הפרדוקס של מונטי היל

[bigsigma]

השעשועון "עשינו עסק" שודרה בשנים 1994 עד 1996 בהנחיית אברי גלעד וצביקה הדר.
השעשועון התבסס על פורמט אמריקאי ששודר בשנים 1963 עד 1986 בהנחיית מונטי היל.
על שמו קיים הפרדוקס של מונטי היל שהתבסס על אחד המשחקים בשעשעון.

למתמודד הוצעו פרסים שנמצאו מאחורי 3 דלתות סגורות.
מאחורי אחד הדלתות הסתתר פרס שווה ערך ( בגירסה הישראלית - מכונית ) .
מאחורי שתי הדלתות האחרות הסתתרו פרסים קצת פחות שווים ( בגירסה הישראלית - דחלילים ).

המתמודד התבקש לבחור את אחת הדלתות ויכל לקחת את הפרס שהסתתר מאחוריה.

אבל בטרם פתיחת הדלת ( שעשעון או לא ? )

נפתחת אחת משני הדלתות הנותרות שמאחוריה ניצב אחד הדחלילים.

המתחרה נשאל האם ברצונו לשמור על הפרס מאחורי הדלת הסגורה שבחר או לשנות את בחירתו ולקחת את הפרס שמסתתר מאחורי הדלת הסגורה האחרת.

מה כדאי למתחרה לעשות ? לדבוק בבחירתו הראשונית או להחליף בין הדלתות ?

[עשהאל]

בס"ד

אחת השאלות היפות, שמדגימות את הנושא.

עוד גרסה: (היא מופיעה בספר של חיים שפירא, אבל קראתי עליה לפני כן)
שלושה אנשים (נניח, אברהם, יצחק ויעקב) מואשמים בפשע.
מכיוון שברור שאחד מהם ביצע את הפשע, ואין ראיות נוספות, מחליטים להגריל ביניהם, ומי שהגורל יעלה עליו, יוצא להורג.
כדי שגם האחרים יסבלו קצת, דוחים את ההוצאה להורג לעוד שבוע, ובינתיים לא מספרים להם על מי נפל הפור.
הסוהר יודע את תוצאות הגורל, אך נאסר עליו לספר לאסירים.
יעקב ביקש מהסוהר להגיד לו האם אברהם יישאר בחיים, או יצחק. (הרי ודאי לפחות אחד מהם יישאר בחיים. אם שניהם יישארו בחיים, הסוהר יבחר באופן אקראי).
הסוהר הסכים, ואמר לו שאברהם יישאר בחיים.
מה הסיכוי של יעקב למות? מה הסיכוי של יצחק?

[Hurricane]

פתרון (אני זוכר שצפיתי בפתרון הזה כבר, אז אני מרשה לעצמי לפרסם אותו):
http://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg

[ProMath]

זה הופיע בזמנו בסרט "21" והעיקרון ההסתברותי די נחמד :
מכיוון שהמתמודד בחר דלת מסויימת, ההסתברות שזכה במכונית היא שליש ושלא זכה-שני שליש. כלומר ההסתברות שהמכונית תהיה באחת משתי הדלתות האחרות היא 2/3 ... אולם ברגע שפותחים את אחת הדלתות האחרות, ההסתברות שהמכונית תהיה בדלת שנותרה נשארת כביכול 2/3....(ולכן עליו לשנות את בחירתו)

מקווה שאני צודק...

[אריאל]

בפרדוקס, לא פותחים אף דלת . [ הן נשארות סגורות, כך גם מודגם בסרט אגב.]

[BelgiAmir]

אם לא פותחים דלת אז באופן עקרוני קיימת הסתברות p שהמנחה דובר אמת ואחד פחות P שהוא משקר.
בלי לדעת את P אני לא חושב שאפשר לפתור את השאלה

[אריאל]

זה הפרדוקס.. אומרים לך תבחר דלת מבין השלושה אתה בוחר אחת, ואז שוב שואלים אותך, האם אתה בטוח? ולפי הפרדוקס אם תשנה את הדעה שלך לגבי הדלת יש לך סיכויים יותר גדולים לבחור בדלת הנכונה.. כאשר בהתחלה הסיכוי בין הדלתות שווה . לפחות כך הוסבר בסרט , אולי סופש אני אתעמק בזה יותר ואסביר לך אם לא תבין עדיין

[אריאל]

סליחה לא הסברתי מספיק טוב, כל דלת יש לה סיכוי של 30 אחוז(אני מעגל) שהיא הדלת הנכונה. כעת בחרת אחת מהדלתות. סיכוי של 30 שזאת הדלת שבחרת וסיכוי של 60 שאלה הן הדלתות האחרות. כעת פותחים אחת מהדלתות האחרות ומוצאים שזו אינה הדלת הנכונה אבל עדיין היחסים נשארים 30 לדלת שאתה בחרת ו (פה החלק החשוב) 60 אחוז לדלת שנשארה סגורה, ולכן עדיף לך סטטיסטית לשנות את הבחירה שלך לדלת שנשארה סגורה כלומר לא זאת שבחרת בהתחלה. ולמה זה פרדוקס? אני בטוח שתבין לבד.

[רועי סנפיר]

זה נשמע מסובך. אבל מצאתי בעצמי הסבר דיי פשוט:

המנחה חייב להשאיר את הפרס מבין הדלתות. לכן, נגיד שיש 100דלתות, והוא פותח 98 ומשאיר 2. אתה יודע שהפרס חייב להיות בשלך או בשני, ובגלל שיש רק 1/100 שהדלת הראשונה שבחרת היא עם הפרס, הרבה יותר סביר שהשנייה היא עם הפרס.

אני לא בטוח מה ההגדרה של פרדוקס, אבל דיי בטוח שההגדרה היא לא 'משהו מבלבל', ולכן אין פה שום פרדוקס ;]