מציג תוצאות 1 עד 6 מתוך 6

אשכול: חקירת פונקציה טריגונומטרית

  1. #1
    חבר ותיק חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חקירת פונקציה טריגונומטרית
    מספר עמוד : 642
    מספר תרגיל : 20

    y=1/(sinxcosx)zz

    צריך למצוא:
    א. תחום הגדרה.
    ב.נקודות קיצון.
    ג.תחומי עלייה וירידה.
    ד.נקודות חיתוך עם הצירים.
    ה.אסימפטוטות המקבילות לציר הx.
    ו.שרטט את גרף הפונקציה.

    תודה רבה לעזורים ושבת שלום

  2. #2
    הסמל האישי שלnirgt אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    איפה בידיוק הבעיה? במה נתקעת?
    "דקה אחת של הצלחה יכולה לממן שנות כישלון רבות."
    - רוברט בראונינג

  3. #3
    מדריכה ויועצת חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נתונה הפונקציה:

    y = \frac{1}{sin(x)cos(x)}

    תחום הגדרה:
    מכיוון שמדובר בשבר, אסור למכנה להתאפס כי אז יש חלוקה אסורה ב- 0. לכן יש לדרוש:

    sin(x)cos(x) \neq 0

    הדרך הקלה ביותר היא להשוות ל- 0, למצוא את הפתרונות ואז לשלול אותם כתחום הגדרה. יש לשים לב כי כאשר יש מכפלה השווה ל- 0, מספיק שאחד הגורמים יתאפס, כדי שהמכפלה כולה תתאפס, אז יש לבדוק כל גורם בפני עצמו, כלומר יש לפתור את המשוואות sin(x) = 0 וגם cos(x) = 0 ואת הפתרונות יש לשלול.

    נקודות קיצון:
    כדי למצוא את נקודות הקיצון, יש לגזור את הפונקציה, את הנגזרת להשוות ל- 0 ולבודד את x. כמובן שאם יוצא x שנשלל ע"י תחום ההגדרה, יש להסיר אותו כאפשרות. ה- x-ים שנשארו הם ה- x-ים החשודים כקיצון. גוזרים את הפונקציה פעם שניה, ומציבים את ה- x-ים שבודדו בנגזרת השניה. אם מקבלים תוצאה הקטנה ממש מ- 0, זוהי נקודת קיצון, אם מקבלים תוצאה הגדולה ממש מ- 0 זוהי נקודת מיניום, ואם מקבלים שוויון ל- 0, זוהי נקודת פיתול.

    נגזור את הפונקציה פעמיים:

    y = \frac{1}{sin(x)cos(x)}

    y' = \frac{1'{\cdot}sin(x)cos(x)-1{\cdot}[sin(x)cos(x)]'}{sin^2(x)cos^2(x)} =

    = \frac{-[sin(x)cos(x)]'}{sin^2(x)cos^2(x)} =

    = \frac{-[sin'(x)cos(x)+sin(x)cos'(x)]}{sin^2(x)cos^2(x)} =

    = \frac{-[cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)]}{sin^2(x)cos^2(x)} =

    = \frac{-[cos^2(x)-sin^2(x)]}{sin^2(x)cos^2(x)} =

    = -\frac{cos(2x)}{sin^2(x)cos^2(x)}


    y'' = -\frac{cos'(2x){\cdot}sin^2(x)cos^2(x)-cos(2x){\cdot}[sin^2(x)cos^2(x)]'}{sin^4(x)cos^4(x)}

    = -\frac{-2sin(2x)sin^2(x)cos^2(x)-cos(2x){\cdot}[2sin(x)cos^3(x)-2sin^3(x)cos(x)]}{sin^4(x)cos^4(x)}

    = -\frac{-4sin^3(x)cos^3(x)-[cos^2(x)-sin^2(x)]{\cdot}[2sin(x)cos^3(x)-2sin^3(x)cos(x)]}{sin^4(x)cos^4(x)}

    = -\frac{-4sin^3(x)cos^3(x)-[2sin(x)cos^5(x)-2sin^3(x)cos^3(x)-2sin^3(x)cos^3(x)+2sin^5(x)cos(x)]}{sin^4(x)cos^4(x)}

    = -\frac{-2sin(x)cos^5(x)-2sin^5(x)cos(x)]}{sin^4(x)cos^4(x)}

    = -\frac{sin(x)cos(x)[-2cos^4(x)-2sin^4(x)]}{sin^4(x)cos^4(x)}

    = -\frac{-2cos^4(x)-2sin^4(x)}{sin^3(x)cos^3(x)}

    = \frac{2sin^4(x)+2cos^4(x)}{sin^3(x)cos^3(x)}

    תחומי עליה וירידה:
    בודקים את הנגזרת בין נקודות אקראיות שנבדקות בין נקודות הקיצון ואז מחליטים מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת.

    נקודות חיתוך עם הצירים:
    כל נקודה על ציר ה- x מקיימת y = 0, אז כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x יש לפתור את השוויון:

    \frac{1}{sin(x)cos(x)} = 0

    כל נקודה על ציר ה- y מקיימת x = 0 אז יש להציב x = 0 ולמצוא את ערכי y האפשריים:

    y = \frac{1}{sin(0)cos(0)}

    כמובן שלאורך כל הדרך יש להתחשב בתחום ההגדרה.

    שרטוט הפונקציה:
    לאחר כל שלב החקירה, יש לשרטט במערכת הצירים את נקודות הקיצון, נקודות החיתוך עם הצירים, ולחבר את נקודות הקיצון לפי תחומי עליה וירידה.
    אהבתי daniel_y, Shelly.Y אהב \ אהבו את התגובה
     

  4. #4
    חבר בכיר חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שאלה -
    אני כדי למצוא קיצון משווה את הנגזרת ל0
    הגעתי לcos2x=0
    כשאני פותר ככה יוצא לי רק
    x=+-45+90k,
    ז"א פלוס מינוס פאי חלקי 4, אבל לפי הספר חסרה תשובה.
    רק כשאני הופך את cos2x בעזרת הזהות ל-
    2cos^2x-1 אני מגיע גם לפיתרון השני, שזה פלוס מינוס 3 חלקי 4 פאי.

    למה זה? האם טעיתי בחישוב עם cos2x=0?

  5. #5
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    נראה לי שכדאי להכפיל את המונה והמכנה ב-2
    כך שנקבל במונה 2
    ובמכנה סינוס של 2X
    (לפי הנוסחא: sin 2x= 2 sin x con x)

    הגזירה תהייה קלה יותר

  6. #6
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אני לפני שגזרתי השתמשתי בזווית כפולה ואז יצא ש 2/סינוס 2 X ... לפעמים שווה לסדר מחדש

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 6

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו