קומבינטוריקה

[Yair2597]

צריך הסבר מפורט לסעיף א ו ב מבחינת איך מנתחים את השאלה לא ממש הבנתי מה הולך שם במיוחד בסעיף ב
הכוונה שלי זה שלא הבנתי מה מבקשים ממני ובגלל זה נתקעתי בפתירת התרגיל .
תודה מראש לעוזרים.

[ThePrince]

הצעה סעיף א:
(אם מישהו מוצא טעות שיעדכן)

אתה מקבל את הערך 2 פעמיים ולכן נבחר 2 מספרים שימופו ל-2
לאחר מכן נבחר 3 ערכים שימופו ל3, ולבסוף נבחר 4 ערכים שימופו ל4.

$${9 \choose 2}\cdot {7 \choose 3}\cdot {4 \choose 4} = {9 \choose 2\ 3\ 4}$$
וזה הגיוני כיוון שזאת פונקציה אין חזרות על מיפוי של האיברים, כלומר איבר לא יכול להיות ממופה לשני איברים שונים.
ואין חשיבות לסדר.

בקשר לסעיף ב' תנסה שוב, ותעדכן.

[Yair2597]

אתה יכול לתת דוגמא איך למשל הפונקציה שולחת מ a ל {2,3,4} איך זה נראה זה מה שלא הבנתי
ולגבי ב לא הבנתי מה המשמעות שמקבלות כל אחד מערכים בדיוק פעמיים

[am12348]

שלום רב,

דוגמא של פונקציה העונה על הדרישה של סעיף א:

$f: A\to{2,3,4} $

הפונקציה מקבלת את הערך 2 שתי פעמים
$f(1)=2, f(2)=2$
הפונקציה מקבלת את הערך 3 שלוש פעמים
$f(3)=3, f(4)=3,f(5)=3$
הפונקציה מקבלת את הערך 4 ארבע פעמים
$f(6)=4,f(7)=4,f(8)=4,f(9)=4$





הקומבינציה שמכילה לדוגמא את הפונקציה
$f(1)=2,f(1)=3$

אינה חוקית כי פונקציה הנה התאמה חד ערכית

בברכה,
עמוס

[Yair2597]

ישר כוח תודה רבה סעיף א יותר ברור עכשיו
אשמח להסבר לסעיף ב

[am12348]

סעיף ב:

הכוונה היא שהפונקציה מקבלת עבור שני אברים ב-A את הערך 2.

עבור שני איברים אחרים את הערך 3

עבור שני איברים אחרים משני הזוגות הקודמים את הערך 4

נשארו שלושה איברים שצריך לבצע להם התאמה לקבוצה:
$$ \{ 2,3,4,5,6 \} $$

לאיברים 2,3,4 כבר בוצעה התאמה פעמיים לכך אחד מהם. נשארו שני איברים 5,6 להם צריך לבצע התאמה מהקבוצה בת 3 איברים. עכשיו ההתאמה חופשית.

לא משנה עכשיו איך תבוצע ההתאמה, העיקר שההתאמה תהיה חד ערכית(אנו מגדירים פונקציה המוגדרת לכל אחד משלושת האיברים)

אפשר לדוגמא להתאים לכל אחד משלושת האיברים שנשארו להתאים רק את 5

דוגמא של פונקציה העונה על המבוקש:
$f(1)=2, f(2)=5,f(3+3,f(4)=3,f(5)=4,f(6)=4, f(7)=2,f(8)=5,f(9)=6$

אפשר לשים לב שבדוגמא כל אחד מהערכים 2,3,4 התקבל פעמיים כמבוקש בסעיף

ועכשיו לחישוב מספר הפונקציות: $$ f: A \to \{ 2,3,4,5,6 \} $$


המקבלות את כל אחד מהערכים 2,3,4 בדיוק פעמיים



צריך להקצות שני איברים מ-A כדי לקבל תמונה 2. מספר האפשרויות:
$א$
${9 \choose2}$

נשארו 7 איברים ב-A. מהם צריך לבחור שני איברים כדי לקבל את התמונה 3. מספר האפשרויות:
$ב$
${7 \choose2}$

נשארו 5 איברים ב-A. מהם צריך לבחור שני איברים כדי לקבל את התמונה 4. מספר האפשרויות:

$ג$
${5 \choose2}$

עכשיו נשארנו עם שלושה איברים ב-A להם צריך לבצע התאמה לאיברים 5 ו-6 כרצוננו. צריך לחשב את מספר
האפשרויות

הבעיה הזאת שקולה לבעיה להרכיב מהתווים 5 ו-6 מילים בנות 3 אותיות וכמובן חשוב הסדר

האיברים 5 ו-6 הם האותיות. שלושת האיברים הם המילים

לדוגמא נניח שנשארו האיברים 7,8,9 ב-A עבורם יש לבצע התאמה
הצירוף
$7 8 9$
זה המקומות במילה


$5 5 5$
$5 5 6$
$5 6 5$
$5 6 6$
$6 5 5$
$6 5 6$
$6 6 5$
$6 6 6$
אילו הם המילים

מספר האפשרויות הינו:
ד

$2^3=8$
זה מספר הפונקציות מהקבוצה A פחות שישה איברים שהתאמנו להם איברים 2,3,4 לקבוצה:
$\{5,6 \}$

מספר האפשרויות המבוקש הינו מכפלת האפשרויות א, ב, ג,ד כלומר:

$$ {9 \choose 2} \cdot {7 \choose 2} \cdot {5 \choose 2} \cdot 2^3 $$


אם ישנן הערות/שאלות אפשר להעלות לאשכול

בברכה,
עמוס

[am12348]

שלום רב,

פונקציה חד חד ערכית:
$f:A \to A$
היא פונקציה המקיימת:

$f(x1)=f(x2) \to x1=x2, x1,x2 \in A$






הפונקציה שנכללת בקומבינציה צריכה למלא גם את התנאי:

$\{ f(1), f(2), f(3) \} \cap \{ 1, 2, 3 \}=\phi$


כלומר עבור האיברים 1,2,3 ב-A הפונקציה אינה יכולה לקבל את הערכים 1,2,3

$f(1) \neq 1,2,3, f(2) \neq 1,2,3 , f(3) \neq 1,2,3$


כלומר עבור האיברים 1,2,3 ב-A הפונקציה יכולה לקבל את הערכים 4-9 (נוכל להתאים את האיברים 4-9)

מה שנעשה מתוך ששת האיברים 4-9 (החוקיים) נבחר שלושה איבריים שנתאים עבורם איברים 1-3

מספר האפשרויות לבחירת שלושה איברים כאלה הוא:
${6 \choose 3}$

אנו דואגים לחד חד ערכיות לכן הצירופים שבוחרים הם בלי חזרות

שלושת האיברים יכולים להתחלף בסדר. לדוגמא נניח שבחרנו את הערכים 4,5,6 נוכל להתאים עבור 1 את 4 או את 5 או את 6



לכן חשוב גם הסדר בצירופים האפשריים. ולכן נכפיל ב-!3





${6 \choose 3} \cdot 3!=\frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot 3! = \frac{6!}{3!}$

נשארו האיברים 4-9 עבורם נתאים שישה איברים שנשארו. לדוגמא אם בחרנו את 4,5,6 נשארו האיברים: 1,2,3,7,8,9

הפונקציה צריכה להיות חד ערכית ולכן אין חזרות

ובנוסף אפשר להתאים לכל אחד מן האיברים 4-9 את מה שנשאר אחרי הבחירה עבור 1,2,3

לדוגמא נניח שבחרנו את הערכים 4,5,6 להתאים ל-1,2,3 נשארו האיברים 1,2,3,7,8,9 להתאמה עבור האיברים 4-9
ואז לדוגמא עבור 4 נוכל להתאים את כל אחד מהאיברים 1,2,3,7,8,9



לכן חשוב גם הסדר בצירופים האפשריים. ולכן נכפיל ב-!6

מספר הפונקציות (הצירופים) המבוקש אם כן





$\frac{6!}{3!} \cdot 6! = \frac{(6!)^2}{3!}$

אם ישנן הערות/משהו לא ברור אפשר להעלות לאשכול

בברכה,
עמוס