מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: מדריך לסדרות

  1. #1
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל מדריך לסדרות
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר


    • מקרא:
      1. מספר איברים
      2. הבנת הנקרא
      3. הגדרת איבר
      4. הוכחת סדרה חשבונית
      5. נוסחאות סדרה חשבונית
      6. הוכחת סדרה הנדסית
      7. נוסחאות סדרה הנדסית
      8. סדרה הנדסית קבועה q=1
      9. סדרה הנדסית q=שבר

      10. סדרה הנדסית אין סופית
      11. דילוגים
      12. מקום סידורי / איברים עוקבים
      13. סדרות מעורבות
      14. איברים אמצעיים
      15. איברים אחרונים
      16. משוואה מעריכית
      17. ערך מוחלט
      18. פתרון מהיר
      19. הוספת איברים
      20. סדרה בתוך סדרה
      21. סדרת הפרשים
      22. לא חשבונית/לא הנדסית
      23. n גדול /קטן מ
      24. סדרה חיובית/שלילית
      25. טור טלסקופי
      26. סדרת מס' מרוכבים
      27. חדו"א

      המלצה כללית : כאשר לא ברור : עדיף לקחת דוגמה קטנה ולראות מה קורה.
      1. מספר איברים
      ניקח דוגמה : a2,a3,a4
      מס' האיברים
      I 4-2 +1=3

      בסדרה a1,a2,a3,a4...a51
      כמה איברים בסדרה ?

      טעות נפוצה : 51-1=50 איברים - לא !!
      I 51-1 +1=51 נכון (ההפרש בין הקיצוניים פלוס 1 )

      בסדרה זו כמה איברים זוגיים ?
      a2,a4,a6,a8.....a50
      I (50-2)/2 +1=25
      בסדרה זו כמה איברים אי-זוגיים ?
      a1,a3,a5,a7....a51
      I (51-1)/2 +1=26
      בסדרה זו מהתחלה- כמה איברים בדילוג 3 ?
      a1,a4,a7....a49
      I (49-1)/3 +1=17
      בסדרה זו מהתחלה -כמה איברים בדילוג 4 ?
      a1,a5,a9...a49
      I (49-1)/4 +1=13


      אפשרות פיתרון אחרת :
      נתונה הסדרה החשבונית ...a1,a2,a3.בסדרה ישנם 48 איברים.
      א.מצא כמה איברים ישנם בסדרה a3,a6,a9...a48.
      ב. מצא כמה איברים ישנם בסדרה
      a3,a7,a11,...a47.

      זו סדרה שהאיברים שלה הם המקומות של האיברים בסדרה המקורית.
      היא נראית כך :48, ... ,12, 9, 6, 3
      למעשה סדרה חשבונית שבה ההפרש בין שני איברים הוא 3.
      נשתמש בנוסחה למציאת האיבר הכללי :
      an=a1 + d(n-1) I
      I 48=3ּ+3ׂ(n-1)I
      n=16
      ב.
      I 47=3+4(n-1) I
      n=12

      I 1+z+z^2 +...z^n
      הסדרה הנדסית
      a1=1
      q=z
      המטרה : למצוא כמה איברים N בסדרה זו

      aN=a1*z^(N-1)=z^n לפי האיבר האחרון
      I 1*z^(N-1)=z^n
      N-1=n
      N=n+1
      ---------------------------
      דרך נוספת:
      I 1+z+z^2 +...z^n
      I z^0 +z^1 +z^2 +...z^n
      N=n-0 +1=n+1
      2. הבנת הנקרא
      בנוסחאות לה"לן יש שימוש ב :
      odd עבור אי-זוגי
      even עבור זוגי

      איך תזכור : odd - אי זוגי
      * כאשר אדם הראשון היה בגן עדן לבדו - ( איזוגי) הוא צעק לבורא עולם : "עוד " (odd)

      אז הוא ברא לו את האישה...
      ו"יִּבֶן" (even) ה' אֱלֹהִים אֶת הַצֵּלָע אֲשֶׁר לָקַח מִן הָאָדָם לְאִשָּׁה וַיְבִיאֶהָ אֶל הָאָדָם--> כעת זוגי (even)

      3 מס' עוקבים=6,7,8.
      3 איברים עוקבים=
      a(n-1) ,an ,a(n+1)I .דוג' : a7,a8,a9

      איבר אחרון<=an לעומת a*n<=an(ראה סעיף 4 שאלה אחרונה )

      מס ' האיברים הוא זוגי--> נרשום 2n .
      מס' האיברים אי זוגי ---> נרשום 2n +1
      ( עדיף לחישובים)
      ----ץץץץץץץץץץץץץץץץץץץ---או 2n -1

      בסדרה בת 2n +1 איברים ---> מצאנו 6 =n --->לא לשכוח לרשום את התשובה הסופית : מספר האיברים=13=2n +1

      פועל השתכר ביום הראשון לעבודתן 460, ובכל יום נוסף הוא השתכר 14 שקלים יותר מאשר ביום קודם. הפועל הוציא למחייתו בכל יום 400 שקלים ואת שאר הכסף חסך.
      כמה ימים עבד הפועל אם הצליח לחסוך בסה''כ 735 שקלים?
      i [2*460 +14(n-1)]n/2 - 400n=735
      7n^2 +53n -735=0
      n1=7.13
      n2 שלילי
      לכן התשובה היא : 8 ימים ! (כי ב7 ימים עדיין לא חסך 735 ש"ח)

      בסדרה בת n איברים :
      (S(n-1 = לא כולל את האחרון (an)
      n-1 = S last(n-1)I אחרונים ---> לא כולל את הראשון (a1)
      an=הגדרת איבר במקום אי זוגי
      a2n= הגדרת איבר במקום זוגי

      בסדרה חשבונית יש 3n איברים . סכום n האיברים האחרונים גדול פי 2 מסכום n האיברים הקודמים להם .

      a1...(n)...an , a(n+1)...(middle n)....a2n , a(2n+1)....(last n)....a3n

      n איברים קודמים=קבוצת n אמצעית (middle)
      S last n =2S middle n

      בסדרה חשבונית יורדת יש מספר אי זוגי של איברים .האיבר השני בסדרה הוא 100 והאיבר האחרון הוא257-
      א. אם נתון שסכום כל איברי הסדרה פרט לאיבר הראשון הוא 9420- , מצא כמה איברים יש בסדרה
      ב. חשב את הפרש הסדרה ואת האיבר הראשון
      אי זוגי=2n+1
      a2=100
      a1+d=100
      a1=100-d

      a(2n+1)=-257
      a1+d(2n+1 -1)=-257
      נציב a1
      d=-357/(2n-1) I
      ----
      ללא איבר ראשון
      מס' איברים=2n+1 -1=2n
      S=[2a2 +d(2n-1)](2n)/2=-9420
      נציב a2, d

      סכום סדרה הנדסית ללא איבר האחרון הוא 480 וללא האיבר הראשון (בלבד) הוא 1440.
      חשב q
      Sn-1 = 480
      a1[q^(n-1) -1)]/(q-1)=480

      S lastn-1 = 1440
      a2[q^(n-1) -1]/(q-1)=1440
      a1q[q^(n-1) -1]/(q-1)=1440
      נחלק בין משוואות
      I 1/q=480/1440
      q=3

      שיטה לחישוב איבר ראשון:
      בסדרה הנדסית n איברים . סכום n-3 אחרונים שווה 240 .
      n-3 אחרונים מתחילים ב : a4
      I n-x +1=n-3
      x=4
      I n-4 +1=n-3הוכחה

      a1q^3[q^(n-3) -1]/(q-1)=240

      * כאשר מציבים בסדרת נסיגה - יש להקפיד קודם להעלות בחזקה ואח"כ לבצע פעולות אחרות .

      הערה : שים לב לשינוי ב... לעומת השינוי ל...
      נתון : איבר =x

      הקטנת האיבר ב 30 =x-30
      הגדלת האיבר ב 30 =x+30

      הקטנת האיבר ב 1/3 = I (2/3)x=2x/3
      הגדלת האיבר ב 1/3 = I (4/3)x=4x/3

      הקטנת האיבר ל 1/3 = I x/3
      הגדלת איבר ל 5/3 מגודלו הקודם = I (5/3)x=5x/3

      הקטנת האיבר ב 20% = 0.80x
      הגדלת האיבר ב 20% = 1.20x

      הקטנת האיבר ל 20% מגודלו הקודם= 0.20x
      הגדלת האיבר ל 130% מגודלו הקודם= 1.30x

      הגדלת האיבר פי 1/3 2 = I (7/3)x=7x/3
      הקטנת האיבר פי 1/3 2= x : (7/3)=3x/7

      איבר שווה 1/3 מגודלו הקודם = x/3
      איבר x2 גדול פי 25/9 --> x2/x=25/9

      הערה : כאשר נדרש מספר זוגי/אי-זוגי
      לא צריכים לציין בשאלה : המספר שלם
      כי אי-זוגיות/זוגיות היא תכונה רק של שלמים.


      3. הגדרת איבר
      נתונה סדרה ....2,5,10
      הגדר את an
      an=n^2 +1
      נתונה סדרה ....2,6,12
      הגדר את an
      an=n^2 +n
      נתונה סדרה an=7n-3 . מגדירים סדרה bn באופן הבא :
      ...a1+2a2 , a2+2a3 , a3+2a4
      הביעו בעזרת n את bn.
      bn=an +2a(n+1) I
      a(n+1)=7(n+1) -3=7n +4 <--נציב n+1
      bn=a(n)+2a(n+1)=7n-3 +2(7n+4)=21n+5

      סכום n האיברים בסדרה הנדסית הוא Sn=5*4^n -5
      א)מצא תבנית לאיבר הכללי an
      בדוק אם נכונות התבנית שקיבלת גם עבור n=1
      ב)מצא בסדרה את גודלו של האיבר,שסכום כל האיברים הקטנים ממנו הוא 20475

      אנו יודעים כי בכל סדרה, האיבר הכללי מקיים:



      נביע את כל אחד מהסכומים באמצעות על פי הנתון, ונקבל:



      נציב ונקבל:


      קל לראות ש- מקיים את הביטוי.

      ב-ב', נמצא קודם כל את עבורו .



      לאחר שמצאנו כמה איברים צריך לסכום כדי להגיע לסכום המבוקש, נמצא את האיבר שנמצא אחרי האיבר האחרון שסכמנו, כלומר נמצא את .

      נציב בביטוי מסעיף א', ונקבל:

      (קודם העלאה בחזקה !)

      סדרה מוגדרת ע"י הנוסחה an=n^2 -7n+20
      א. מצא מקומם של 2 איברים בסדרה השווים 10
      ב. מצא מקומם של 2 איברים סמוכים השווים זה לזה

      n^2 -7n+20=10
      n^2 -7n+10=0
      n1=5
      n2=2
      a5,a2
      ב.
      a(n+1)=(n+1)^2 -7(n+1)+20 איבר לידו קדימה
      an=a(n+1) I
      n^2 -7n+20=(n+1)^2 -7(n+1) +20
      n=3
      a3=a4

      4. הוכחת סדרה חשבונית

      סדרה חשבונית בנויה מאיברים המסודרים בהפרש d+ עולה או יורד .
      a2-a1=d=a3-a2 (כאשר d=0 הסדרה קבועה )

      אם סכום n אחרונים גדול מסכום n ראשונים : הסדרה עולה .

      נתונה סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה : Sn=2n^2 +4n
      כלל הנסיגה = נוסחה המאפשרת למצוא איבר בסדרה באמצעות האיבר לפניו או אחריו .
      מצא ערך 3 איברים ראשונים. הוכח שהסדרה חשבונית.
      הערה : הסדרה מוגדרת לכל n טבעי ( מס' שלם חיובי)
      S
      1=a1=2*1^2 +4*1=6 ( <-- נציב n=1 ) שים לב : קודם להעלות בחזקה !
      S
      2=a1+a2=2*2^2 +4*2=16 ( נציב 2=n )
      a2=S2-S1=16-6=10
      S
      3=a1+a2+a3=2*3^2 +4*3=30 ( נציב n=3 )
      a3=S3-S2-S1=30-16=14
      למרות שרואים הפרש
      4 זו לא הוכחה- כי לא ידועים כל איברי הסדרה בהמשך !!!
      ----------------------------------------------------------------------------
      להוכחה יש 2 דרכים :
      * הדרך הארוכה : מציאת איבר כללי והפרש .
      ** הדרך הקצרה ע"י מס' עוקבים בנוסחת הנסיגה ( אם אפשר )
      ----------------------------------------------------------------------------

      *הוכחה :
      שלב א' : מציאת נוסחת איבר כללי
      an=Sn
      - S(n-1) I (כמו שחישבנו למעלה --> ע"י n בנוסחת נסיגה)
      an=2*n^2 +4n
      - [2*(n+1)^2 +4(n+1)]I
      I
      =2n^2 +4n-[2(n^2 +2n+1) +4n+4 קודם העלאה בחזקה
      I=2n^2 +4n -2n^2 -4n-2 +4n+4=4n+2
      ................... * שים לב לא לטעות S(n+1) - Sn = a(n+1)I לא מתאים

      שלב ב' : מציאת הפרש כללי
      d=an - a(n-1)=4n+2 -[4(n-1) +2)]=4
      * אפשר גם :d=a(n+1) -anI

      קיבלנו הפרש שהוא מס' חופשי (4) ללא תלות ב n : לכן זו סדרה חשבונית

      **הוכחה מקוצרת : עבור סדרה המוגדרת ע"י כלל הנסיגה : an=a(n+1) -11 הוכח סדרה חשבונית.
      a(n+1) -an=11 קיבלנו הפרש בין 2 מס' עוקבים שהוא מס' חופשי 11 ללא תלות ב n לכן זו סדרה חשבונית.

      סדרה מוגדרת על ידי הכלל a(n+2)=an +7 , נתון כי a2=2a1=2.
      א. הראו כי איברי הסדרה העומדים במקומות זוגיים מהווים סדרה חשבונית.
      ב. הראו כי איברי הסדרה העומדים במקומות אי זוגיים מהווים סדרה חשבונית.
      ג. חשבו את ההפרש a100-a99
      a(n+2) -an=7 ע"י הזזה בנוסחת הנסיגה קיבלנו הפרש בקפיצה של 2 שווה 7 לכן לפנינו סדרת זוגיים וסדרת אי זוגיים המהווים סדרות חשבוניות.
      ג. עבור 100 איברים : 50 זוגיים + 50 אי זוגיים
      a100=a2+(50-1)7 בסדרת הזוגיים
      a99=a1+(50-1)7 בסדרת האי-זוגיים
      a2=2
      a1=2/2=1

      a100-a99=a2+(50-1)7 - [a1+(50-1)7]=a2-a1=2-1=1

      סכום n האיברים הראשונים של סדרה הוא Sn= -2n^2 +5n +c
      לאיזה ערך של C הסדרה היא סדרה חשבונית?
      S1=a1= -2*1^2 +5*1+c= -2*1 +5+c=3+c <--נציב n=1 (שים לב : קודם להעלות בחזקה )

      a
      2=S2 - S1= -2*2^2 +5*2+c -S1=2+c-(3+c)= -1

      an=Sn - S(n-1)= -2n^2 +5n+c
      -[-2(n-1)^2 +5(n-1)+c] I משוואת איבר כללי
      I = -2n^2 +5n+c - [-2(n^2 -2n+1) +5n-5+c] I
      I = -2n^2 +5n+c - [-2n^2 +4n-2 +5n-5+c] I
      I= -2n^2 +5n+c +2n^2 -9n+7-c= -4n+7

      d=an - a(n-1)= -4n+7
      - [-4(n-1)+7]= -4 משוואת הפרש כללי

      בסדרה חשבונית חייב להתקיים :
      a2-a1=d= -4
      I -1-(3+c)= -4
      c=0

      סכום n איברים הראשונים של סדרה הוא Sn=a*n^2 +bn +1 . נתון S3=52 , S6=157 . מצא את a b . האם הסדרה חשבונית ?
      52=a*3^2 +3b +1
      a*5^2 +5b +1=157
      a=3
      b=8
      Sn=3n^2 +8n +1
      S(n-1)=3(n-1)^2 +8(n-1) +1
      an=Sn - S(n-1)=3n^2 +8n +1 - (3n^2 +2n-4)=6n+5
      d=an - a(n-1)=6n+5 - [6(n-1) +5]=6
      ההפרש הוא מס' חופשי ללא n לכן הסדרה חשבונית.

      5. נוסחאות סדרה חשבונית
      (an=a1 +d(n-1 נוסחת איבר כללי

      לסכום יש 2 נוסחאות אפשריות :
      לפי איבר ראשון או לפי 2 איברים קיצוניים

      Sn=(a1 + an)n/2 = [2a1 +d(n-1)]n/2

      בסדרה חשבונית 20 איברים וסכום כל האיברים פרט לראשון והאחרון הוא 171. מצא את סכום הסדרה.
      I [2a2+d(18-1)]18/2=171
      I[2(a1+d)+d(18-1)]18/2=171
      2a1+19d=19
      i S20=[2a1+d(20-1]20/2=[2a1+19d]10=19*10=190

      בסדרה זוגית 2n איברים(דוג: a1,a2,a3,a4 n=2)..................................עקב הדילוג
      S odd = [a1 + a(n-1)]n/2 = [2a1 +2d(n -1)]n/2 סכום אי זוגיים (הפרש=2d , מס' איברים=n )
      S even = [a2 + a2n)n/2 = [2a2 +2d(n -1)]n/2 סכום זוגיים (הפרש=2d , מס' איברים=n )

      בסדרה אי-זוגית 2n+1 איברים
      (דוג: a1,a2,a3,a4,a5 n=2)
      S odd =[a1 + a(2n+1)](n+1)/2 = [2a1 +2d(n+1 -1)](n+1)/2 סכום אי זוגיים (הפרש=2d , מס' איברים=n+1)
      S even =[a2 + a2n)n/2 = [2a2 +2d(n -1)]n/2 סכום זוגיים (הפרש=2d , מס' איברים=n )

      בסדרה אי-זוגית 2n-1 איברים
      (דוג : a1,a2,a3 n=2 )
      S odd = [a1 + a(2n-1)]n/2 =[2a1 +2d(n -1)]n/2 סכום אי זוגיים (הפרש=2d , מס' איברים=n )
      S even =[a2 + a(2n)](n-1)/2= [2a2 +2d(n-1 -1)](n-1)/2 סכום זוגיים (הפרש=2d , מס' איברים=n-1 )

      החלפת סימן + למינוס באיברים זוגיים (....a1,-a2,a3,-a4,a5)
      זוגיS=S odd - S even (סכום חיוביים פחות סכום שליליים - בסדרה המקורית לפני השינוי) שים לב : הפרש=2d
      החלפת סימן + למינוס באיברים אי זוגיים (...a1,a2 ,-a3,a4,-a5-)
      איזוגיS=S even - S odd (סכום חיוביים פחות סכום שליליים - בסדרה המקורית לפני השינוי) שים לב : הפרש=2d

      בסדרה חשבונית 2n-1 איברים. סכום 6 איברים ראשונים=90 . סכום 12 אחרונים=660 . מצא n אם a1=10
      90=S6=[2*10+d(6-1)]6/2

      * נוסחה לחישוב סכום מהסוף אחורה : d משנה סימן !
      Sn=[2an -d(n-1)]n/2 סכום מהסוף להתחלה (an איבר ראשון)
      S last12=[2a(
      2n-1) -d(12-1)]12/2=660 סכום 12 איברים אחרונים
      נציב an=10+d(n-1)
      I

      an=[a(n-1) + a(n+1)]/2 כל איבר אמצעי הוא ממוצע האיברים לצדדיו .

      an=Sn - S(n-1)
      I מציאת איבר לפי סכומים
      מתאים למציאת תבנית איבר כללי לפי נוסחת נסיגה.
      ............................*שים לב לא לטעות : S(n+1) - Sn=a(n+1)I לא מתאיםIללל

      הערה כללית : איבר אמצעי רצוי לציין כ x - זה מאפשר צמצום .
      נתון : סכום 3 איברים עוקבים =21 . מצא a2
      x-d + x + x+d=21
      x=a2=7

      a2-a1=d לכן :
      אי זוגיd=Sn even - Sn odd
      מציאת הפרש לפי סכומים (* מס' האיברים שווה)

      ילד טיפס על סולם באופן הבא : תחילה הוא עלה שלב ואחר כך ירד לתחתית הסולם. לאחר מכן הוא עלה שני שלבים ושוב ירד לתחתית הסולם וכך הוא המשיך - כל פעם הוא עלה שלב אחד יותר מאשר בפעם הקודמת וירד לתחתית הסולם. לאחר שהוא הגיע לשלב האחרון של הסולם הוא לא ירד יותר. מצא את גובה הסולם אם נתון ש המרחק בין כל שני שלבים סמוכים הוא 25 ס"מ וידוע שהילד עבר בעלייתו וירידתו 36 מטר
      ס"מ a1=25+25 עלה וירד פעם ראשונה
      a2=50+50 עלה וירד פעם שנייה
      d=50
      n=כמה פעמים עלה וירד
      עלייה ללא ירידה
      Sn + 25(n+1)=3600
      I [2*50+50(n-1)]n/2 +25(n+1)=3600
      גובה הסולם :
      I 25(n+1) Iס"מ

      6. הוכחת סדרה הנדסית
      סדרה הנדסית בנויה מאיברים המסודרים במנה q עולה (q>1 ) או יורדת.
      a2/a1=q=a3/a2 (כאשר q=1 הסדרה קבועה )

      שים לב : אם המנה היא שלילית - האיברים יהיו בעלי סימן מתחלף +

      כאשר המנה היא שבר פשוט חיובי - סכום n אחרונים קטן מסכום n ראשונים.
      סדרה מוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה
      הסדרה bn מוגדרת לכל n טבעי ע"י a(n+1) = -0.5an +5.5
      bn=an -3
      הוכח שהסדרה bn היא סדרה הנדסית.
      -----------------------------------------------------------------------
      להוכחה יש 2 דרכים :
      * הדרך הארוכה : מציאת איבר כללי ומנה .
      ** הדרך הקצרה ע"י מס' עוקבים בנוסחת הנסיגה ( אם אפשר )
      -----------------------------------------------------------------------

      * הוכחה :
      א. מציאת איבר כללי :

      ב.מציאת מנה כללית :


      המנה היא מס' חופשי 0.5- : ללא תלות ב n - לכן זו סדרה הנדסית

      **הוכחה מקוצרת :
      סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה 7an=a(n+1)
      I הוכח הסדרה הנדסית.
      a(n+1)/an=7 קיבלנו מנה כללית בין 2 מס' עוקבים 7 שאינה תלויה ב n לכן זו סדרה הנדסית.


      [IMG]https://******.com/il/tt-resources/request-quarantine/SRQ10043185-0-636455094142214765.jpg[/IMG]

      b(n+1)=a(n+1) +3=(an -9)/4 +3=(an +3)/4 נציב n+1
      b(n+1)/bn=(an +3)/4 : (an +3)=1/4

      b1=a1+3=5
      an=bn -3=b1q^(n-1) -3=5q^(n-1) -3=[5(1/4)^n /(1/4)] -3=20*4^(-n) -3

      סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה : a2=13 , 2a(n+1)=3an +5
      הוכח כי הסדרה המוגדרת ע"י bn=an +5 היא סדרה הנדסית.
      ב. נתבונן בסדרה החדשה .....a1, -a2,a3,-a4
      מצא בסדרה זו את ערכו של האיבר במקום ה 8.

      bn=an+5=[2a(n+1) -5]/3 +5=[2a(n+1) +10]/3

      b(n+1)=a(n+1) +5 <-- נציב n+1
      q=b(n+1) / bn=[a(n+1) +5] : [2a(n+1) +10]/3=3[a(n+1) +5] / 2[a(n+1) +5]=1.5
      --------------ב.
      b1=a1 +5
      a1=b1 -5

      b1=(2a2 +10)/3=2*13 +10)/3=12

      שים לב : הסדרה a היא לא הנדסית
      b8=a8 +5
      a8=b8 -5=12*1.5^7 -5
      I -a8= -12*1.5^7 +5

      נתונה סדרת נסיגה המקיימת : a(n+1)=5*2^(n-1)/an
      הוכח a(n+2)=2an
      ב. נתון a3=-2 . חשב a2 , a1
      ג. חשב סכום 20 איברים ראשונים.
      נציב בסדרת הנסיגה n+1 במקום n
      a(n+1+1)=5*2^(n-1+1)/a(n+1) I
      a(n+2)=5*2^n / a(n+1) I
      נציב במקום מכנה :
      [a(n+2)=5*2^n : [5*2^(n-1)/an
      כפל בהופכי
      a(n+2)=5*2^n*an/5*2^(n-1)=2^(n-n+1)*an=2an
      a(n+2)/an=2
      ניתן לראות שעבור סדרת האיברים הזוגית ו אי-זוגית לפנינו סדרות הנדסיות עם q=2
      ב.
      נציב n=1 בנוסחה שקיבלנו :
      a(1+2)=2a1
      a3=2a1
      I -2=2a1
      a1= -1
      -----
      נציב n=1 בנוסחת הנסיגה
      a(1+1)=5*2^(1-1)/a1
      a2=5*2^0/-1=5*1/-1= -5
      -------------
      I S10=a2(q^10 -1)/(q-1)= -5(2^20 -1]/(2-1)
      I זוגיים even
      I S10=a1(q^10 -1)/(q-1)= -1(2^10 -1)/(2-1)
      I אי-זוגיים odd
      אי זוגייםS20=S10 even + S10 odd

      7. נוסחאות סדרה הנדסית
      (an
      =a1*q^(n-1 נוסחת איבר כלליI

      an=Sn - S(n-1) I מציאת איבר לפי סכומים
      מתאים למציאת תבנית איבר כללי לפי נוסחת נסיגה.
      ........................* שים לב לא לטעות : S(n+1) - Sn=a(n+1)I לא מתאים I

      (Sn
      =a1(q^n - 1)/(q-1 סכום סדרה
      (ק. הצבה :q#1 )
      (Sn=a1(1- q^n)/(1-q סכום סדרה ( עבור מנה שבר )
      בI
      בסדרה זוגית 2n איברים (דוג' : a1,a2,a3,a4 n=2)................................................... .עקב הדילוג
      S odd
      =a1(q^2)^n -1)/(q^2 -1)=a1(q^2n - 1)/(q^2 -1) I סכום אי זוגיים (מנה= q^2 , מס' איברים=n)
      S even=a2[(q^2)^n -1)]/(q^2 -1)=a2(q^2n - 1)/(q^2 -1) I סכום זוגיים (מנה= q^2 , מס' איברים=n)

      בסדרה אי-זוגית 2n+1 איברים (דוג' : a1,a2,a3,a4,a5 n=2)
      S odd =[a1(q^2)^(n+1) -1]/(q^2 -1)=a1(q^(2n+2) -1)/(q^2 -1) I סכום אי זוגיים (מנה=q^2 , מס' איברים=n+1 )

      בסדרה אי-זוגית 2n-1 איברים
      (דוג' : a1,a2,a3 n=2 )
      S even =[a2(q^2)^(n-1) -1]/(q^2 -1)=a2(q^(2n-2) -1)/(q^2 -1) I סכום זוגיים (מנה=q^2 , מס' איברים=n-1 )

      החלפת סימן + למינוס באיברים זוגיים
      (....a1,-a2,a3,-a4,a5)
      זוגיS=S odd - S even
      החלפת סימן + למינוס באיברים אי זוגיים (...a1,a2 ,-a3,a4,-a5-)
      איזוגיS=S even - S odd

      an)^2
      =a(n-1) * a(n+1)I) כל איבר אמצעי בריבוע = מכפלת האיברים לצדדיו.

      הערה : איבר אמצעי רצוי לציין כ x - זה מאפשר צמצום .
      מצא 3 איברים עוקבים חיוביים בסדרה הנדסית עולה, אם ידוע שמכפלתם 64 וסכומם 14.
      נגדיר : x/q , x , xq איברים עוקבים
      I x/q *x *xq=64
      x^3=64
      x1= -4 לא מתאים
      x2=4
      I 4/q +4 +4q=14
      4q^2 -10q+4=0
      q1=2
      q2=0.5 לא מתאים לסדרה עולה.
      I 2,4,8הסדרה

      נתונים שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית: a1,a2, a3.
      ידוע כי המספרים: a1a2, a2a3, a3a1 מהווים שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית. מצאו את מנת הסדרה ההנדסית.
      I a1, a1+d ,a1+2d סדרה חשבונית
      I a1(a1+d) , (a1+d)(a1+2d) , (a1+2d)a1 Iסדרה הנדסית
      I (a1+2d)a1/(a1+d)(a1+2d)=(a1+d)(a1+2d)/(a1(a1+d) I
      לאחר צמצום
      a1=-2d/3

      q=a2a3/a1a2=a3/a1=(a1+2d)/a1
      נציב a1
      q=-2


      נתונים 3 ביטויים : x-k , kx+0.5 , x+2k . מצא עבור אילו ערכים של k שלושת הביטויים לא יכולים להיות שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית .
      השלושה יהיו כן איברים עוקבים בהנדסית אם האיבר האמצעי בריבוע=מכפלת השניים לצדדיו.
      לכן יש 2 אפשרויות :
      I (kx+0.5)^2>(x+2k)(x-k) I
      או
      I (kx+0.5)^2<(x+2k)(x-k) I
      K>1 או K<-1

      מס' העובדים במפעל גדל כל שנה ב 25% .בשנה השישית היו 3125 עובדים. כמה היו בשנה השנייה ?
      a1=x פועלים שנה ראשונה
      a2=1.25x
      q=a2/a1=1.25
      a6=a1*q^5=x*1.25^5=3125
      x=1024
      a2=1024*1.25=1280

      בסדרה יש 2n איברים והמנה שווה 3 . סכום כל הסדרה גדול ב-14762 מסכום האיברים הזוגיים - מצא את סכום הסדרה !
      a2[(q^2)^n -1]/(q^2 -1)=a1q(q^2n - 1)/(q^2 - 1) I סכום זוגיים

      a1*3(3^2n - 1)/(3^2 - 1)=3a1(9^n - 1)/8


      סכום כל הסדרה

      t=a1(9^n -1)/2 נגדיר

      3a1(9^n -1)/8=(3/4)a1(9^n -1)/2=(3/4)t


      t=(3/4)t +14762
      t=59048

      a2/a1=q לכן :
      אי זוגיq=Sn even / Sn odd מציאת מנה לפי סכומים

      נתונה סדרה הנדסית בת 16 איברים. סכום האיברים במקומות הזוגיים (even) שווה 16,142,520 . אם מחליפים את סימניהם של
      האיברים במקומות הזוגיים מתקבלת סדרה שסכומה 10,761,680- . מצא את מנת הסדרה .
      לפי סכום האיברים לאחר השינוי - לזוגיים יש יותר משקל לכן זו סדרה עולה, לכן :
      S8 odd - S8 even= -10,761,680 סכום אי זוגיים פחות זוגיים נותן מס' שלילי
      S8 odd=16,142,520-10,761,680=5,380,840 אי זוגיים
      q=S8 even / S8 odd=16,142,520 / 5,380,840=3

      8. סדרה הנדסית קבועה q=1
      .....5,3,5,3,5,3,5,3
      זו סדרה הנדסית בה האיברים במקומות הזוגיים ואיזוגיים הם קבועים.

      נתונה סדרה המקיימת לכל n טיבעי b(n+1)=bn/(bn - 1) I
      b19 +b20=4.5
      b19>2
      b(n+2)=bn
      * לכן : האיברים במקומות הזוגיים ואיזוגיים הם קבועים
      מצא b10

      b(19+1) =b19/(b19 -1) I
      נציב b20=4.5-b19
      I 4.5-b19=b19/(b19 -1) I
      נציב b19=x
      x^2 -4.5x+4.5=0
      x1=1.5
      b19=1.5 לא מתאים
      x2=3
      b19=3
      b20=4.5-3=1.5
      לכן b10=1.5 בגלל שהאיברים במקומות הזוגיים קבועים.

      סדרת האיברים במקומות הזוגיים או איזוגיים היא קבועה
      הסדרה שהיא 0 באינדקסים אי זוגיים ו-1 בזוגיים- נקראת סדרת צ'ומפי ....0,1,0,1,0,1,0,1 מוגדרת ע"י
      an=[1+(-1)^n]/2

      9. סדרה הנדסית q=שבר
      בין 2 איברים של טור הנדסי אינסופי שכל אבריו חיוביים ומנה שלו q מכניסים איבר נוסף , כך שנוצר טור הנדסי חדש. מצא את היחס בין סכום הטור החדש לסכום הטור המקורי אם כל האיברים שנוספו הם :
      א. חיוביים
      ב. שליליים
      q=√q בחדשה

      a1/(1-√q) : a1/(1-q)=I
      I =(1-q)/(1-√q)=I
      נכפיל ב I 1+√q
      I=(1-q)(1+√q)/(1-√q)(1+√q)=I
      I=(1-q)(1+√q)/[1^2 -(√q)^2]=I
      I=(1-q)(1+√q)/(1-q)=1+√q
      ב.
      q=-√q בחדשה
      =(a1/[1-(-√q)]: a1/(1-q
      I=(1-q)/(1+√q)=I
      לצמצום מכנה נכפיל ב
      I (1-√q) I
      I=(1-q)(1-√q)/(1+√q)(1+√q)=I
      I=(1-q)(1-√q)/(1^2 -(√q)^2)=I
      i=(1-q)(1-√q)/(1-q)=1-√q

      את המספר 65 חילקו לארבעה מחוברים חיוביים המהווים סדרה הנדסית. ההפרש בין שני המחוברים הראשונים גדול פי 2.25 מההפרש שבין שני המחוברים האחרונים. לאילו מחוברים חולק המספר 65?
      סמן את המספרים בתור:a1,a2,a3,a4
      וידוע כי הם מהווים סדרה הנדסית !

      S4=65
      a2-a1=2.25(a4-a3) I


      מהמשוואה הראשונה נקבל:


      נבחר בתשובה החיובית מפני שכל האיברים חיובים!

      לפי המשוואה הראשונה:



      27,18,12,8

      שברים מחזוריים
      0.1 זה 1/10
      0.11 זה 11/100 שזה שווה ל- 1/10+1/100
      0.111 זה 111/1000 שזה שווה ל- 1/10+1/100+1/1000
      וכך הלאה...
      I 0.11111.......=1/10+ 1/100+ 1/1000+ 1/10000+....I
      וזו בעצם סדרה הנדסית אינסופית....

      איך להפוך מספר מחזורי לשבר פשוט ?
      I 0.4444...=4[0.1 +0.1^2 +0.1^3+....] I
      לחיבור השברים נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית בה q=0.1
      I=4[0.1/(1-0.1)]=4/9

      I 0.63636363...=6[0.1+0.1^2 +0.1^3 +...] +3[0.1 +0.1^2 +0.1^3+...] I
      לחיבור השברים נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית בה 2^q=0.1 בגלל הדילוג
      I=6[0.1/(1 -0.1^2)] +3[0.1/(1 -0.1^2)] i
      I=6(10/99) +3(1/99)=63/99

      10. סדרה הנדסית אין סופית
      בסדרה אינסופית - המנה היא שבר פשוט חיובי או שלילי :
      I1>q>-1
      (בהתקדמות הסדרה האיברים הם בעלי ערך זניח לכן )
      מחושב הסכום לפי :
      Sn=a1/(1-q) I
      (ק. הצבה q#1 )
      סדרה הנדסית אינסופית יורדת או יורדת בערכיה המוחלטים - נקראת סידרה הנדסית מתכנסת.

      בסדרה b(n+1)=1.5 - 0.5a1 סכום כל האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה האינסופית bn הוא 1/3 5 - . חשב a1
      שים לב :המנה באיברים זוגיים/אי זוגיים= q^2
      סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה הנדסית אינסופית מתחיל באיבר השני :
      Sn=b2/(1-q^2 I

      b2=1.5-0.5a1

      I -16/3=(1.5-0.5a1)/[(1-(-0.5)^2] I

      1.5-0.5a1= -4
      0.5a1=5.5
      a1=11

      האיבר הראשון של טור הנדסי אינסופי הוא 10.כל איבר קטן פי 2 מסכום כל האיברים הבאים אחריו. מצא את האיבר החמישי
      נוסחת סדרה הנדסית מתכנסת : Sn=a1/(1-q) I

      2a2=a3/(1-q) I
      2a1q=a1q^2/(1-q) I
      20q=10q^2/(1-q) I
      20q-30q^2=0
      q(20-30q)=0
      q1=0 לא מתאים
      q2=2/3
      -------
      2a5=a6/(1-q) I
      2a5=a1q^5/(1-q) I
      הצב
      נתונה סדרה הנדסית אין סופית ...a1,a2,a3,a4
      נסמן ....S=a1+a2+a3+a4+.. , K=a2+a4+a6+.... , M=a2-a6+a10-a14
      נתון : K=(41/36)M , S=(-41/18)M . מצא מנת הסדרה

      S=a1/(1-q) I

      K=a2/(1 -q^2) I

      Q=-a6/a2= -a1q^5/a1q= -q^4
      M=a2/[1-(-q^4) ] I שים לב לשינוי בסימן כי אין פה העלאה בחזקה - אלא רק הצבה
      M=a1q/(1 +q^4) I
      הערה : לעומת כאשר המנה שלילית (דוג: 3-) ומס' האיברים 16=n זוגי נקבל בנוסחת סכום
      Sn=[(- 3)^16 -1)]/(-3-1)=(3^16 -1)/(-4) I כאן יש העלאה בחזקה והמעריך הוא זוגי
      נציב
      S=a1/(1-q)=(-41/18)a1q/(1+q^4) I
      K=a1q / (1 -q^2)=(41/36)a1q/(1 +q^4) I
      K=a1q / (1 +q)(1-q)=(41/36)a1q/(1 +q^4) I
      נחלק בין המשוואות
      I (1+q)/q=-2
      q= -1/3

      האיבר השלישי בסדרה הנדסית אינסופית מתכנסת שווה ל1, וכל איבר בסדרה הזו גדול פי 3 מסכום כל האיברים הבאים אחריו.
      מצא את הסכום של כל איברי הסדרה האינסופית הזו.

      a3=1
      a3=3a4/(1-q) I
      I 1=3a3*q /(1-q) I
      I 1=3*1*q/(1-q) I
      q=0.25
      ------------
      a3=3a4 /(1-q) I
      a3=3a1*q^3 /(1-q) II
      I 1=3a1*q^3 /(1-q) I
      a1=(1-q)/3q^3
      נציב q
      a1=16
      Sn=a1/(1-q)=64/3 I

    • 11. דילוגים
      בסדרה חשבונית יש 17 איברים. סכום האיברים שבמקומות
      האי זוגיים הוא 324 וסכום שמונת האיברים האחרונים הוא 396 .
      n=17
      9 איזוגיים , 8 זוגיים
      I [2a1+2d(9-1)]9/2=324 איזוגיים

      I 17-x +1=8
      x=10
      I [2a10 +d(8-1)]8/2=396 שמונה אחרונים
      בסדרה החשבונית a1,a2,a3 יש 42 איברים.
      נתון: a1+a4+a7+...a40= -525
      a1+a3+a5+,...+a41= -840.
      מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה.

      a4-a1=3d
      מס' איברים=I (40-1)/3 +1=14 דילוג 3 (הפרש חילוק 3 פלוס 1 )
    • I[2a1+3d(14-1)]14/2= -525
      --------------
      a3-a1=2d
      מס' איברים=I (41-1)/2 +1=21 דילוג 2
      I [2a1+2d(21-1)]21/2= -840
      2 משוואות - 2 נעלמים

      בטור הנדסי אינסופי שכל איבריו חיוביים :
      I 1>q>0

      12. מקום סידורי / איברים עוקבים
      סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה ע"י : a(n+1)=2^n/2an
      a1=1

      א. הוכח שהסדרה החלקית: a1,a3,a5..... היא סדרה הנדסית.
      ב. הוכח שכל איבר הנמצא במקום הזוגי בסדרה הנתונה שווה לאיבר הקודם לו בסדרה

      q=2

      a(2n)=2^(2n-1)/2a(2n-1) I האיברים במקומות הזוגיים
      נחלק את 2 האגפים ב a(2n-1) I
      a(2n)=2^(2n-1) / 2[a(2n-1)]^2
      לפי הסעיף הראשון האיברים במקומות האי זוגיים בסדרה מהווים סדרה הנדסית עם מנה 2, ואיבר ראשון 1, כלומר מתקיים:
      a(2n-1)=2^(n-1) I
      אם נציב את הביטוי למשוואה הראשונה נקבל לאחר פעולות אלגבריות פשוטות
      a(2n)/a(2n-1)=1

      סדרה מוגדרת ע"י כלל נסיגה : (a(n+1)=4n +7 -a(n
      א. מצא את מיקומם הסידורי של שני איברים עוקבים שסכומם 27.
      ב. הוכח a(n+2)=an +4
      ג. נתון a12=t . הבע באמצעות t את a11, a13

      a(n) +a(n+1)=4n+7 מתוך כלל הנסיגה מצאנו סכום 2 איברים עוקבים .
      n=5
      2 האיברים הם : a5,a6
      a(n+2)=4(n+1) +7 -a(n+1)
      I נציב בכלל הנסיגה
      a(n+2)=4n+11 -(4n+7 -an)
      I
      4+ a(n+2)=an

      המספרים : x^2 +1/x^2 , x +1/x, 3/4 הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית. מצא את x וערכי האיברים.
      בסדרה חשבונית איבר אמצעי = ממוצע.
      I (x +1/x)=(x^2 +1/x^2 +3/4 )/2
      I (x +1/x)^2=x^2 +2 +1/x^2 בדיקה
      t=x +1/x נציב
      t=(
      t^2 -2 +3/4)/2 I
      t^2 -2t-1.25=0
      t1=2.5
      x+ 1/x=2.5
      x^2 -2.5x+1=0
      x1=2
      x2=0.5

      t2=-0.5
      x +1/x=-0.5
      x^2+0.5x+1=0
      אין תשובה.


      S21=S20
      I [2a1+d(21-1)]21/2=[2a1+d(20-1)]20/2
      2a1+40d=0
      a1+20d=0
      ב.a1 שלילי לכן d חיובי--> סדרה עולה : a21=0
      ג1. סדרה חדשה :
      איבר ראשון=a1+1
      איבר שני=a2+2
      1+d=הפרש=a2+2 -(a1+1)=a2-a1 +1
      i [2a1+d(n-1)]n/2 +861=[2(a1+1)+(d+1)(n-1)]n/2
      n^2 +n-1722=0
      n1=41
      n2 שלילי
      ג2.
      I [2a1+d(41-1)]41/2
      I=[2a1+40d]41/2=0

      13. סדרות מעורבות
      האיבר הראשון בסדרה חשבונית בת 3 אברים הוא 3.
      אם מוסיפים 1 לאיבר הראשון מקבלים שלשה מספרים המהווים יחד סדרה הנדסית.
      א. מצא את הפרש הסדרה החשבונית (שתי אפשרויות)
      ב. מצא את שתי הסדרות החשבונית וההנדסית ( בכל אחת משתי האפשרויות שמצאת בסעיף א )
      I 3 , 3+d , 3+2d חשבונית
      I 4 ,3+d ,3+2d הנדסית

      I (3+d)^2 = 4(3+2d) I נוסחת איבר אמצעי בסדרה הנדסית
      d^2 -2d -3=0
      d1= -1
      I 3, 2 ,1 חשבונית
      I 4 , 2 ,1 הנדסית
      או
      d2=3
      I 3 , 6, 9 חשבונית
      I 4 , 6, 9 הנדסית

      נתונים שלושה מספרים שהם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית. מכפלת שלושת המספרים היא 125.
      אם נוסיף 1 לכל אחד משני המספרים הראשונים ונחסיר 7 מהמספר השלישי יתקבלו שלושה מספרים שהם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית חדשה.
      מצא את שלושת המספרים הנתונים.

      x ,xq ,xq^2 איברים עוקבים
      x*xq*xq^2=125
      x^3*q^3=5^3
      I(xq)^3=5^3
      xq=5
      x=5/q
      ----------
      I (x+1), (xq+1), (xq^2 -7) I סדרה חדשה
      I (x+1)(x*q^2 -7)=(xq +1)^2
      נציב את x
      נצמצם לפני מכפלה ונקבל
      I (5/q +1)(5q -7)=6^2
      נכפיל ונקבל
      5q^2 -18q -35=0
      q1=4
      x1=5/4
      q2=-1.4
      x2=5/-1.4=-25/7

      14. איברים אמצעיים
      בסדרה אי זוגית
      : 2n-1
      נקבל איבר אמצעי אחד.
      מיקומו : I (2n-1+1)/2, דוג: I 2n-1=3איברים --> I (3+1)/2=a2
      בסדרה אי זוגית : 2n+1
      נקבל איבר אמצעי אחד.
      מיקומו : I (2n+1-1)/2, דוג: I 2n+1=5איברים --> I (5+1)/2=a3
      בסדרה זוגית : 2n
      נקבל 2 איברים אמצעיים
      מיקומם : an , a(n+1) I , דוג: 2n=4 איברים --> a2,a3

      נתונה סדרה חשבונית :
      I 27, 31, 35.....71 מהם האיברים האמצעיים ?
      a1=27

      d=4
      I 71=27+4(n-1) I

      n=12
      0.5n=6
      a6=27+4(6-1)=47
      a7=47+4=51

      בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים,שווה האיבר האחרון לסכום שני האיברים האמצעיים. א. מצא את האיבר הראשון.
      ב. כמה איברים בסדרה אם סכום כל איברי הסדרה גדול פי 9 מהאיבר האחרון.

      להמחשה ניקח דוג' : n=2
      2n=4
      a1,a2,a3,a4
      a2=an
      נתון:
      a(2n)=an+a(n+1) I
      a1+d(2n-1)=a1+d(n-1) +a1+d(n+1-1) I
      d מצטמצם לאחר פתיחה
      ב.
      (S(2n)=9a(2n
      I [2a1+d(2n-1)]2n/2 =9[a1+d(2n-1)] I
      הצב a1

      בסדרה חשבונית יש 3n איברים . סכום n האיברים האחרונים גדול פי 2 מסכום n האיברים הקודמים להם .
      א. הוכח שסכום n האיברים הראשונים הוא 0.
      ב. נתון גם שסכום האיברים החמישי והשביעי הוא 0.
      סכום כל איברי הסדרה הוא 726 . מצא את הפרש הסדרה

      a1...(n)...an , a(n+1)...(middle n)....a2n , a(2n+1)....(last n)....a3n

      n איברים קודמים=קבוצת n אמצעית (middle)

      S last n =2S middle n
      I [2a(2n+1) +d(n-1)]n/2=2[2a(n+1) +d(n-1)]n/2
      נצמצם n/2 ונציב
      a(n+1)=a1+d(n+1-1)=a1+dn
      a(2n+1)=a1+d(2n+1-1)=a1+2dn
      נקבל בסוף
      2a1+dn-d=0
      2a1+d(n-1)=0
      Sn=[2a1+d(n-1)]n/2=0
      --------ב.
      a5+a7=0
      a1+4d +a1+6d=0
      a1= -5d

      2a1+d(n-1)=0
      2a1+dn-d=0
      dn=d-2a1
      dn=d-2(-5d)=11d

      S3n=726
      I [2a1+d(3n-1)]3n/2=726
      נציב
      I [2(-5d) +3dn -d)3n=1452
      I[-10d +3*11d -d]n=484
      22dn=484
      I 22*11d=484
      d=2

      15 . איברים אחרונים
      בסדרה (2n-1) אי זוגית
      ......1,2,3,4,5,6,7 (n=4)
      n איברים אחרונים מתחילים באיבר an
      I (2n-1) -n +1=n הוכחה

      בסדרה (2n) זוגית
      ......1,2,3,4,5,6,7,8 (n=4)
      n איברים אחרונים מתחילים באיבר a(n+1) I
      I 2n-(n+1) +1=n הוכחה

      בסדרה (2n+1) אי זוגית
      ......1,2,3,4,
      5,6,7,8,9 (n=4)
      n איברים אחרונים מתחילים באיבר a(n+2) I
      I (2n+1)-(n+2) +1=n הוכחה

      הערה : כאשר לא ברור - טוב ליצור דוגמה קטנה להמחשה .

      בסדרה חשבונית 2n-1 איברים. סכום n איברים ראשונים=760 . סכום n אחרונים=1960 . מצא n אם a1=10
      Sn=760

      an=
      a1+d(n-1)=10+dn-d איבר ראשון ב n אחרונים
      I [2(10+dn-d) +d(n-1)]n/2=1960
      --------------
      נתחיל בחלוקה בין המשוואות
      I (20+dn-d)/(20+3dn-3d)=19/49
      I [20+d(n-1)]/[20+3d(n-1)]=19/49
      נכפיל בלי לפתוח סוגריים
      I 600=8d(n-1) I
      I 75=d(n-1) I
      נציב במשוואה ראשונה
      I [20+75)n/2=760

      n=16

      הסכום של שלושת האיברים האחרונים בסדרה החשבונית : 2,6,10 הוא 126 .
      מהו סכום כל איברי הסדרה החשבונית הנ"ל?

      d=4
      3 איברים אחרונים :
      x-4 ,x ,x+4
      3x=126
      x=42
      an=42+4=46
      I--> 46=2+4(n-1) I
      n=12
      S12=(2+46)12/2

      ---------------סכום איברים אחרונים---------------
      נתונה סדרה חשבונית שיש בה 3n איברים.
      האיבר הנמצא במקום ה21 גדול ב 66 מהאיבר הנמצא במקום ה 10.
      סכום n האיברים האחרונים בסדרה גדול פי 5 מסכום n האיברים הראשונים שבה.
      חשב את האיבר הראשון בסדרה זו.
      a21-66=a10
      S last n=5Sn
      S last n=S3n-S2n
      (סכום n איברים אחרונים הוא סכום הסדרה כולה פחות סכום 2n האיברים )
      S3n-S2n = 5Sn

      a1+20d -66=a1+9d
      d=6
      I [2a1+d(3n-1)]3n/2 - [2a1+d(2n-1)]2n/2 =5[2a1+d(n-1)]n/2
      נצמצם n/2
      נציב d
      8a1=24

      בסדרה חשבונית שהפרשה שונה מאפס,נתון כי האיבר הראשון שווה להפרש הסדרה, והאיבר האחרון קטן פי 6 מסכום כל האיברים שלפניו. כמה איברים בסדרה ?
      a1=d
      6an=Sn - an
      7an=Sn
      I--> 7[a1+d(n-1)]=[2a1+d(n-1)]n/2
      הצב a1

      נתונה סדרה הנדסית שכל n האיברים שלה הם חיוביים. סכום n-3 האיברים האחרונים גדול פי 8 מסכום n-3 האיברים הראשונים. חשב את מנת הסדרה.
      S(n-3)=[a1*q^(n-3) -1]/(q-1) I ראשונים

      n-3 אחרונים מתחילים ב : a4
      I n-x +1=n-3הוכחה
      x=4
      I n-4 +1=n-3

      S(n-3)=a4[q^(n-3) -1]/(q-1) I

      a1q^3[q^(n-3) -1]/(q-1)=8a1[q^(n-3) -1]/(q-1) I
      לאחר צמצום
      q^3=8
      q=2

      16. משוואה מעריכית
      בסדרה הנדסית 2n איברים. סכום n אחרונים גדול פי 16 מסכום n ראשונים. סכום n+1 אחרונים גדול פי 8 מסכום n+1 ראשונים. מצא מנה , כמה איברים בסדרה ?
      S last n=16Sn
      a(n+1)(q^n -1)/(q-1)=16a1(q^n -1)/(q-1) I
      a1q^n(q^n -1)/(q-1)=16a1(q^n -1)/(q-1) I
      q^n=16 לאחר צמצום
      S last(n+1)=8S(n+1)
      I
      an[q^(n+1) -1]/(q-1)=8a1[q^(n+1) -1]/(q-1)
      I
      a1q^(n-1)[q^(n+1) -1]/(q-1)=8a1[q^(n+1) -1]/(q-1)
      I
      q^(n-1)=8 לאחר צמצום
      q^n/q=8
      16/q=8
      q=2
      2^n=16
      n=4
      2n=8


      בסדרה הנדסית I 2,2^2 , 2^3 ,2^4....2^n מכפלת כל איברי הסדרה =2097152 . מצא n
      I
      2*2^2*2^3*2^4*2^n=2^(1+2+3+4+...n)I
      I 2^[(1+n)n/2]=2^21 המעריכים יוצרים סדרה חשבונית
      I (n+1)n/2=21
      n^2 +n-42=0
      n1=-7 לא מתאים
      n2=6


      17. ערך מוחלט
      בסדרה הנדסית אינסופית שבה IqI<1 נתון : a4=9 , a3+a5=-45/2
      חשב את הסכום של כל איברי הסדרה האינסופית הנתונה.

      a1q^3=9

      a1q^2 + a1q^4=-45/2

      a1q^2(1+q^2)=-45/2

      נחלק בין המשוואות
      I (1+q^2)/q=-45/18
      18q^2 +45q +18=0
      q1=-1/2
      q2=-2 (ערך מוחלט=2) לא מתאים כי ערך מוחלט של q קטן מ 1
      a1=-72
      S=-72/(1+ 1/2)=-48

      האיבר הכללי של סדרה הוא an=(-1)^(n-1) * (6n-5) I
      צריך להוכיח שסדרת הערכים המוחלטים של איברי הסדרה היא סדרה חשבונית

      6n-5 חיובי (עבור n>1 ) לכן
      IanI=6n-5 לכל n>1

      Ia(n+1)||an|=[6(n+1)5](6n5)=6n+16n+5=6
      לכן זו סדרה חשבונית.

      18. פתרון מהיר
      א. חיסור/חיבור משוואות

      x^2 +y^2=2x-3
      x^2 +y^2=y-5

      נחסר בין המשוואות
      x^2 +y^2 -x^2 -y^2=2x-3-y+5
      x=0.5y-1 נציב

      ב. השוואת נעלמים

      נשווה נעלם שלא מחפשים כדי למצוא את הנעלם המבוקש
      ג. חלוקה
      בין המשוואות :
      חלוקה אפשרית רק אם מדובר בגורמים (סוגריים של כפל)
      בסדרה הנדסית בדר"כ נחלק בין המשוואות לצמצום.
      סכום איברים ראשון שלישי חמישי = 147.סכום איברים שני רביעי שישי = 294 . מצא מנה
      a1+a1q^2 +a1q^4 =147
      a1q +a1q^3 +a1q^5=294
      ----------------------------------
      a1(1+q^2 +q^4)=147
      a1q(1+q^2 +q^4)=294
      ----------נחלק ונצמצם-------
      I 1/q=1/2
      q=2

      ד. חוק הפילוג :
      ירדן יצאה מישוב א' לכיוון ישוב ב' ואסף יצא מישוב ב' לכיוון ישוב א' 7 שעות לאחר שירדן יצאה לדרכה. הם נפגשו 9 שעות לאחר שירדן יצאה לדרכה.
      ירדן עוברת
      מהדרך שבין שני הישובים בשעה פחות מהזמן שאסף עובר מהדרך שבין שני הישובים. ירדן ושל אסף
      א. מצא פי כמה גדולה המהירות של אסף.

      מהירות ירדן=x
      מהירות אסף=y
      S=מרחק א'-ב'
      S=9x+2y
      דרך
      S/3x + 1= 5S/8y
      זמן
      נציב S
      I (9x+2y)/3x +1=(9x+2y)5/8y
      חוק הפילוג

      I (9x)/3x +2y/3x +1=45x/8y +10y/8y
      I 3+ 2y/3x +1=45x/8y + 10/8
      I11/4 + 2y/3x=45x/8y
      y/x=t
      I 11/4 +2t/3 =45/8t
      16t^2 +66t -135=0
      t=1.5
      y/x=1.5

      ה. השלמת חלקים

      בסדרה הנדסית שבה 2n איברים המנה היא 2 .סכום n האיברים הראשונים הוא 93 וסכום n האיברים האחרונים בסדרה הוא 2976 . כמה איברים בסדרה ?
      Sn=93
      S last n=2976
      I a1(2^n -1)/(2-1)=93

      S last n +Sn=S2n=2976+93
      I a1(2^2n -1)/(2-1)=3069

      נחלק בין המשוואות
      69I (2^n -1)/(2^2n -1)=93/3069
      ו. משתנה זמני t
      המשך:
      נגדיר t=2^n
      I (t-1)/(t^2 -1)=93/3069
      93t^2 -3069t+2976=0
      t1=32
      I 2^n=32=2^5
      n=5
      2n=10

      t2=1

      I 2^n=1=2^0
      n=0 לא מתאים
      ז. פיצול
      סדרה הנדסית מקיימת את כלל הנסיגה:
      a(n+1)=an +27*4^(n-1) I
      א. מצאו את האיבר הכללי של הסדרה.
      ב. מגדירים סדרה חדשה על ידי הכלל:
      3bn=an -3
      מצאו את הנוסחה לסכום b1 +b2 +...bn



    19. הוספת איברים
    בין המספרים 7.1 ו- 6.7 יש להכניס 5 מספרים כך שכל 7 המספרים יהיו סידרה חשבונית. מצא את האיבר השישי.

    --> I 6.7 , 7.1-5d , 7.1-4d, 7.1-3d , 7.1-2d , 7.1-d, 7.1
    I 6.7=7.1-6dאיבר אחרון
    d=(7.1-6.7)/6= -1/15
    -->I 6.7 , 6 23/30 , 6 5/6 , 6.9 , 6 29/30, 7 1/30 , 7.1
    a6=7.1-5d=6 23/30


    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 10-03-2018 בשעה 09:37


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

  2. #2
    הסמל האישי שלמיכאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יפה

  3. #3
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    המשך המדריך

    20. סדרה בתוך סדרה
    בסדרה חשבונית ....8,11,14 יש 137 איברים. מצא כמה איברים בסדרה מתחלקים ב 5 ללא שארית.
    ב. בסדרה חשבונית.... 20,25,30,35,40,45 יש 200 איברים . כמה איברים בסדרה מתחלקים ב7 ללא שארית.
    a1=8

    d=3
    an=8+3(n-1)=3n +5
    n=137
    a137=8+3(137-1) =416
    ---------מתחלקים ב 5
    בסדרה :
    an = 3n +5
    ax =5* 3x + 5 סדרה חדשה (אין צורך להכפיל את ה 5 כי הוא מתחלק ב 5)

    a1=5* 3*1 +5=20 (אם נשים 0 נקבל 5 => קטן מידי)
    a2=5* 3*2 +5=35
    a3=5* 3*3 +5=50

    ax=5 *3x +5
    I--> 416=5*3x +5

    אפשר גם :
    I--> 416=20+15(x-1) I

    x=27.4
    n=27
    ב.
    a1=20
    d=5
    n=200
    an=20+5(n-1)=5n+15=5(n+3) I
    a200=20+5(n-1)=1015
    -----------מתחלקים ב 7
    בסדרה :
    an = 5(n + 3) I
    ax = 7*5(x+3) I סדרה חדשה

    a1=7*5(-2+3)=35 (אם נשים מינוס 3 נקבל 0=>קטן מידי )
    a1=7*5(1)=35

    a2=7*5(-1+3)=70
    a2=7*5(2)=70

    a3=7*5(0+3)=105
    a3=7*5(3)=105

    ax=7*5(x) I
    I--> 1015=7*5(x) I

    אפשר גם :
    I--> 1015=35+35(x-1) I

    X=29
    n=29

    הערה כללית : אין צורך לגלות מראש מהו האיבר האחרון בסדרה החדשה
    כי n יהיה תמיד מס' שלם. (לכן השארית תיזרק )


    נתונה סדרה הנדסית ....3,6,12,24
    מסדרים את איברי הסדרה בשורות כך שבשורה הראשונה יש איבר אחד ובכל שורה אחרת מספר האיברים גדול באחד מזה שבשורה הקודמת.
    הבע באמצעות n את סכום n האיברים בשורות הראשונות

    3
    6,12
    24,48,96
    ..................
    a1=3 ,q=2

    מס' האיברים בכל שורה : I 1,2,3,4.....n
    =N=[2*1+1(n-1)]n/2=(1+n)n/2 כמות האיברים סה"כ (סדרה חשבונית)
    I=0.5n+0.5n^2

    (דוג: 3 שורות : מס' האיברים=6)

    SN=3[2^(0.5n+0.5n^2) - 1]/(2-1) I סכום כל האיברים .

    21. סדרת הפרשים
    נתונה סדרה: . ההפרשים בין כל שני איברים סמוכים בסדרה (הכוונה להפרש בין איבר לבין הקודם לו) מהווים סדרה חשבונית.
    מצא את הנוסחה לאיבר n בסדרה הנתונה

    i 7 ,10, 16 , 25
    ....9.....6....3....סדרת הפרשים
    הפרשיםan=a1+ S(n-1)I
    an=7 + [2*3+3(n-1-1)](n-1)/2

    דוגמה נוספת:
    https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%9F-806/100874.htm#post513382

    נתונה הסדרה ....I -1,13,-49,157
    הסימנים של איברי הסדרה מתחלפים לסירוגין והערכים המוחלטים של האיברים מהווים סדרה שההפרשים בין כל שני איברים סמוכים בה יוצרים סדרה הנדסית.
    מצא נוסחה לאיבר הכללי an בסדרה הנתונה

    bn סדרת ההפרשים
    b1=13-1=12
    b2=49-13=36
    b3=157-49=108
    q=3
    Sbn=12(3^n - 1)/(3-1)
    I
    Sb3=108+36+12=156=
    157-1=IanI-Ia1I כלל : סכום ההפרשים= ההפרש בין האיברים הקיצוניים
    I Sbn=12(3^n -1)/2=IanI-Ia1I
    IanI=2*3^n -5
    an=(-1)^n (2*3^n -5)I

    [IMG]https://******.com/il/tt-resources/request-quarantine/SRQ11000821-0-636491126106290208.jpg[/IMG]

    בקבוצה ה.................5......4....3...2...1 I
    מיקום האיבר האחרון: I1 , 3 , 6 , 10 , 15
    ......הפרשים..................5.....4...3... 2
    מיקום האיבר האחרון=1 + סדרת ההפרשים לפניו
    S(n-1) + 1=[2*2 +1(n-1-1)](n-1)/2 + 1=[(n+2)(n-1) +2]/2=(n^2 +n)/2
    0.5n^2 +0.5n=

    a(0.5n^2+0.5n)=a1+d(n-1) I
    a(0.5n^2+0.5n)=2+3(0.5n^2 +0.5n -1) I
    a(0.5n^2+0.5n)=1.5n^2 +1.5n -1
    ב.
    1.5n^2 +1.5n -1=134
    1.5n^2 +1.5n -135=0
    n1=9
    n2 שלילי
    ג.
    0.5n^2 +0.5n=0.5*9^2 +0.5*9=45
    את איברי הסדרה החשבונית ...1,5,9,13 חילקו לקבוצות הבאות:
    ...(9,13,17,21), (1,5) בכל קבוצה 2 איברים יותר.
    א. כמה איברים יש ב(n-1) הקבוצות הראשונות?
    ב. מהו מיקומו הסידורי של האיבר הראשון בקבוצה ה-n-ית?
    ג. הבע באמצעות n את האיבר הראשון בקבוצה ה-n-ית.
    ד. הבע באמצעות n את סכום האיברים בקבוצה ה-n-ית.
    מס' האיברים בקבוצות : ...2,4,6,8
    S(n-1)=[2*2 +2(n-1-1)](n-1)/2=n^2 -n
    ב. מיקומו הסידורי : ...1,3,7,13
    =סכום האיברים לפניו +1
    1+S(n-1) +1=n^2 -n
    ג. ..,
    I 1 , 9 , 25 , 49
    ..........24...16..8.... סדרת הפרשים
    איבר=1 + סכום סדרת ההפרשים לפניו
    S(n-1)=[2*8 +8(n-1-1)](n-1)/2=4n^2 -4n סכום סדרת ההפרשים לפניו
    an=4n^2 -4n +1
    ד. סכום איברים בכל קבוצה=2n
    S2n=[2(4n^2 -4n+1) +4(2n-1)]2n/2 = 2n(4n^2 -1)
    I

    22. לא חשבונית /לא הנדסית
    סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה : a(n+1)=3*4^n/an
    א. הוכח שלכל n טבעי
    a(n+2)=4an
    ב. נתון a1=2 . חשב את a17
    ג. חשב את a2 ובאמצעותו את a14 .

    a(n+1)=3*4^n/an
    a(n+2)=3*4^(n+1)/an=3*4*n*4 : [ 3*4^n/an]=4an
    ---------------
    ניתן לראות שהאיברים הזוגיים /אי זוגיים מהווים סידרה הנדסית :
    a1=2
    a(1+2)=4a1
    a3=4 *2
    a(4+1)=4a3
    a5=4a3
    a5=4*4 *2
    a7=4^4*4 *2
    a7=4^3 *2
    a9=4^4 *2
    a11=4^5 *2
    a13=4^6 *2
    a15=4^7 *2
    a17=4^8 *2=131072
    --------------------
    a(1+1)=3*4^1/2=6
    a2=6
    a(2+2)=4a2
    a4=4*6
    a6=4*4 *6
    a8=4^3 *6
    a10=4^4 *6
    a12=4^5 *6
    a14=4^6 *6=24576
    סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה a(n+1)=an -6n+50
    a10=k
    א. ע"י K הבע a12
    ב. הבע a8

    הצבה בנוסחת הנסיגה
    a12=a(11+1)=a11 -6*11+50
    a11=a(10+1)=a10 -6*10+50
    a11=a10 -10=k-10

    נציב בראשונה
    a12=a11-16=k-10 -16=k-26
    ב. ללכת אחורה לפי כלל הנסיגה :
    a10=a9 -6*9 +50
    a9=a10 +4=k+4
    a9=a8 -6*8 +50
    a8=a9 -2=k+4 -2=k+2

    לפי הנתונים בצד שמאל מצא את נוסחת האיבר הכללי - בצד ימין .


    כדי להגיע לאיבר הכללי נסתכל על הרצף של הסדרה:
    המכנה : גדל ב2 כאשר n גדל ב1 וצריך ש n=1 יתן 3.
    ולכן המכנה הוא 2n+1.
    המונה גדל ב1 כאשר n גדל ב1 וצריך ש n=1 יתן 4.
    ולכן המונה הוא n+3.
    רואים שכל האיברים הזוגיים חיוביים וכל האי זוגיים שליליים.
    ולכן נכפיל את המונה ב I(-1)^n (טריק ששווה להכיר).

    23. n גדול/קטן מ...
    כוון ש n הוא מספר שלם - את התוצאה יש לעגל למספר השלם הקרוב - בהתאם למבוקש.
    בסדרה חשבונית האיבר הראשון הוא 54- וההפרש הוא 4 .
    א. חשב את סכום כל האיברים השליליים
    ב. כמה איברים עוקבים לכל היותר יש לחבר , החל בראשון , כדי שסכומה יהיה עדיין שלילי.

    an>0 נמצא מתי חיובי
    I -54+4(n-1)>0
    n>14.5
    n=15 חיובי
    לכן נחבר 14 איברים.
    a14=-54+4(14-1)= -2
    S=(a1+an)n/2=[(-54+ (-2)]14/2= -392 שליליים
    ב.
    S>0 נמצא מתי חיובי
    I [2(-54)+4(n-1)]n/2>0
    n>27 לכן
    27 איברים סכומם שלילי עדיין.
    נתונה הסדרה ....I 77,72,67 . מצא כמה איברים עוקבים לכל הפחות , החל בראשון יש לחבר בסדרה כדי לקבל סכום שלילי.
    a1=77
    d=-5
    Sn<0
    I [2*77 -5(n-1)]n/2<0
    n=32
    -----------
    S31=[2*77-5(31-1)]31/2=62
    S32=[2*77 -5(32-1)]32/2=-16
    האיבר ה32 מביא לתוצאה שלילית

    --------------------------אי שיויון -------------------------------------------


    מהירות אינה עולה על 120
    V<120 ( לא לשכוח שווה )
    מהירות אינה פחות מ 80
    x>80
    ביטוי בין 3 ל 6
    נרשום 2 משוואות :
    3<ביטוי
    וגם
    6>ביטוי

    שינוי סימן
    א. כאשר מכפילים/מחלקים בערך שלילי .
    2x
    >6
    I -2x<-6
    ב. כאשר מעבירים את כל הנתונים לצד ימין .
    x+2
    >2x^2 - 5
    0
    >2x^2 - 5 -x-2
    ג. כאשר אי שוויון הוא מעריכי והבסיס = שבר
    I (2/3)^4x>(2/3)^8
    4x
    <8

    הערה: הכפלה במכנה בריבוע (חיובי) מאפשרת צמצום - ללא שינוי.
    I (x-3)/(x-5)>0
    I (x-3)(x-5)^2 /(x-5)>0

    24. סדרה חיובית / שלילית
    סדרה מוגדרת ע"י הנוסחה : an=n^2 -10n +30 . הוכח שכל איברי הסדרה חיוביים.
    ב. כמה מאיברי הסדרה קטנים מ 9 ?
    ג. מה ערכו של האיבר הקטן ביותר שגדול מ 300 ?

    ניצור משוואה ריבועית
    n^2 -10n +25 +5=(n-5)^2 +5
    לכן האיברים בסדרה תמיד חיוביים.
    ב.
    an<9 מציאת האיבר הקטן מ 9
    n^2 -10n+30<9
    n^2 -10n+21<0
    n1=3
    n2=7
    נצייר פרבולה "בוכה "
    I 7>n>3
    איברים 4,5,6
    --------------
    an>300 נמצא את האיבר הראשון
    n^2 -10n+30>300
    n1=22.17
    n2=-12.17
    נצייר פרבולה "צוחקת"
    n>22.17
    או
    n<-12.17 לא קיים שלילי

    n=23
    a23=329
    בסדרה חשבונית I -68,-62,....10 הראה שאין איבר השווה 0 .מהו מיקום האיבר הגדול מ 0. כמה חיוביים יש בסדרה ?
    an=0= -68+6(n-1) I מציאת איבר
    n=12.33 קיבלנו n שאינו מס' שלם לכן זו ההוכחה שלא קיים.
    מיקום האיבר הראשון הגדול מ 0 = 13
    an=100=-68+6(n-1) I
    n=29
    29-13+1=17 איברים חיוביים.

    25. טור טלסקופי
    בפעולת סכום : האיברים הפנימיים מצטמצמים ונשארים רק האיברים הקיצוניים.
    https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%9F-806/100814.htm

    Sn=[1/(a1-a2)](1/a2 -1/a1) + [1/(a2-a3)](1/a3 -1/a2) + [1/(a3-a4)](1/a4 -1/a3 +...[1/(an-1 - an)](1/an - 1/an-1)=I
    כל מה שמודגש בשחור שווה למינוס d
    זהו טור טלסקופי בו מצטמצם כל מה שבצבע
    כאשר נוציא גורם משותף
    i =[(1/-d)](-1/a1 + 1/an)I
    I =[(1/-d)](-an+a1) / (a1*an)=I
    i =[(1/-d)][(-a1-d(n-1)+a1)] / (a1*an) =I
    i=(1/-d)[-d(n+1)]/a1*an=(n+1) / a1*an



    https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...htm#post512742

    26. סדרת מס' מרוכבים
    איבר ראשון - 1+i
    איבר שלישי 2-2i
    מצא q

    a3=a1q^2
    q^2=(2-2i)/(1+i)=(2-2i)(1-i) / (1+i)(1-i)=-4i/2=-2i


    נניח ש-q הוא המספר המרוכב
    q=a+bi

    ונקבל
    q^2=a^2+2abib^2=−2i

    נשווה ממשי לממשי ומדומה למדומה
    a^2b^2=0
    2ab=−2

    נקבל
    b=1,a=1
    b=1,a=1


    כפתרון למערכת הזאת ולכן
    q=1i,q=1+i
    בסדרה הנדסית נתון:
    a2=3-i
    a3=4+2i
    א. מצא את a1
    ב. מצא כמה איברים יש לחבר בסדרה כדי לקבל את הסכום 34-63i

    a2=a1q=3-i
    a3=a1q^2=4+2i



    a1=a2/q
    נציב ונקבל


    כאן נעשה טריק נחמד



    נשים לב ש

    2i בחזקת חמש זה כמו 2i בחזקת 4 כפול i.
    2i בחזקת 4 זה 1, כפול i = i
    לכן
    32i=(2i)^5

    27. חדו"א
    I 1^2 +2^2 +3^2 +4^2 .....+n^2

    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 01-02-2018 בשעה 01:39


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

  4. #4
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 10-03-2018 בשעה 18:39


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 15

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו