מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: עוצמות

  1. #1
    הסמל האישי שלYair2597 משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל עוצמות

    צריך עזרה בכל הסעיפים
    תודה לפותרים .

    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: jpg שאלה 4.jpg‏ (30.6 ק"ב , 17 צפיות) שאלה 4 (28 נק') סדרת פיבונצ'י מוגדרת באופן הבא: 1= F=1,F , ולכל 22 טבעי : 2.+.-,- , א. הוכיחו באינדוקציה שלכל ש טבעי מתקיים: 1-ים ב. הוכיחו באינדוקציה שלכל ה טבעי קיימים מספר טבעי * ומספרים [0,1} = 44..... 40.4כך ש- F1=ב=". נסמן ב- 4 את קבוצת כל הסדרות האינסופיות (...43, 40.44.442 ) של מספרים על המקיימות את התנאי 1-4-2 - a=d לכל 22 . ג. מיצאו את העוצמה של 4.. רמז: מיצאו פונקציה הפיכה המתאימה לכל איבר של R R סדרה ב- 1. ד. מהי העוצמה של קבוצת כל הסדרות מ- 4 שבהן מופיעים רק מספרים רציונליים!

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל סעיפים א ו-ב

    הוכחת סעיף א:

    נוכיח כי


    $\sum_{i=0}^{n}F_i=F_{n+2}-1$
    כדי שיהיה נוח לעקוב, נרשום את כמה איברים:
    $1,1,2,3,5,8,13,21,39,60,99,...ִִִ$



    עבור n=0

    $F_0=F_2-1=2-1=1$
    עבור n=2
    $F_0+F_1=1+1=F_3-1=3-1=2$
    עבור n=3
    $F_0+F_1+F_2=1+1+2=F_4-1=5-1=4$
    ב
    $\sum_{i=0}^{n}F_i=F_{n+2}-1$
    ונוכיח עבור n+1 כלומר
    $\sum_{i=0}^{n+1}F_i=F_{n+3}-1$

    הוכחה:


    $\sum_{i=0}^{n+1} F_i = $
    $\sum_{i=0}^{n} F_i + $
    $F_{n+1}=F_{n+2}-1+F_{n+1}$



    הביטוי הימני הוא מהנחת האינדוקציה

    אבל מהתכונה שמקיימת סדרת פיבונאצ'י:
    $F_{n+3}=F_{n+2}+F_{n+1}$


    כל איבר שווה לסכום האיברים שלפניו

    לכן
    $F_{n+2}-1+F_{n+1}=$
    $F_{n+2}-+F_{n+1}-1=$
    $F_{n+3}-1$


    הוכחת סעיף ב:

    נוכיח כי לכל n טבעי קיים מספר טבעי k ומספרים
    $a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_k$
    שהם אפסים או אחדים שמקיימים:
    $\sum_{i=0}^{k}a_i \cdot F_i =n$

    נדרוש שהמקדם של האיבר ה-k-י יהיה שווה ל-1

    עבור n=1 האינדקס k=0 מקיים את הנדרש


    $1=1 \cdot a_0=1 \cdot 1=1$
    עבור n=2 האינדקס k=1 מקיים את הנדרש
    $2=1 \cdot a_0 +1 \cdot a_1=1 \cdot 1 +1 \cdot 1$


    עבור n=3 האינדקס k=2 מקיים את הנדרש
    $3=1 \cdot a_0 +0 \cdot a_1 +1 \cdot a_2=1 \cdot 1 +0 \cdot 1 +1 \cdot 2$


    עבור n=4 האינדקס k=2 מקיים את הנדרש


    $4=1 \cdot a_0 +1 \cdot a_1 +1 \cdot a_2=1 \cdot 1 +1 \cdot 1 +1 \cdot 2$

    נניח נכונות עבור כל מספר טבעי l הקטן מ-n+1 כלומר
    $l \leq n$

    שקיימים עבורו מספר טבעי k ומספרים
    $a_0,a_1,a_2,a_3,...a_k$
    $a_k=1$
    שהם אפסים או אחדים שמקיימים:
    $\sum_{i=0}^{k}a_i \cdot F_i =l$
    ונוכיח עבור n+1כלומר

    קיימים עבורו מספר טבעי k ומספרים
    $a_0,a_1,a_2,a_3,...$
    שהם אפסים או אחדים שמקיימים:
    $\sum_{i=0}^{k}a_i \cdot F_i =n+1$

    נניח ש-n>4 עד 4 כבר בדקנו

    עבור n+1

    אם קיים בסדרה איבר השווה ל-n+1 נבחר כ-k את האינדקס שלו ואז
    $0 \cdot a_0 + 0 \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 +.....+ 1 \cdot a_k=n+1$

    המקדמים ש האיברים שאינדקסם קטן מ-k הם אפסים. המקדם של האיבר ה-k-י הוא 1

    אם לא קיים איבר כזה, נבחר בסדרה את האיבר הגדול ביותר שעדיין קטן מ-n+1 נבחר כk1 את האינדקס שלו

    לכן
    $n+1=F_{k1}+F<F_{{k1}+1}$
    נבדוק מה מקיים המספר הטבעי F
    $F<n+1$

    בנוסף
    היות ו-
    $F_k1+F_{k1-1}=F_{k1+1}$

    נקבל:




    $F<F_{{k1}-1}$


    עכשיו F קטן מ-n+1. קיים עבורו לפי הנחת האינדוקציה k2 טבעי המקיים
    $F=a_0 \cdot F_0 + a_1 \cdot F_1 + a_2 \cdot F_2 + a_3 \cdot F_3 +....+ a_{k2} \cdot F_{k2}$

    $a_k2=1, a_0, a_1,a_2,....,a_{k2-1} \in {0,1} $


    טענה:
    $k2 \neq k1$
    לו כך היה הדבר היינו מקבלים(נניח בשלילה ש-k2=k1):
    $F=a_0 \cdot F_0 + a_1 \cdot F_1 + a_2 \cdot F_2 + a_3 \cdot F_3 +....+ 1 \cdot F_{k1} \geq F_{k1}$



    בסתירה למסקנה ש-
    $F<F_{k1-1}$
    ולעובדה שסדרת פיבונאצ'י היא סדרה עולה ו-
    $F<F_{k1-1}<F_{k1}$

    מבין ה-k1 וה-k2 נבחר את הגדול מביניהם כ-k



    מכאן
    $n+1= F_{k1} + F=1 \cdot F_{k1} + a_0 \cdot F_0 + a_1 \cdot F_1 + a_2 \cdot F_2 + a_3 \cdot F_3 +....+ 1 \cdot F_{k 2}$


    הצבענו על k כזה ועל מספרים
    $a_o, a_1,a_2,....,a_{k2},.....a_{k1} \in {0,1}, a_{k1}=a_{k2=}1$

    המקיימים את המבוקש

    בברכה
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 06-05-2019 בשעה 22:42
    אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הוכחת סעיפים ג ו-ד

    סעיף ג:

    מה מגדיר את סדרת פיבונאצ'י כללית? האיבר הראשון והאיבר השני

    אם נדע אותם נוכל לבנות סדרת פיבונאצ'י לפי הכלל:
    $a_n=a_{n-2}+a_{n-1} n\geq2$

    נגדיר את A כקבוצה אינסופית של וקטורים מעל הממשיים כאשר עבור כל אחד מהם האיבר הראשון בוקטור מייצג את האיבר הראשון בסדרה והאיבר השני בוקטור מייצג את האיבר השני בסדרה
    כל וקטור מייצג סדר

    נגדיר פונקציה:
    $f:RxR \to A: f(\alpha, \beta)=(\alpha, \beta) a_0=\alpha, a_1=\beta$
    הפונקציה מחזירה וקטור דו מימדי מעל המספרים הממשיים :
    $v=(\alpha,\beta)$

    של שני האיברים הראשונים בסדרה - אלפא זה האיבר הראשון וביתא זה האיבר השני.

    הפונקציה חח"ע. עבור שני ערכים שונים ב-RXR מתאימים שני וקטורי(סדרות) שונות
    הפונקציה היא גם על A בהינתן וקטור ב-A של שני מספרים ממשיים, אז קיימים שני מספרים ממשיים ב-RXR הנותנים את הוקטור הזה - אלו הם שני האיברים הראשונים בסדרה

    מכאן שתי הקבוצות RXR ו-A שקולות ולכן שוות עוצמה
    ִ$A~RxR\ to |A|=|RxR|=\aleph x \aleph=\aleph$

    העוצמה של A - קבוצת כל סדרות פיבונאצ'י האינסופיות של מספרים ממשיים היא אלף

    סעיף ד:


    אם מופיעים בסדרות פיבוצאצ'י הכלליות רק מספרים רציונלים, אזי בפרט שני האיברים הראשונים בוקטור שהם שני האיברים הראשונים בסדרה הם רציונליים

    נוכל להגדיר קבוצה B החלקית ל-A ומכילה רק את הוקטורים ששני אבריהם רציונליים

    נגדיר שוב פונקציה חח"ע ועל עבור כל p,q רציונליים
    $f:QxQ \to A: f(p, q)=(p, q), a_0=p, a_1=q$

    על סמך אותו הסבר כמו בסעיף ג - יש בין שתי הקבוצות התאמה חח"ע ועל
    שתי קבוצות B ו-QXQ A שקולות ולכן שוות עוצמה


    ִ$B~QxQ\ to |B|=|QxQ|=\alephֹֹ_0 x \aleph_0=\aleph_0$
    כלומר עוצמת הקבוצה המבוקשת היא אלף 0

    אם ישנן הערות/שאלות/הצעות אפשר להעלות לאשכול


    בברכה
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 07-05-2019 בשעה 06:21
    אהבתי אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו