24-05-2010, 07:31

ביקרו באשכול זה : 0

There are no members to list at the moment.

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו