מציג תוצאות 1 עד 7 מתוך 7

אשכול: קומבינטוריקה פיזור כדורים

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל קומבינטוריקה פיזור כדורים


    פתרתי את שאלה 18, והגעתי לתוצאה שלהם, אבל מנגד בסקר הכיתרתתי הרוב סימנו בשאלה הזאת לא נכון, האם טעיתי?
    צירפתי פתרון
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שלום רב

    בהמשך למעבר על הדרך שעשית נראה שהיא נכונה


    אני נגשתי לבעייה טיפה אחרת והגעתי לאותה תוצאה

    נתון שהתאים שונים. צריך לבחור מהם 2 כאלו, שיהיו
    בהם ביחד לפחות 10 כדורים
    אנו צריכים לדון במקרים של 10, 11 ו-12 כדורים ב-2 תאים.
    היות והכדורים זהים אין חשובות לסדר. המספר הנקסימלי
    הוא 12 שזה מספר הכדורים שעומדים לרשותנו ויש לפזר
    בין 8 תאים שונים

    אם ב-2 התאים שנבחרו צריכים להיות ביחד 10
    כדורים, אז יש לנו 11 אפשרויות לסידור. יש לקחת
    בחשבון שבאחד יש 10 כדורים ובשני אין כדורים.
    נשארו 2 כדורים שאותם צריך לפזר בין 6 התאים
    שנותרו. זה שקול לבעייה שמתוך 6 אלמנטים שונים
    צריך לבחור קבוצה בת 2 אלמנטים עם חזרות (2 כדורים זהים
    יכולים להיות בתא) ואין חשיבות לסדר(2 הכדורים זהים)

    יצא לי כמו שיצא לך 21

    אם צריך להיות ביחד 11, מאותם שיקולים יש לנו
    12 אפשרויות לסידור. השאר כדור אחד הוא צריך
    להתפזר לכל אחד מ-6 הנותרים - 6 אפשרויות

    אם צריך להיות ביחד 12 מאותם שיקולים יש
    יש לנו 13 אפשרויות. אין כדורים לפזר ב-6 הנותרים
    לכן יש לנו אפשרות אחת
    נסכם את מה שיצא לנו:

    1*21+ 6*12+13*1=231+72+13=
    316
    ואת 316 צריך להכפיל כמובן ב-
    28 שזה מספר האפשרויות לבחור 2
    תאים שונים מתוך 8 שונים כאשר אין חשיבות לסדר
    הזוגות שנבחרו

    בברכה
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 19-05-2021 בשעה 20:24
    אהבתי Mr.Alex אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מגניב, טוב לדעת!
    תודה רבה!

  4. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי am12348 צפה בהודעה
    שלום רב

    בהמשך למעבר על הדרך שעשית נראה שהיא נכונה


    אני נגשתי לבעייה טיפה אחרת והגעתי לאותה תוצאה

    נתון שהתאים שונים. צריך לבחור מהם 2 כאלו, שיהיו
    בהם ביחד לפחות 10 כדורים
    אנו צריכים לדון במקרים של 10, 11 ו-12 כדורים ב-2 תאים.
    היות והכדורים זהים אין חשובות לסדר. המספר הנקסימלי
    הוא 12 שזה מספר הכדורים שעומדים לרשותנו ויש לפזר
    בין 8 תאים שונים

    אם ב-2 התאים שנבחרו צריכים להיות ביחד 10
    כדורים, אז יש לנו 11 אפשרויות לסידור. יש לקחת
    בחשבון שבאחד יש 10 כדורים ובשני אין כדורים.
    נשארו 2 כדורים שאותם צריך לפזר בין 6 התאים
    שנותרו. זה שקול לבעייה שמתוך 6 אלמנטים שונים
    צריך לבחור קבוצה בת 2 אלמנטים עם חזרות (2 כדורים זהים
    יכולים להיות בתא) ואין חשיבות לסדר(2 הכדורים זהים)

    יצא לי כמו שיצא לך 21

    אם צריך להיות ביחד 11, מאותם שיקולים יש לנו
    12 אפשרויות לסידור. השאר כדור אחד הוא צריך
    להתפזר לכל אחד מ-6 הנותרים - 6 אפשרויות

    אם צריך להיות ביחד 12 מאותם שיקולים יש
    יש לנו 13 אפשרויות. אין כדורים לפזר ב-6 הנותרים
    לכן יש לנו אפשרות אחת
    נסכם את מה שיצא לנו:

    1*21+ 6*12+13*1=231+72+13=
    316
    ואת 316 צריך להכפיל כמובן ב-
    28 שזה מספר האפשרויות לבחור 2
    תאים שונים מתוך 8 שונים כאשר אין חשיבות לסדר
    הזוגות שנבחרו

    בברכה
    עמוס
    פרסמו תשובות רשמיות ומסתבר שהתשובה שלנו לא נכונה, אני לא מבין למה :(

  5. #5
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שלום רב,

    מה היא התשובה הנכונה? ניסית לשאול מישהו שהחליט שהתשובה
    אינה נכונה מדוע החליט כך?

    מה התשובה לשאלה 16? ניסיתי לפתור אותה לפי אותם שיקולים
    שעשיתי ב-18 וקיבלתי את התשובה שלהם.
    בתשובות צריך לשים לב לנתון שהכדורים זהים והתאים שונים

  6. #6
    משתמש רשום חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כתבת לא נכון, אבל שהוכחת שנכון. צריך להשתמש בסעיף ב', אחרי פיתוח של ה-x^12 , ולהתאים את זה לתשובה פשוט.

  7. #7
    הסמל האישי שלavi500 מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שאלה 16

    אם בשני תאים יש לפחות 5 כדורים בכל אחד אזי מספר הכדורים הכולל האפשרי בהם, בתנאי השאלה, הוא 10, 11 או 12
    נדון במקרים השונים:
    אם יש בשניהם 10 אזי האפשרות היחידה היא שבכל אחד מהם 5. במקרה זה נותרו 2 כדורים שמחולקים ב- 6 התאים האחרים. ע"פ נוסחה ידועה מספר האפשרויות לחלק $r$ כדורים ב- $n$ תאים הוא $\binom{n+r-1} r$. לכן מספר האפשרויות לחלק $2$ כדורים ב- $6$ תאים הוא $\binom7 2=21$. מכאן שכאשר יש 10 כדורים (5 בכל תא) ב-2 תאים מספר האפשרויות הכולל הוא $1$ (אפשרות יחידה) כפול 21 כלומר 21.

    אם יש בשניהם 11 זה אומר שבאחד יש 6 ובשני 5. יש שני מקרים כאלו (5 כדורים בתא הראשון ו- 6 בשני או להיפך) לגבי שאר התאים - נשאר כדור אחד לחלק ל- 6 התאים ובסך הכל יש 6 אפשרויות כאלו. כלומר מספר המקרים כאן הוא $6\cdot2=12$

    אם יש בשניהם 12, קל לראות שיש 3 אפשרויות כאלו: מקרה אחד שבכל אחד יש 6 ו-2 מקרים בהם יש באחד 5 ובשני 7. כאן לא נותרו כדורים לחלוקה מחוץ ל-2 התאים הנדונים ולכן יש 3 אפשרויות בסך הכל.

    מכאן שעבור בחירה מסויימת של 2 תאים מתוך ה-8 מספר האפשרויות הכולל הוא: $21+12+3=36$

    צריך לזכור שיש לנו $\binom 8 2=28$ אפשרויות לבחור 2 תאים מתוך 8 ולכל בחירה יש 36 אפשרויות. לכן המספר הכולל הוא $36\cdot28=1008$

    התשובה שניתנה בשאלה היא לכן נכונה.

    שאלה 17

    ע"פ שיטת הפונקציה היוצרת (מכפלות של טורי החזקות), מספר האפשרויות ניתן ע"י מקדם של איבר מתאים בפיתוח של מכפלת טור חזקות אינסופי. למעשה ניתן לבחור תמיד מכפלות של טורים סופיים אם יודעים להשמיט את האיברים בטור שברור שמעל חזקה מסויימת לא תורמים לפתרון השאלה.
    נחזור לבעיה של בחירת האפשרויות ב-2 תאים נתונים.
    הטור המתאים לבחירה של 5 כדורים לפחות בכל תא מ-2 תאים הוא כאשר יש באחד מהם 5 או 6 או 7 כדורים לכל היותר. לכך הפונקציה היוצרת של הבחיורת האפשריות היא
    $(x^5+x^6+x^7)^2$ ברור שאין צורך להמשיך את הטור מעבר לחזקה השביעית כי החזקות שיתרמו כאן הן $x^{10},x^{11},x^{12}$ וכולן נמצאים בתוך הביטוי שכתבנו כאן.
    בדרך דומה , האפשרויות לחלקות הכדורים הנותרים (0,1 או 2) ב-6 התאים הנותרים מתקבלות מהמכפלה:$(1+x+x^2)^6$
    לכן מספר האפשרויות הכולל ניתן ע"י המקדם של $x^{12}$ בפיתוח של:
    $(x^5+x^6+x^7)^2(1+x+x^2)^6$
    וכמו קודם, כדי לקבל את מספר כל הבחירות האפשריות של 2 תאים יש להכפיל ב- $\binom 8 2$. התוצאה הסופית היא:
    $
    \binom 8 2 (x^5+x^6+x^7)^2(1+x+x^2)^6
    $
    תוצאה זו מראה כי התשובה שנתנה (הפונקציה היוצרת שניתנה) היא אינה נכונה.
    המקדם בפיתוח של $ x^{12} $ הוא $1008$ ומתאים לתשובה בשאלה הקודמת.
    הערה: אפשר כמובן להמשיך את הטורים שנכתבו לאינסוף אבל האיברים שנוספים בצורה כזו אינם תורמים למקדם של $x^{12}$. קל לראות כי עבור הטורים האינסופיים ניתן לכתוב
    $$
    28 (x^5+x^6+x^7+...)^2(1+x+x^2+...)^6= \frac{28x^{10}}{(1-x)^8}
    $$
    חשוב לציין כי ביטוי זה הינו סימבולי בלבד. אין לטורים הללו משמעות חישובית כלשהי מעבר לחישוב המקדמים. תוכנות אלגבריות יכולות לחשב את המקדמים בפיתוח בצורה אוטומטית.

    שאלה 18

    כאן יש אילוץ של 10 כדורים לפחות ב-2 תאים. לכן האפשרויות הן שיש 10, 11 או 12 כדורים ב-2 תאים. נדון בכל מקרה בנפרד.
    כאשר יש 10 כדורים ב-2 תאים האפשרויות לחלוקה ביניהם הן 0,10 או 1,9 או 2,8 או 3,7 וכו - בסך הכל 11 אפשרויות כאלו. עבור כל אפשרות יש 21 אפשרויות לחלק את 2 הכדורים הנותרים ב-6 התאים האחרים כפי שהראינו למעלה. לכן מספר האפשרויות הוא $11\cdot21$
    כאשר יש 11 כדורים ב-2 תאים יש 12 אפשרויות חלוקה כנ"ל ביניהם. את הכדור הנוסף ניתן לשים בכל אחד מ-6 התאים הנותרים. לכן מספר האפשרויות הוא $6\cdot12$
    כאשר יש 12 כדורים ב-2 תאים יש 13 אפשרויות חלוקה ביניהם ואין כדורים לחלק בתאים הנותרים. כלומר מספר האפשרויות כאן הוא 13.
    גם כאן יש להכפיל את התוצאה במספר הבחירות של 2 תאים מתוך ה- 8, לכן התוצאה הסופית היא:
    $
    (11\cdot21+12\cdot6+13)\binom82=8848=316\cdot28
    $
    לכן התשובה שניתנה נכונה.

    ניתן לפתור בעיה זו גם בשיטת הפונקציה היוצרת, בשני שלבים, באופן הבא:
    בשלב ראשון נמצא פולינום המייצג את כל האפשרויות לכך שלפחות 10 כדורים חולקו בין 2 תאים ללא תלות בתאים האחרים. פולינום זה הוא סכום האיברים בעלי החזקות 10,11,12 בפיתוח של:
    $
    ( \sum_{k=0}^{12} x^k)^2
    $
    שהוא
    $
    11x^{10}+12x^{11}+13x^{12}
    $
    בשלב שני נכפיל בפונקציה היוצרת של כל חלוקות הכדורים של 0 עד 2 כדורים ב-6 התאים הנותרים שהיא $(1+x+x^2)^6$ וכן נכפיל כרגיל במספר האפשרויות לבחור 2 תאים מתוך 8 - $\binom 8 2$
    התוצאה היא:
    $
    \binom82(11x^{10}+12x^{11}+13x^{12})(1+x+x^2)^6
    $
    המקדם של $x^{12}$ בפיתוח של הביטוי האחרון (מתקבל בשימוש בתוכנה מתאימה) הוא 8848 שהיא התשובה הנכונה.
    נערך לאחרונה על ידי avi500, 23-05-2021 בשעה 01:39
    מעיון חטוף בפורום אפשר לחשוב שמשוואה ריבועית נמצאת בקידמת המדע...
    קשה להאמין שהבבלים כבר גילו את הפיתרון לפני 3000 שנה...

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 7

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו