מציג תוצאות 1 עד 12 מתוך 12

אשכול: אינטגרלים מרוכבים בעזרת משפט שארית

  1. #1
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אינטגרלים מרוכבים בעזרת משפט שארית

    חברים, אני לומד פונקציות מרוכבות ואני עדיין לא מצליח להבין באיזה נוסחה אני אמור להשתמש ..נגיד יש לי את התרגיל הבא:
    לכידה.PNG
    הבנתי שצריך להשתמש בנוסחה של קוטב 2 אבל העסק מעורפל ואני לא מצליח להבין...אם יש משהו שאוכל לעשות לי סדר בדברים אני יותר מאשמח

  2. #2
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נשים לב שיש לפונקציה 2 קטבים מסדר 2 - אחד ב- z=1 והשני ב- z=-1. בנוסף מתקיים:
    $$\frac{1}{(z^2-1)^2}=\frac{1}{((z-1)(z+1))^2}=\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}=\frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}$$

    ולכן נוכל לחשב את האינטגרל ע"י:
    $$\int_{|z|=3}\frac{1}{(z^2-1)^2}dz=\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}dz+\int_{|z+1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz$$

    עבור אפסילון קטן מספיק (כל מספר קטן מ-2 יעבוד) [תוודא שאתה יודע להסביר את השוויון הנ"ל!].
    נחשב את האינטגרל הראשון לפי נוסחת קושי, תנסה לבד את האינטגרל השני (זה בדיוק אותו הדבר).
    הפונקציה $f(z)=\frac{1}{(z+1)^2}$ הולומורפית בתוך העיגול הקטן סביב 1 ולכן מתקיים:
    $$f'(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz$$

    ומכאן נקבל:
    $$\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz=2\pi i f'(1)=-\frac{\pi i}{2}$$

    באותה צורה אפשר לחשב את האינטגרל השני, סכומם יוצא האינטגרל הרצוי. מקווה שהכל ברור, בהצלחה!

  3. #3
    הסמל האישי שלO_m_r_i אסיסטנט חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יש הרבה הסברים ודוגמאות באינטרנט, למשל הסרטון הזה
    אני מעביר שיעורים פרטיים במתמטיקה באזור הקריות וגם ב-Skype.
    נא ללחוץ כאן לפרטים ויצירת קשר.

  4. #4
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    נשים לב שיש לפונקציה 2 קטבים מסדר 2 - אחד ב- z=1 והשני ב- z=-1. בנוסף מתקיים:
    $$\frac{1}{(z^2-1)^2}=\frac{1}{((z-1)(z+1))^2}=\frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}=\frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}$$

    ולכן נוכל לחשב את האינטגרל ע"י:
    $$\int_{|z|=3}\frac{1}{(z^2-1)^2}dz=\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z+1)^2}}{(z-1)^2}dz+\int_{|z+1|=\epsilon} \frac{\frac{1}{(z-1)^2}}{(z+1)^2}dz$$

    עבור אפסילון קטן מספיק (כל מספר קטן מ-2 יעבוד) [תוודא שאתה יודע להסביר את השוויון הנ"ל!].
    נחשב את האינטגרל הראשון לפי נוסחת קושי, תנסה לבד את האינטגרל השני (זה בדיוק אותו הדבר).
    הפונקציה $f(z)=\frac{1}{(z+1)^2}$ הולומורפית בתוך העיגול הקטן סביב 1 ולכן מתקיים:
    $$f'(1)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz$$

    ומכאן נקבל:
    $$\int_{|z-1|=\epsilon} \frac{f(z)}{(z-1)^2}dz=2\pi i f'(1)=-\frac{\pi i}{2}$$

    באותה צורה אפשר לחשב את האינטגרל השני, סכומם יוצא האינטגרל הרצוי. מקווה שהכל ברור, בהצלחה!
    לא ברור לי למה התעלמת מהמודולו 3 אפשר ככה להתעלם ממנו?

  5. #5
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי lidorabo צפה בהודעה
    לא ברור לי למה התעלמת מהמודולו 3 אפשר ככה להתעלם ממנו?
    איפה יש בשאלה / תשובה מודולו 3?

  6. #6
    משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני חושב שהוא התכוון לכך שהתחום של האינטגרל הוא כל ה-$z$-ים שהמודולוס שלהם הוא 3 ($\left|z\right|=3$).

  7. #7
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כן בדיוק למודולים שנתון בתחילת התרגיל התכוונתי..

  8. #8
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    פעם ראשונה שאני שומע מישהו קורא לערך מוחלט מודולוס או למעגל ברדיוס r מודול r.
    בכל מקרה זה אחד הדברים החשובים (והבסיסיים) באינטגרלים מרוכבים - כשרוצים לחשב אינטגרל על שפה של תחום מסוים, אפשר לפרק אותו לסכום של אינטגרלים על שפות של כל מיני תחומים שיתנו את אותה התוצאה, כך שהפונקציה הולומורפית בחלק מהתחומים. התוצאה מכך היא שהאינטגרלים על השפות של התחומים שבהם הפונקציה הולומורפית מתאפסים (לפי משפט קושי) ומקבלים אינטגרלים על שפות של תחומים אחרות (לרוב פשוטים יותר).
    דוגמה: האינטגרל $\int _{|z|=R} \frac{1}{z}dz$ יוצא אותו הדבר לכל R>0. ההסבר לכך הוא: בהינתן R1,R2 האינטגרלים המתאימים יהיו על שפה של עיגול ברדיוס R1 או R2 סביב הראשית. אפשר להראות שהאינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הגדול מביניהם יוצא האינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הקטן מביניהם ועוד האינטגרל על השפה של הטבעת בין המעגלים. משום שהפונקציה הולומורפית בטבעת מתקבל שהאינטגרלים על השפות של העיגולים שווים.

  9. #9
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    פעם ראשונה שאני שומע מישהו קורא לערך מוחלט מודולוס או למעגל ברדיוס r מודול r.
    בכל מקרה זה אחד הדברים החשובים (והבסיסיים) באינטגרלים מרוכבים - כשרוצים לחשב אינטגרל על שפה של תחום מסוים, אפשר לפרק אותו לסכום של אינטגרלים על שפות של כל מיני תחומים שיתנו את אותה התוצאה, כך שהפונקציה הולומורפית בחלק מהתחומים. התוצאה מכך היא שהאינטגרלים על השפות של התחומים שבהם הפונקציה הולומורפית מתאפסים (לפי משפט קושי) ומקבלים אינטגרלים על שפות של תחומים אחרות (לרוב פשוטים יותר).
    דוגמה: האינטגרל $\int _{|z|=R} \frac{1}{z}dz$ יוצא אותו הדבר לכל R>0. ההסבר לכך הוא: בהינתן R1,R2 האינטגרלים המתאימים יהיו על שפה של עיגול ברדיוס R1 או R2 סביב הראשית. אפשר להראות שהאינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הגדול מביניהם יוצא האינטגרל על השפה של העיגול ברדיוס הקטן מביניהם ועוד האינטגרל על השפה של הטבעת בין המעגלים. משום שהפונקציה הולומורפית בטבעת מתקבל שהאינטגרלים על השפות של העיגולים שווים.
    אחי אני ממש לא מבין על מה אתה מדבר איתי אשמח אם תעלה לכאן איזה מדריך מסודר...אני ממש אבל ממש לא מבין על מה אתה מדבר חח..

  10. #10
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אתה לומד במסגרת קורס מסוים? בצורה עצמאית? אם כן לאיזו מטרה? כמה זמן אתה לומד?

  11. #11
    משתמש רשום

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    במסגרת קורס.. כבר שנתיים לומד...הנדסת תוכנה..

  12. #12
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    התכוונתי כמה זמן אתה לומד את הקורס ולא בתואר.
    בכל מקרה אם זה במסגרת קורס כדאי שתיקח סיכומים מההרצאות / הרצאות מוקלטות של המקום בו אתה לומד (אם יש) / ספר הקורס וכד'. זה יהיה יותר מכוון למה שאתה צריך מאשר אנחנו ניתן לך מדריך חיצוני שלא בהכרח נותן את אותו המשקל לכל נושא בקורס כמו המרצה שלך.

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 1

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו