מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לרדיוס המעגל החוסם משולש

  1. #1
    מדריכה ויועצת חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לרדיוס המעגל החוסם משולש

    מצ"ב הוכחה כי בכל משולש ABC מתקיים כי היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש r, לבין רדיוס המעגל החוסם משולש R הוא:

    \frac{r}{R} = 4 \cdot sin(\frac{\angle A}{2}) \cdot sin(\frac{\angle B}{2}) \cdot sin(\frac{\angle C}{2})
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: doc math.doc‏ (47.5 ק"ב , 263 צפיות) טענה: בכל משולש ABC כלשהו מתקיים כי היחס בין רדיוס המעגל החסום r לבין רדיוס המעגל החוסם R הוא: sinsinsin 222 rABC R ÐÐÐ æöæöæö =× ç÷ç÷ç÷ èøèøèø הוכחה: יהי ABC משולש כלשהו החוסם מעגל שרדיוסו r וחסום במעגל שרדיוסו R. יהי O מרכז המעגל החסום. מכיוון ש- O הוא מרכז המעגל החסום, אז OD הוא רדיוס המעגל החסום. צלעות המשולש ABC משיקות למעגל החסום, ובפרט הצלע BC משיקה למעגל החסום. לפי משפט, המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן ODBC ^ . לפי משפט, שלושת חוצי הזוויות של משולש נחתכים בנקודה אחת, שהיא מרכז המעגל החסום במשולש, ולכן מתקיים: , ABOOBCACOOCB Ð=ÐÐ=Ð . נסתכל על המשולש BOD מכיוון שמתקיים ODBC ^ אז משולש BOD הוא משולש ישר זווית, ולכן לפי פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית מתקיים: ( ) tan tan 2 tan 2 OD OBD BD Br BD r BD B Ð= Ð æö = ç÷ èø = Ð æö ç÷ èø נסתכל על המשולש COD מכיוון שמתקיים ODBC ^ אז משולש COD הוא משולש ישר זווית, ולכן לפי פונקציות טריגונומטריות במשולש ישר זווית מתקיים: ( ) tan tan 2 tan 2 OD OCD CD Cr CD r CD C Ð= Ð æö = ç÷ èø = Ð æö ç÷ èø נסתכל על המשולש ABC לפי החישובים לעיל מתקיים: tantan 22 rr BCBDCD BC =+=+ ÐÐ æöæö ç÷ç÷ èøèø לפי משפט הסינוסים במשולש ABC מתקיים: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sinsinsin 2 sin 2sin BCABAC R ACB BC R A BCRA === ÐÐÐ = Ð =Ð אם כך, מצאנו שתי דרכים שונות לתאר את הצלע BC, ולכן ניתן להשוות, ומקבלים: ( ) ( ) ( ) ( ) 2sin tantan 22 cotcot2sin180 22 sin 22 2sin sinsin 22 2sinsinsin 22 sin 22 4sin rr RA BC BC rRBC BC rRBC BC BC BC r BC R B r R +=Ð ÐÐ æöæö ç÷ç÷ èøèø æÐÐö æöæö +=-Ð-Ð ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø ÐÐ æö + ç÷ èø ×=Ð+Ð ÐÐ æöæö × ç÷ç÷ èøèø ÐÐ æöæö Ð+Ð×× ç÷ç÷ èøèø = ÐÐ æö + ç÷ èø Ð × = cossinsin 2222 sin 22 4cossinsin 222 4sin90sinsin 222 4sinsinsin 222 CBCBC BC rBCBC R rBCBC R rABC R +ÐÐ+ÐÐÐ æöæöæöæö ××× ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø ÐÐ æö + ç÷ èø Ð+ÐÐÐ æöæöæö =××× ç÷ç÷ç÷ èøèøèø Ð+ÐÐÐ æöæöæö =×-×× ç÷ç÷ç÷ èøèøèø ÐÐÐ æöæö =××× ç÷ç÷ èøèø æö ç÷ èø כפי שרצינו להוכיח. B C O D A r _1451902201.unknown _1451902379.unknown _1451902422.unknown _1451903663.unknown _1451902288.unknown _1451902112.unknown _1451901575.unknown _1451902052.unknown

  2. #2
    הסמל האישי שלמיכאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יפה מאוד!

  3. #3
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    הי דפנה,

    אשמח אם תוסיפי את זה ל Emath WIKI (ראי https://www.emath.co.il/forums/%D7%94...7%AA/77244.htm )

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 5

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו