מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: קומבינטוריקה

  1. #1
    משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל קומבינטוריקה

    בס''ד

    2 התרגילים עוסקים בשובך היונים .
    אשמח לתשובה עבור סעיף א .

    לגבי סעיף ב , האם אפשר לומר שנקח את כל המספרים שבקבוצה (100) ונחסיר ממנה את כל המספרים שמתחלקים ב 3 ונקבל 67 מספרים שאין בהם 3 מספרים עוקבים ,
    מכוון שכל המספרים שמתחלקים ב 3 בעצם מהווים את המספר שיהיה המספר העוקב . ואז מיכוון שיש 67 מספרים כאלה , עבור בחירת כל מספר לקבוצה של 67 המספרים
    בעצם ישלים ל 3 מספרים עוקבים (שובך היונים) ?

    תודה רבה .
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: png Screenshot from 2019-08-04 16-09-11.png‏ (35.8 ק"ב , 26 צפיות) ב 4. א. ליסכה יש 20 תכשיטים שונים ובכל יום היא עונדת 5 מהם. הוכיחו כי לאחר 267 ימים יהיה לפחות זוג תכשיטים שהיא ענדה יחד ב-15 ימים שונים. הוכיחו שבכל תת קבוצה בגודל 68 של {100,... ,1,2} יש שלושה מספרים עוקבים. מצאו תת קבוצה בגודל 67 שאין בה שלושה מספרים עוקבים. ב.

  2. #
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל קומבינטוריקה-עקרון שובך יונים - תשובות לשני הסעיפים

    שלום רב,

    תשובה לסעיף א:

    נשתמש בניסוח המורחב של משפט שובך היונים (במקרה הסופי) הטוען:

    אם יש m תאים בשובך שלתוכם צריך להכניס n יונים, אז בהכרח בתא אחד יהיו לפחות p = ⌈ n / m ⌉ {\displaystyle p=\lceil n/m\rceil } יונים או יותר, למספר: n/m). כלומר יש תא שמספר היונים בו הוא לפחות כמו
    הממוצע.

    הסימון מסמו את הערך השלם הקרוב למנה מלמעלה, כאשר m אינו מחלק את m בלי שארית

    לדוגמא:

    כאשר m=3 ו-n=7 , התשובה כאן היא 3. זאת למרות ש- 2 ושליש שיותר קרוב ל-2 מאשר ל-3.

    כאשר m=3 ו-n=6. התשובה היא 2. 3 מחלק בלי שארית את 6

    עכשיו לתשובה לשאלה. מה שאנו צריכים זה להגדיר מי מייצג את ה"תאים בשובך" ומי מייצג את ה"יונים"

    נגדיר שמספר הזוגות האפשריים אותה ישכה יכולה לענוד מיצג את ה"תאים בשובך". לישכה ישנם 20 תכשיטים שונים. מספר הזוגות האפשריים(אין כאן חשיבות לסדר) הוא:
    ${20 \choose 2}=\frac{20!}{2! \cdot 18!}=190$

    יש לנו כאן 120 "תאים" ב"שובך"

    מה שעושה ישכה זה שהיא מידי יום עונדת 5 תכשיטים שונים. ייתכן כמובן שתענוד אותם תכשיטים בימים רצופים. ישכה כאילו מחשבת את הזוגות האפשריים באותו יום - "יונים" ו"שמה" כל זוג ב"תא" המתאים. רארניו שיש לנו 190 תאים כאלה.

    מספר הזוגות האפשריים ביום:
    ${5 \choose 2}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}=10$

    ב-267 ימים בהם היא עונדת מידי יום 5 תכשיטים, היא עונדת 10 זוגות ביום כפול 267 ימים שהם 2670 זוגות

    לפי משפט שובך היונים שצוין בהתחלה יהיה "תא" אחד (שמסמן זוג מסוים) בו יהיו:
    $\frac{2670}{190} \approx 14.05$

    אנו כמובן לקחים את הערך העליון לכן התשובה היא 15 מש"ל

    תשובה לסעיף ב

    ראשית אתה צודק במה שרשמת. אם נוציא מקבוצת המספרים הטבעיים בטווח 1-100 את כל המספרים המתחלקים ב-3 בלי שארית, נקבל קבוצה בת 67 מספרים שאין בהם 3 מספרים עוקבים. וזאת מדוע

    הראשון בטווח שמתחלק ב-3 בלי שארית הוא 3. האחרון בטווח שמתחלק ב-3 בלי שארית הוא 99. יש לנו סדרה חשבונית, שאיברה הראשון הוא 3 והפרשה 3. לפי נוסחת האיבר הכללי נקבל:
    $3+3(n-1)=99 \to 3(n-1)=99-3=96 \to n-1=\frac{96}{3}=32 \to n=33$
    נוציא את המספרים המתחלקים ב-3 בלי שארית מהקבוצה ונקבל 67 מספרים שאינם מתחלקים ב-3.

    טענה: אין לנו כאן שלושה מספרים עוקבים. נניח בשלילה שיש לנו שלשה כזאת, אז אחד מהם חייב להתחלק ב-3. בסתירה לעובדה שהקבוצה אינה מכילה מספרים המתחלקים ב-3 בלי שארית.

    נוכיח עכשיו שבכל קבוצה של 68 איברים מתוך קבוצת המספרים הטבעיים בטווח 1-100, קיימת שלשה של מספרים עוקבים.

    נשתמש שוב בעיקרון שובך היונים. נגדיר "תאים" בשובך. ב"תא" ראשון יכנסו המספרים 1-3. בתא שני יכנסו המספרים 4-6. בתא שלישי יכנסו המספרים 7-9 וכך הלאה ב"תא "ה-33 יכנסו המספרים 97-99 וב"תא" ה-34 יכנס המספר 100

    עכשיו ניקח קבוצה של מספרים טבעיים אקראיים בטווח 1-100 - אלה ה"יונים"

    אם הקבוצה אינה כוללת את המספר 100, אז הם מתפזרים ל-33 התאים הראשונים. לפי המשפט המורחב של עיקרון שובך היונים שצוין בסעיף א, יהיה תא בו יהיו:
    $\frac{68}{33} \approx 2.06$

    אנו מעגלים כלפי מעלה, ולכן ב"תא" יהיו שלושה מספרים כאלה. מעצם הגדרת ה"תאים", המספרים חייבים להיות עוקבים.

    אם הקבוצה כוללת את המספר 100.יש לנו 68-1=67 מספרים הקטנים מ-100. 100 נכנס לתא ה-34 שהוגדר עבורו ו-67 המספרים הנותרים הקטנים מ-100 מתפזרים לתאים 1-33. שוב לפי המשפט המורחב, יהיה תא בו יהיו:





    $\frac{67}{33} \approx 2.03$


    אנו מעגלים כלפי מעלה, ולכן ב"תא" יהיו שלושה מספרים כאלה. מעצם הגדרת ה"תאים", המספרים חייבים להיות עוקבים.

    מש"ל
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 14-08-2019 בשעה 07:57
    אהבתי אריאל, Xtazi אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #2
    משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מישהו ?

  4. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל קומבינטוריקה-עקרון שובך יונים - תשובות לשני הסעיפים

    שלום רב,

    תשובה לסעיף א:

    נשתמש בניסוח המורחב של משפט שובך היונים (במקרה הסופי) הטוען:

    אם יש m תאים בשובך שלתוכם צריך להכניס n יונים, אז בהכרח בתא אחד יהיו לפחות p = ⌈ n / m ⌉ {\displaystyle p=\lceil n/m\rceil } יונים או יותר, למספר: n/m). כלומר יש תא שמספר היונים בו הוא לפחות כמו
    הממוצע.

    הסימון מסמו את הערך השלם הקרוב למנה מלמעלה, כאשר m אינו מחלק את m בלי שארית

    לדוגמא:

    כאשר m=3 ו-n=7 , התשובה כאן היא 3. זאת למרות ש- 2 ושליש שיותר קרוב ל-2 מאשר ל-3.

    כאשר m=3 ו-n=6. התשובה היא 2. 3 מחלק בלי שארית את 6

    עכשיו לתשובה לשאלה. מה שאנו צריכים זה להגדיר מי מייצג את ה"תאים בשובך" ומי מייצג את ה"יונים"

    נגדיר שמספר הזוגות האפשריים אותה ישכה יכולה לענוד מיצג את ה"תאים בשובך". לישכה ישנם 20 תכשיטים שונים. מספר הזוגות האפשריים(אין כאן חשיבות לסדר) הוא:
    ${20 \choose 2}=\frac{20!}{2! \cdot 18!}=190$

    יש לנו כאן 120 "תאים" ב"שובך"

    מה שעושה ישכה זה שהיא מידי יום עונדת 5 תכשיטים שונים. ייתכן כמובן שתענוד אותם תכשיטים בימים רצופים. ישכה כאילו מחשבת את הזוגות האפשריים באותו יום - "יונים" ו"שמה" כל זוג ב"תא" המתאים. רארניו שיש לנו 190 תאים כאלה.

    מספר הזוגות האפשריים ביום:
    ${5 \choose 2}=\frac{5!}{2! \cdot 3!}=10$

    ב-267 ימים בהם היא עונדת מידי יום 5 תכשיטים, היא עונדת 10 זוגות ביום כפול 267 ימים שהם 2670 זוגות

    לפי משפט שובך היונים שצוין בהתחלה יהיה "תא" אחד (שמסמן זוג מסוים) בו יהיו:
    $\frac{2670}{190} \approx 14.05$

    אנו כמובן לקחים את הערך העליון לכן התשובה היא 15 מש"ל

    תשובה לסעיף ב

    ראשית אתה צודק במה שרשמת. אם נוציא מקבוצת המספרים הטבעיים בטווח 1-100 את כל המספרים המתחלקים ב-3 בלי שארית, נקבל קבוצה בת 67 מספרים שאין בהם 3 מספרים עוקבים. וזאת מדוע

    הראשון בטווח שמתחלק ב-3 בלי שארית הוא 3. האחרון בטווח שמתחלק ב-3 בלי שארית הוא 99. יש לנו סדרה חשבונית, שאיברה הראשון הוא 3 והפרשה 3. לפי נוסחת האיבר הכללי נקבל:
    $3+3(n-1)=99 \to 3(n-1)=99-3=96 \to n-1=\frac{96}{3}=32 \to n=33$
    נוציא את המספרים המתחלקים ב-3 בלי שארית מהקבוצה ונקבל 67 מספרים שאינם מתחלקים ב-3.

    טענה: אין לנו כאן שלושה מספרים עוקבים. נניח בשלילה שיש לנו שלשה כזאת, אז אחד מהם חייב להתחלק ב-3. בסתירה לעובדה שהקבוצה אינה מכילה מספרים המתחלקים ב-3 בלי שארית.

    נוכיח עכשיו שבכל קבוצה של 68 איברים מתוך קבוצת המספרים הטבעיים בטווח 1-100, קיימת שלשה של מספרים עוקבים.

    נשתמש שוב בעיקרון שובך היונים. נגדיר "תאים" בשובך. ב"תא" ראשון יכנסו המספרים 1-3. בתא שני יכנסו המספרים 4-6. בתא שלישי יכנסו המספרים 7-9 וכך הלאה ב"תא "ה-33 יכנסו המספרים 97-99 וב"תא" ה-34 יכנס המספר 100

    עכשיו ניקח קבוצה של מספרים טבעיים אקראיים בטווח 1-100 - אלה ה"יונים"

    אם הקבוצה אינה כוללת את המספר 100, אז הם מתפזרים ל-33 התאים הראשונים. לפי המשפט המורחב של עיקרון שובך היונים שצוין בסעיף א, יהיה תא בו יהיו:
    $\frac{68}{33} \approx 2.06$

    אנו מעגלים כלפי מעלה, ולכן ב"תא" יהיו שלושה מספרים כאלה. מעצם הגדרת ה"תאים", המספרים חייבים להיות עוקבים.

    אם הקבוצה כוללת את המספר 100.יש לנו 68-1=67 מספרים הקטנים מ-100. 100 נכנס לתא ה-34 שהוגדר עבורו ו-67 המספרים הנותרים הקטנים מ-100 מתפזרים לתאים 1-33. שוב לפי המשפט המורחב, יהיה תא בו יהיו:





    $\frac{67}{33} \approx 2.03$


    אנו מעגלים כלפי מעלה, ולכן ב"תא" יהיו שלושה מספרים כאלה. מעצם הגדרת ה"תאים", המספרים חייבים להיות עוקבים.

    מש"ל
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 14-08-2019 בשעה 07:57
    אהבתי אריאל, Xtazi אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #4
    משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה רבה על התשובה !

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 9

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו