שאלה בפיתוח המולטי נומי

[volcant1]

תודה מראש

[Idose]

אהלן, מצטרף לשאלה.

[avi500]

האיבר הכללי בפיתוח המולטינומי של $(a+b+c)^n$ הוא
${n \choose k m p}a^kb^mc^p=\frac{n!}{k!m!p!} a^kb^mc^p$
על כל הצירופים של המספרים השלמים $k,m,p$ שהם בין $0$ ל- $n$ וכך שסכומם הוא בדיוק $n$
כדי שהאיבר יהיה ללא סימני שורש (רציונלי), עלינו לדאוג שהחזקה בביטוי
$x^{k/3+m/5+p/2}$ תהיה שלמה ו- $k+m+p=10$ . יש 4 צירופים כאלו
$
(k,m,p)=(0,10,0),( 3,5,2) ,(6,0,4) ,(0,0,10)
$
מתוך ההגדרה ברור כי המקדמים המולטינומילים הם 1 כאשר 2 מתוך 3 המספרים $k,m,p$ הם 0. (כי אז מקבלים $n!/(0!0!n!)=1$ ). המקדמים שאינם 1, הם:
$
\frac{10!}{3!5!2!}=2520
$
ו-
$
\frac{10!}{4!6!}=210
$
לכן האיברים הרציונליים בפיתוח הם:
$
x^2,2520x^3,210x^4,x^5
$