מציג תוצאות 1 עד 3 מתוך 3

אשכול: חישוב אורך תיכון במשולש עם/בלי שימוש בטריגונומטריה

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חישוב אורך תיכון במשולש עם/בלי שימוש בטריגונומטריה
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    שלום רב,

    אדגים עכשיו את חישוב אורך התיכון לצלע מסוימת במשולש

    ראשית הערה: העורך המתמטי הוסיף בכמה מקומות פלוסים מיותרים שיתכן שיוצגו בדפדפנים מסוימים. אני מקווה שמה שרשום בכל זאת די ברור

    ובכן נתון משולש

    \Delta ABC BC=a, AC=b, AB=c

    תהיה הנקודה M אמצע BC. יהיה AM התיכון לצלע BC במשולש הזה


    צריך לחשב את אורך AM(מצ"ב שרטוט)

    image28.jpg

    נחשב את אורכו תוך שימוש בטריגונומטריה. השימוש בגיאומטריה יוצג בתגובה נפרדת

    נאריך את התיכון AM כארכו AM=MD. נקבל מקבילית ABCD ׁ(מדוע?)


    על ידי בניית העזר יווצר לנו משולש \Delta ABD

    BD=AC=b כצלעות נגדיות במקבילית הזאת
    AB=c

    אורך הצלע AD הוא פעמיים אורך התיכון AM


    כדי למצוא את הצלע השלישית AD אנחנו צריכים את קוסינוס הזווית ABD
    נוכל לחשב את הקוסינוס הזה על ידי מציאת קוסינוס הזווית BAC במשולש \Delta ABC שנתונות לנו כל צלעותיו
    לפי משפט הקוסינוסים:


    BC^{2}=a^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot cosBAC=c^{2}+b^{2}-2bc\cdot cosBAC\Rightarrow cosBAC=-\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{2bc}


    עכשיו הזוויות BAC,ABD הן זוויות חד צדדיות ביו קטעים מקבילים AC,BD

    ABD=180^{\circ }-BAC\Rightarrow cosABD=cos(180^{\circ }-BAC)=-cosBAC


    cosABD=\frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{2bc}\Rightarrow AD^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \frac{a^{2}-c^{2}-b^{2}}{2bc}
    AD^{2}=b^{2}+c^{2}-(a^{2}-c^{2}-b^{2})=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}

    מכאן אורך התיכון:

    AD=\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 25-04-2018 בשעה 11:53
    אהבתי מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  2. #2
    הסמל האישי שלמיכאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יפה

  3. #3
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל חישוב אורך תיכון במשולש על סמך שלושת צלעותיו תוך שימוש בגיאומטריה

    נראה עכשיו דרך של חישוב אותו תיכון במשולש \Delta ABC משיקולים גיאומטריים

    יהי נתון המשולש \Delta ABC, AB=c, AC=b,BC=a
    וכן התיכון AM לאמצע הצלע BC BM=CM
    צריך לחשבו תוך שימוש בגיאומטריה


    נוריד את הגובה AH לצלע BC. הגובה יכול לפגוש את הנקודה H שהיא בין ל-C אם הזוויות
    ABC ACB חדות או בהמשכה אם אחת מהזוויות ABC,ACB כהה

    נתחיל במקרה הראשון כאשר הזוויות ABC,ACB חדות(מצ"ב שרטוט)

    image29.jpg

    הנקודה H יותר קרובה ל-B

    BH הוא היטל הצלע AB על הצלע BC


    BH=x\Rightarrow CH=BC-BH=a-x

    לפי משפט פיתגורס על המשולשים ישרי הזווית \Delta ABH,\Delta ACH
    AB^{2}-BH^{2}=c^{2}-x^{2}=AC^{2}-CH^{2}=b^{2}-(a-x)^{2}

    נפתח את הביטויים ונקבל:

    c^{2}-x^{2}=b^{2}-a^{2}+2ax-x^{2}\Rightarrow x=\frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2a}

    מכאן אורך הגובה AH:

    AH^{2}=c^{2}-(\frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2a})^{2}



    כדי לחשב את אורך התיכון AM, נסתכל על המשולש ישר הזווית \Delta AHM

    HM=BM-BH=\frac{a}{2}-BH=\frac{a}{2}-x

    לפי משפט פיתגורס על המשולש הזה:

    ריבוע AM (יתר) שווה לריבוע AH פלוס ריבוע HM (ניצבים)

    לכן

    AM^{2}=c^{2}-x^{2}+(\frac{a}{2}-x)^{2}=c^{2}-x^{2}+\frac{a^{2}}{4}-ax+x^{2}

    c^{2}-x^{2}+\frac{a^{2}}{4}-ax+x^{2}=c^{2}+\frac{a^{2}}{4}-ax=


    c^{2}+\frac{a^{2}}{4}-ax=c^{2}+\frac{a^{2}}{4}-a\cdot \frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2a}



    c^{2}+\frac{a^{2}}{4}-ax=c^{2}+\frac{a^{2}}{4}-a\cdot \frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2a}=c^{2}+\frac{a^{2}}{4}- \frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2}=


    c^{2}+\frac{a^{2}}{4}- \frac{c^{2}-b^{2}+2^{2}}{2}=\frac{4c^{2}+a^{2}-2c^{2}+2b^{2}-2a^{2}}{4}=

    AM^{2}=\frac{4c^{2}+a^{2}-2c^{2}+2b^{2}-2a^{2}}{4}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{4}

    \Rightarrow AM= \frac{\sqrt{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}}{2}

    אם הזווית ABC שווה ל-90 מעלות אזי יוצא ש-x=0 כלומר אורך היטל הצלע AB על BC הוא 0

    אם הנקודה H יותר קרובה ל-C כמו שניתן לראות בשרטוט

    image31.jpg



    CH=a-x\Rightarrow AH^{2}=AC^{2}-CH^{2}=b^{2}-(a-x)^{2},HM=x-\frac{a}{2}


    AM^{2}=AH^{2}+HM^{2}=b^{2}-(a-x)^{2}+(x-\frac{a}{2})^{2}=

    b^{2}-(a-x)^{2}+(x-\frac{a}{2})^{2}=b^{2}-a^{2}+2ax-x^{2}+x^{2}-ax+\frac{a^{2}}{4}=

    AM^{2}=b^{2}-a^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4}=b^{2}-a^{2}+a\cdot \frac{c^{2}-b^{2}+a^{2}}{2a}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{4}


    כלומר גם במקרה הזה: AM=\frac{\sqrt{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}}{2}

    נעבור עכשיו למקרה בו או הזוית ABC או הזווית ACB כהות


    נניח שהזווית ABC כהה. אותו טיפול הוא כאשר הזווית ACB כהה (מצ"ב שרטוט)


    image32.jpg

    הגובה AH פוגש את המשך BC ב-H. המשולש \Delta ABH ישר זווית

    נקבל את המשוואה:
    c^{2}-x^{2}=b^{2}-{(a+x)}^{2}\Rightarrow BH=x=\frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2a}

    עכשיו במשולש ישר הזווית \Delta AMH:

    AH^{2}=c^{2}-x^{2},HM=\frac{a}{2}+x\Rightarrow AM^{2}=AH^{2}+HM^{2}=

    c^{2}-x^{2}+(x+\frac{a}{2})^{2}=c^{2}-x^{2}+x^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4}=


    c^{2}-x^{2}+x^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4}=c^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4}=

    c^{2}+ax+\frac{a^{2}}{4}=c^{2}+a\cdot \frac{b^{2}-a^{2}-c^{2}}{2a}+\frac{a^{2}}{4}=
    c^{2}+\frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}-\frac{c^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{4}=\frac{4c^{2}+2b^{2}-2a^{2}-2c^{2}+a^{2}}{4}=

    \frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{4}\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}}{2}

    שוב מגיעים לאותה נוסחא עבור אורך התיכון

    מה שרואים כאן, שלא היינו צריכים להשקיע הרבה כדי לחשב את אורך התיכון באמצעות טריגונומטריה.

    חישוב אורך התיכון באמצעות גיאומטריה דרש לא מעט השקעה, כי היינו צריכים לבדוק מקרים שונים
    הנובעים מבניית העזר
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 26-04-2018 בשעה 08:07
    אהבתי חישוב אורך תיכון במשולש עם/בלי שימוש בטריגונומטריהChompalamantza אהב \ אהבו את התגובה
     

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 1

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו