מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: מדריך לאנליטית

  1. #1
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל מדריך לאנליטית
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    מדריך זה מתייחס רק להנדסה במישור

    מקרא:
    1. ישר
    2. ישרים מאונכים
    3. מרחק בין נקודות
    4. הבנת הנקרא
    5. מרחק בין ישר לנקודה
    6. מרחק בין ישרים מקבילים
    7. זווית בין ישרים
    8. שטח משולש
    9. מעגל חוסם משולש R
    ....מפגש אנכים אמצעיים...
    10. מעגל חסום במשולש r
    ... .מפגש חוצי זוויות
    11. מפגש תיכונים
    12. מפגש גבהים
    13. חלוקת קטע ביחס
    14. פתרון מהיר
    15. מקום גיאומטרי
    16. מעגל
    17. אליפסה
    18. פרבולה סימטרית לציר y
    19. פרבולה סימטרית לציר x
    20. ווקטורים
    21. פירמידה

    1. ישר

    מוגדר ע"י 2 נקודות
    I(x1,y1) , (x2,y2) I

    משוואת ישר : y=mx+n
    ובהגדרה כללית :
    I -mx +1y -n=0 ( נקפיד תמיד B>0 ) * מקור לטעויות רבות.

    n = ערך ה-y בנקודת חיתוך הישר עם ציר ה־Y.
    ......מתקבל ע"י הצבת x=0

    הצבת y=0 נותנת את נקודת החיתוך על ציר X.

    משוואת ישר העובר בראשית הצירים : (y=mx <--(n=0

    מצב הדדי בין שני ישרים:
    ישרים מקבילים מקיימים: m1=m2,n1#n2
    ישרים חותכים מקיימים:m1#m2
    ישרים מתלכדים מקיימים: m1=m2,n1=n2

    m=שיפוע
    m=(y2-y1)/(x2-x1) I
    שיפוע הישר- מייצג את מספר היחידות שהישר עובר בציר ה־Y - עבור כל יחידה שהוא עובר בציר ה־X.
    שים לב :
    גם נכון (m=(y1-y2)/(x1-x2 לעומתIm=(y1-y2)/(x2-x1) Iלא נכון
    I
    m=▲y/▲x
    שיפוע חיובי : Y עולה כאשר x עולה (הישר "מטפס" ימינה)
    שיפוע שלילי: Y יורד ,כאשר x עולה (הישר "נופל" ימינה)
    שיפוע אפס :Y קבוע -מקביל לציר x (הישר "שוכב")
    דוג': y=3
    "לא מוגדר": X קבוע-מקביל לציר Y (הישר "עומד")
    דוג' : x=2

    m=
    (y2-y1)/(x1-x2)=tan α (
    *הזווית שהישר יוצר עם הכוון החיובי של x - כלפי מעלה !!)

    הגדרת נקודה על הישר

    נתון y=(x+15)/7
    ניתן להגדיר ( A(t, (t+15)/7
    או
    כדי להימנע משבר לצורך חישובים עתידיים :
    x=7y-15
    A(7t-15 ,t) I
    שים לב לא לרשום בטעות:
    A(t, 7t-15) I

    2. ישרים מאונכים
    כלל הניצבות :
    כאשר 2 ישרים ניצבים זה לזה m1*m2=-1
    דוג : m1=1/3
    I (1/3)*m2=-1
    m2=-3 (נגדי והופכי)
    נוסחה זו משמשת גם להוכחה ששני ישרים צולבים.

    3. מרחק בין נקודות
    E(5,8)I
    F=(6,9) I
    חישוב מרחק :
    [d=√[(x1-x2)^2 +(y1-y2)^2

    d=√[(5-8)^2 +(8-9)^2=9+1]=√10

    על ישר y=x+2 , מצא נקודה שסכום מרחקיה מציר Y ומראשית הצירים הוא 16
    פיתרון שגוי :
    הנקודה על הישר היא (x,x+2)
    מרחק נק' זו מציר Y = ל X

    המרחק מראשית הצירים לנק' הוא:

    [d=√ [x^2 +(x+2)^2
    (d= √ (2x^2 +4x+4


    x + √ (2x^2 +4x+4) =16
    I
    16-x = √ (2x^2 +4x+4) I
    I (16-x)^2 = 2x^2 +4x+4 I

    256-32x+x^2=2x^2 +4x+4

    x^2+36x-252=0

    X1,2 = (-36±√2304) /2
    X1,2 = (-36±48)/2
    X1=6
    I 6+√[2(6)^2 +4*6 +4]=16
    X2=-42
    I -42+√[2(-42)^2 +4(-42)+4]=16

    בספר התשובה היא x1=6 , x2=-7.17
    השגיאה נובעת מהעובדה שהעלאה בריבוע מוסיפה פיתרון שנכון מבחינה חישובית אולם לא מתאים כי כאשר x שלילי - המרחק מציר y מחושב כחיובי !!

    פיתרון נכון :
    א.מצא נק' על הישר y=x+3 שמרחקה מציר ה-y שווה למרחקה מהנק' (2,4).
    ב. על הישר
    y=x+2 מצא נק' שסכום מרחקיה מציר y ומראשית הצירים הוא16.
    ג. על הישר 4
    X+3Y=14 מצא נק' הנמצאת במרחק שווה משני הצירים.
    א. נסמן נקודה על הישר באמצעות משתנה עזר A(t,t+3) I מרחקה מציר הY הוא t לכן
    I t=√[(t-2)^2 +(t+3-4)^2] I

    ומכאן לחלץ את t (להעלות בריבוע את המשוואה - לשים לב שכאשר מעלים בריבוע מתווספים פתרונות ולכן יש לאמת את הפתרנות על ידי הצבה במשוואה המקורית ! )
    ב.
    על אותו עיקרון מסמנים נקודה i (t,t+2) I
    I t+√[(t-0)^2 +(t+2-0)]=16
    ג.
    3y=14-4x
    y=14/3 -(4/3)x
    נסמן נקודה I[ t, 14/3 -(4/3)t ]I
    t=14/3 - (4/3)t

    ומכאן למצוא את t

    4. הבנת הנקרא
    "מרחק" - הכוונה היא למרחק הקצר ביותר, שהוא אורך האנך - בין שניים.

    גובה במשולש = מרחק נקודת הקודקוד מישר .

    "מקום גאומטרי " - אוסף נקודות המקיים תכונה מסוימת.
    כאשר נתונה נקודה - אך לא מצוין היכן היא בצורה הגאומטרית - ניתן למצוא אותה ע"י הצבה בנוסחאות הישרים הנתונים,
    או אם ניתן : ע"י מפגש בין הישרים.
    נתון מעגל קנוני שרדיוסו R מנקודה A שמחוץ למעגל מעבירים משיק למעגל בנקודה B שעליו.
    הבע בעזרת R את המקום הגיאומטרי של כל הנקודות A שמרחקן מציר הY גדול פי שלוש ממרחקן מאורך הישר AB.
    סמן את שיעורי A בתורA(X0,y0) i .שיעורי B לא מעניינים.
    התבונן על המשולש OAB. אתה יכול לבטא את אורך OA והרי ש-OB=R, כלומר בעזרת פיתגורס תוכל לבטא את אורך המשיק AB.
    מרחק הנקודה A מציר ה-y הוא הערך המוחלט של שיעור ה-x שלה (הערך המוחלט בא לציין שלא יודעים האם הנקודה מימין לציר ה-y
    או משמאלו). רשום את המשוואה המתבקשת והגע אל המקום הגיאומטרי שהוא , כלומר אליפסה.

    "ראשית" = הצטלבות הצירים =(I (0,0
    "קנוני" - מרכזו בראשית הצירים.
    "רביע"= רבע מעגל : הראשון (x,+y+) ימני למעלה --> ממשיכים נגד כוון השעון עד רביע רביעי (x,-y+)

    5. מרחק בין ישר לנקודה
    הגדרת הנקודה (xo,yo)
    משוואת הישר יש לרשום בפורמט : (* הערה : במשוואת הישר m=A
    y=mx +n=שיפוע, n=C)

    כאשר B>0 חיובי

    חישוב המרחק :

    .המרחק שלילי כאשר הישר נמצא מעל הנקודה.
    מרחק זה = גובה במשולש
    אפשרות נוספת h=IAxo +Byo +C)I / √(A^2 + B^2) i

    הערה : כאשר מעגל נושק ל 2 ישרים : יש 2 אפשרויות פיתרון : המעגל נושק מבפנים או המעגל נושק מבחוץ
    הערך המוחלט עבור 2 משוואות המרחק מקבל :
    + +
    או
    - +


    במשולש ישר זווית משוואת היתר : y=-7x+2
    מפגש היתר עם ציר y הוא בנקודה A(0,2) I
    נתון ניצב y=-x+0.8
    מפגש עם ציר y בנקודה B(0,0.8) i
    מצא נקודה על ציר y שנמצאת במרחק שווה מהישרים ( בין A ל B )
    redirect=https%3A%2F%2Fwww.desmos.com%2Fcalculator %2Fqe4o59v25j שרטוט המשולש
    כוון שהנקודה המבוקשת היא בתוך המשולש- על ציר y
    המרחק השווה אפשרי רק מהיתר וקו הכחול
    7x+y-2=0 יתר
    A=7 , B=1 , C=-2

    5x+5y-4=0 כחול
    A=5 , B=5 , C=-4

    t(0,y) I נקודה
    היתר האדום נמצא מעל הנקודה לכן המרחק כאן
    שלילי
    I -(7*0 +1y -2)/√50=(5*0 +5y-4)/√50
    y=1
    t(0,1) I

    5x+5y-4=0 כחול
    y=(-5x+4)/5=-1x +4/5
    m=-1
    m=1 ירוק (ניצבים)
    y=1x +C ירוק
    I -1x +1y+C=0
    A=-1 , B=1
    מרחק הנקודה מקו ירוק שלילי כוון שנמצא מעל הנקודה
    I d=-√2=(-1*0+ 1*1 +C)/√(1 +1) I
    I -(√2)^2=1+C
    I -2=1+C
    C=-3

    I--> -1x+1y-3=0

    6. מרחק בין ישרים מקבילים
    ישרים מקבילים הם בעלי שיפוע m זהה
    y=3x +5
    y=3x-9

    ישר מבוקש מוגדר ע"י

    B>0 חיובי

    משוואת מרחק :


    המרחק שלילי כאשר ישר מבוקש נמצא מעל הישר השני

    אפשרות נוספת :d=Ic1-c2I / √(A^2 +B^2) i

    הערה : למציאת משוואת ישר מקביל ניתן גם להשתמש בהצבת נקודה השייכת לישר המקביל.

    הגובה של מעוין הוא I 2√5 המשוואות של שתי צלעותיו : y=2x+1 , 2y-x=8
    מצא משוואות 2 הצלעות האחרות אם ידוע שהנקודה I(0,2)
    i נמצאת בתוך המעוין.
    הגובה נמצא בין הישרים המקבילים של המעוין
    B>0
    נסדר את המשוואות
    I--> -2x +y-1=0
    I--> -x+2y-8=0

    I--> +d=(C1-C2)/√(A^2 +B^2) I ( שלילי כאשר ישר מבוקש C1 נמצא מעל )

    I--> -x+2y+C1=0 ישר מבוקש
    I--> 2√5=(C1+8)/√(1+4)I
    I--> 2√5√5=C1+8
    10=C1+8
    C1=2
    I--> -x+2y+2=0

    I--> -2x+y+C1=0 ישר מבוקש
    I--> -2√5=(C1+1)/√(4+1) I מרחק שלילי כי ישר מבוקש נמצא מעל
    I--> -10=C1+1
    C1= -11
    I--> -2x+y-11=0

    הנקודה I (0,2) I נמצאת בתוך המעוין כנדרש
    Desmos | Unsupported Browser

    7. זווית בין ישרים
    כאשר לא מקבילים ולא מאונכים לציר x
    tan α=
    I(m1-m2)/(1+m1*m2)I

    מקרה מיוחד הוא כאשר חוצה הזווית מקביל לציר ה y : – יוצא אז ששיפועי שוקיי הזווית הם : m1=-m2

    במשולש שווה שוקיים ששטחו 80 יח"ר משוואות הגבהים לשוקיים הן y=7X. ו- y= -X
    מצא את קודקוד הראש הנמצא ברביע השלישי.

    לפי חוק הניצבות:
    mAC=-1/7
    mAB=1
    מפגש גבהים=O
    זווית בין גבהים=α

    tan α=I(m1-m2)/(1+m1*m2)I=I(7+1)/(1-7)I=4/3
    α=53.13 זווית חדה בצד

    O1=180-53.13 זווית עליונה
    במרובע עליון נחשב
    A=360-180-(180-53.13)=53.13 קודקוד

    לפי שטח משולש טריגונומטרי
    שטח משולש טריגונומטרי: (Γ=זווית בין הישרים b,c)
    S=AB*AC*sin(53.13) /2
    AB=AC ש"ש
    נציב S ונקבל
    AB=AC=√200
    --------------
    גובה חוצה זווית ראש
    0.5A=26.56
    H=גובה לבסיס
    לפי y=-x
    mAB=1
    tg26.56=I(1-mH)/(1-1*mH)I
    mH=1/3

    לפי מפגש נוסחאות גבהים לשוקיים=O(0,0) I
    לפי O ושיפוע נמצא
    yAF=x/3

    לפי H
    x=3y
    נגדיר
    A(3a ,a) I
    C(c,-c) I

    לפי שיפוע AC
    mAC=-1/7=(a+c)/(3a-c) I
    c=-a/0.6

    מרחק AC
    I 200=(3a-c)^2 +(a+c)^2
    נפתח סוגריים
    נציב c
    a1=+3 לא מתאים
    a2=-3
    A(-9,-3)
    i רביע III


    8. שטח משולש
    לפי קודקודים :

    *קל לביצוע : ע"י מלבן חוסם משולש והפחתת חלקים מסביב למשולש.
    שטח מלבן פחות שטח שלוש המשולשים מסביב למשולש המבוקש.


    נוסחת הרון (לפי חצי היקף=p)
    S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] I

    מרחק נקודה מישר=h
    S=ah/2

    *ווקטורים ( לפי הנורמל המאונך למישור)
    ווקטור=גודל עם כוון=נקודת הגעה פחות נקודת המוצא
    נקודת המוצא(x3,y3)
    v1[α1,ß1]=[x2-x3, y2-y3]I
    v2[α2,ß2]=[x1-x3, y1-y3]I
    C=α1ß2 - α2ß1
    S=C/2

    https://www.youtube.com/watch?v=NK_uiJ0AEmA

    S=0.5Ix1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)I

    לפי זוויות
    שטח משולש טריגונומטרי: (Γ=זווית בין הישרים b,c)
    S=bc*sin(Γ) /2

    לפי משפט הסינוסים : α מול צלע a
    S=a²sinß*sinΓ/2sinα

    לפי r רדיוס חסום :(O=מפגש חוצי זוויות )
    נחלק המשולש ל3 משולשים בהם r הוא הגובה
    S=ar/2 +br/2 +cr/2
    S=r(a+b+c)/2

    לפי R רדיוס חוסם :
    (O=מפגש אנכים אמצעיים)S=ABC/4R

    S=2R²sinα*sinß*sinΓ

    S=2rR+r²

    9. מעגל חוסם משולש
    מרכז מעגל חוסם = מפגש אנכים אמצעיים.(מספיק 2 )
    אנך אמצעי= ישר היוצא מאמצע הקטע ומאונך לו.(את אמצע הקטע ניתן לחשב ע"י ממוצע X וממוצע y של הנקודות של הקטע)

    במשולש ישר זווית : תיכון ליתר = חצי היתר=R

    10. מעגל חסום במשולש
    מרכז מעגל חסום=מפגש חוצי זוויות .
    במשולש שווה צלעות - גם מפגש גבהים.
    הרדיוס r - משיק (מאונך) לכל צלע.
    רדיוס=מרחק מרכז O מצלע לכן d1=d2 , d1=d3, d2=d3
    מאפשר יצירת משוואות ופתרון נעלמים
    https://www.fxp.co.il/showthread.php?t=18712931
    11. מפגש תיכונים במשולש =t
    "מרכז הכובד" של המשולש.
    לפי קודקודי המשולש
    Xt=(x1+x2+x3)/3
    Yt=(y1+y2+y3)/3

    אם במשולש יש תיכון לצלע ששווה למחציתה אז המשולש הוא ישר זווית.

    מפגש תיכונים מחלק כל תיכון לפי : 1/3 ליד הישר + 2/3 ליד הקודקוד .
    מציאת נקודה B ע"י חלוקת קטע לפי 2:1
    כאשר נתון A(x1,y1) I קודקוד המשולש
    Xt=(x1*1 + XB*2)/(1+2) I מפגש התיכונים
    Yt=(y1*1 + YB*2)/(1+2) I מפגש התיכונים
    לצורך המשך חישובים B=אמצע הקטע

    12. מפגש גבהים במשולש
    מחלק כל גובה ל2
    קטעים שמכפלתם = למכפלה בגובה השני.
    נתון משולש ששניים מקודקודיו
    הם (B (0, 12) A (6,-6
    CD הוא גובה לצלע AB ,
    BE גובה לצלע AC
    CD וBE נפגשים בנקודה (F (-3, 3
    א. מצא את משוואת הגובה CD.
    ב. מצא את השיפוע הגובה BE.
    ג. מצא את השיעורים של הקודקוד C.
    mAB=(-6-12)/(6-0)=-18/6=-3 לפי הנקודות
    mDC=1/3 כוון שצולבים
    I 1/3=(y-3)/[x-(-3)]=(y-3)/(x+3) I לפי F
    yCD=x/3 +4
    mBE=mBF=3
    mAC=-1/3 כי צולבים
    I -1/3=(y+6)/(x-6) I
    mAC=(-1/3)x -4
    C מפגש AC DC
    I -x/3 -4=x/3+4
    x=-12
    y=-12/3 -4=-8
    C(-12, -8)
    I

    13. חלוקת קטע ביחס
    A(x1,y1) , B(x2,y2) I
    P=נקודת החלוקה
    AP/PB=K/L היחס
    לפי "כפל של הרחוקים"
    Xp=(Kx2 +Lx1)/(K+L) i
    Yp=(Ky2+Ly1)/(K+L) I


    14. פתרון מהיר

    א. ערך מוחלט - ע"י העלאה בחזקה
    I 20/√50=I2m-6+2m14I / √(m^2+1) I
    I 8(m^2 +1)=(4m+8)^2
    I 8(m^2 +1)=16m^2 +64m +64
    עקב העלאה בריבוע - נקבל 2 פתרונות --> יש לבחור איזה פתרון מתאים לבעייה.

    ב. חיבור משוואות - לביטול x^2 y^2

    15. מקום גיאומטרי




    זה השרטוט - שתי הנקודות נמצאות על מעגל קנוני שרדיוסו חמש, ולכן כל נקודה על המעגל יוצרת ישרים מאונכים עם 2 הנקודות (יש משפט בגיאומטריה שאומר "זוית הקפית הנשענת על הקוטר שווה ל90 מעלות)

    16. מעגל
    מעגל לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן ממרכז המעגל שווה למספר קבוע = רדיוס המעגל.

    משוואת מעגל :

    כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה ורדיוסו .
    הערה : כאשר מרכז המעגל נמצא על ציר x נציב b=0

    במעגל : המקדם של x = מקדם של y .(אחרת זה לא מעגל)

    בהצבת ערך נקודה במשוואת המעגל : אם קיבלנו תשובה גדולה יותר : הנקודה מחוץ למעגל . ( אם קטנה יותר : בתוך המעגל )

    מעגל המשיק לציר y :
    R=IaI

    מעגל המשיק לציר x
    R=IbI

    מעגל המשיק ל2 הצירים :
    R=IaI=IbI

    מציאת משוואה
    x^2 +y^2 -10x +16=0
    x^2 -10x +y^2 =-16
    השלמה לריבוע
    x^2 -2*5x +5^2 -5^2+y^2=-16
    I (x-5)^2 +y^2=9

    כאשר מרכז המעגל נמצא בראשית הצירים - הנקודה , משוואת המעגל מקבלת את הצורה:
    מעגל כזה נקרא מעגל קנוני, וקל לראות שניתן ליצור ממנו כל מעגל על ידי הזזה.


    כאשר רדיוס המעגל הקנוני הוא 1, המעגל נקרא מעגל היחידה.

    m=tan α זווית בין המשיק למעגל לבין ציר x החיובי

    משיק למעגל קנוני הוא בעל נקודה משותפת (3,8) לכן :
    במשוואת מעגל x^2+ y^2=25
    נפרק ל :
    x*x1 +y*y1=25
    אם נציב (x1,y1) נקבל את משוואת המשיק.

    משיק למעגל לא קנוני הוא בעל נקודה משותפת (6,9) לכן :
    במשוואת המעגל I (x-2)^2 +(y-4)^2=25
    נפרק ל :
    I (x-2)(x1-2) +(y-4)(y1-4)=25
    אם נציב (x1,y1) נקבל את משוואת המשיק.

    במעגל I (x-a)^2 +(y-b)^2=33
    ניקח משוואת ישר y=3x+9
    נציב y במשוואת מעגל ונקבל
    Ax^2 +By^2 +C=0
    I ▲=B^2 -4AC
    I ▲>0 שני פיתרונות : לכן חותך מעגל ב 2 נקודות =מיתר .
    I ▲=0 פיתרון אחד : לכן משיק למעגל .
    I ▲<0 אין פיתרון : לכן מחוץ למעגל.


    משיק y=mx+n , לפונקציה y^2=2px
    נציב y
    I (mx+n)^2=2px
    נמצא p
    נקודת השקה I(x1,y1) I
    משוואת משיק : y*y1=p(x+x1)I
    m=p/y1
    לכן tan α=p/y1

    נתון ישר y=x המשיק למעגל , בנקודה (1,1)A .הנקודה B(5,3) I נמצאת על המעגל. מצא משוואת המעגל
    ב. מצא משוואת משיק שני העובר דרך ראשית הצירים
    ג. מצא משוואת ישר המקביל למשיק y=x
    O(a,b) I מרכז המעגל
    I (1-a)^2 + (1-b)^2 =R^2
    i (5-a)^2 +(3-b)^2=R^2
    ------נחסר בין המשוואות----
    b=8-2a
    mAO=-1 צולב למשיק
    I -1=(y-1)/(x-1) Iלפי A
    yAO=2-x
    b=2-a הצבה
    8-2a=2-a השוואת משוואות
    a=6
    b=-4

    R^2=5^2 +5^2=50 הצבה
    i (x-6)^2 +(y+4)^2=50
    ב.
    y=mx
    I -mx+y=0
    A=-m
    B=1
    משוואת מרחק מנקודה I (6,-4) I
    i √50=I[m(-6) +1(-4)]I/√(m^2 +1^2) I
    נעלה בריבוע
    I 50(m^2-1)=(-6m-4)^2
    I 50(m^2-1)=[-(6m+4)]^2
    I 50(m^2-1)=(6m+4)^2
    7m^2 -24m+17=0
    m1=1 שייך ל y=x
    m2=17/7
    y=(17/7)x
    ג.
    I -x+y+C1=0 מקביל מבוקש נמצא מתחת לישר נתון
    המרחק לכן חיובי
    המרחק ביניהם=2R=2√50
    משוואת מרחק בין מקבילים
    I + 2√50=(C1-C2)/√(A^2 +B^2) i
    (Ii 2√50=(C1-0)/√(1^2 +1^2
    C1=√4*√50*√2=√400=20
    I -x+y+20=0

    נתונה משוואת מעגל I (x-5)^2 + y^2=9
    א. מצא את משוואות המשיקים למעגל זה , ועוברים דרך ראשית הצירים.
    ב. מצא את משוואות המעגלים המשיקים למעגל הנתון ולשני המשיקים הנ"ל .
    רדיוס=3
    מרכז מעגל (5,0) I נמצא על ציר X
    משוואת המשיק העובר דרך (0,0)היא y=mx
    I -mx+y=0
    A=-m
    B=1
    משוואת מרחק למשיק
    i 3=I5(-m) +0(1)I / √(m^2+1^2) I
    נעלה בריבוע
    I 9(m^2 +1)=-5m^2
    m=+3/4
    y1=(3/4)x משיק עליון m חיובי
    I -3x+4y=0

    y2=(-3/4)x משיק תחתון m שלילי
    I3x+4y=0

    ב. ראה שרטוט :
    https://www.desmos.com/calculator/vk9yi2b5gf
    מרכז מעגל O(a,b) I המשיק למעגל הנתון (משמאל או מימין)
    משוואת מרחק המשיק העליון מ O
    המרחק שלילי כאשר הישר נמצא מעל הנקודה.

    R=-(-3a+4b)/√(3^2 +4^2) I
    משוואת מרחק המשיק התחתון מ O
    R=+(3a+4b)/√(3^2 +4^2) I
    נשווה משוואות
    b=0
    נציב במשוואה ראשונה
    a=(5/3)R
    O[(5/3)R ,0] I

    ציר מרכזים מעגלים משיקים : (..........ס...R1.........)(....ן3ן...(ס,5)ס...ן3ן....)(..R2...ס.......)......(ס,ס)

    במעגל R1 הימני הגדול :
    הפרש במרכזים - על ציר X
    I (5/3)R1 -5=3+R1 קטע מרכזים
    R1=12
    a=5*12/3=20 נציב
    I (x-20)^2 +y^2=12^2

    במעגל R2 שמאלי קטן :
    הפרש במרכזים על ציר X
    I 5 -(5/3)R2=3+R2קטע מרכזים
    R2=3/4
    a=5*0.75/3=5/4 נציב
    I (x- 5/4)^2 +y^2=9/16


    מרכז מעגל מונח ברביע הראשון וכן על הישר x+y-8=0 .
    מעגל זה עובר דרך הנקודה (A(4,5 ומשיק לישר 2x-3y+6=0 .
    מצא את משוואתו של המעגל

    https://www.fxp.co.il/showthread.php?t=18591008

    17. אליפסה
    ראה שרטוט
    אליפסה קנונית (מרכזה בראשית הצירים)
    סכום מרחקי כל נקודה (x1,y1) מהמוקדים (F1,F2) שווה
    סכום רדיוסי ווקטור PF1+PF2 קבוע.
    r1+r2=2a
    ציר גדול =2a
    ציר קטן=2b
    I x^2/a^2 + y^2/b^2=1
    a#b (אחרת מדובר במעגל)

    F1(-c,0)I
    F2(c,0)I
    F1F2=2c
    c^2=a^2 -b^2
    r1=a +cx1/a שמאלי
    r2=a -cx1/a ימני

    קוטר ומיתר
    קוטר בעל שיפוע m1 שחוצה מיתר בעל שיפוע m2
    m1*m2=-(b/a)^2

    יחס נקודה לאליפסה
    באליפסה x^2/a^2 +y^2/b^2=1
    נציב נקודהI (x1,y1)I
    x1^2/a^2 +y1^2/b^2 =1 הנקודה על האליפסה
    גדול מ 1 = הנקודה מחוץ לאליפסה
    קטן מ1 = הנקודה בתוך האליפסה

    יחס ישר לאליפסה
    עבור ישר y=mx +n
    נציב במשוואת האליפסה
    x^2/a^2 +(mx+n)^2/b^2 =1
    Ax^2 +BX +C=0
    i ▲=B^2 -4AC>0 שני פיתרונות = הישר הוא מיתר בתוך האליפסה
    שווה 0 פיתרון אחד = הישר נושק לאליפסה
    קטן מ 0 אין פיתרון = הישר מחוץ לאליפסה

    אליפסה משיקה בתוך מעגל x^2 +y^2=R^2
    נעלה אנך מציר x ונקבל באליפסה I (x,y) I ובמעגל I (x1,y1) I
    x=x1
    y=y1(b/a) I
    y1=(a/b)y
    נציב במשוואת המעגל
    x^2 +[(a/b)y]^2=R^2
    ונקבל את משוואת האליפסה
    bx^2 +a^2*y=b^2*R^2


    אליפסה לא קנונית :



    2a ו-2b הם ארכי הצירים.
    אם a>b : מוקדי האליפסה נמצאים על ציר ה-x,


    במרחק I √(a^2 -b^2) I מהראשית .
    אם המרחק בין שני מוקדי האליפסה הוא 2c, אז היחס נקרא מקדם ה"אקסצנטריות" של האליפסה. זהו מספר בין 0 ל 1.
    ככל ש
    קרוב ל 0 האליפסה דומה יותר למעגל, וככל ש מתקרב ל 1 האליפסה נעשית צרה יותר.

    נקודה A נמצאת על ציר y ונקודה B נמצאת על ציר x. נקודה P נמצאת על קטע AB. אורך הקטע AB שווה L(שונה מאפס)
    א. הבע באמצעות L את משוואת המקום הגאומטרי של הנקודות P שמקיימות AP : BP = 3.
    https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%9F-807/70419.htm?highlight=%D7%90%D7%A0%D7%9C%D7%99%D7%98 %D7%99%D7%AA


    במשולש שווה שוקיים ששטחו 80 יח"ר משוואןת הגבהים לשוקיים הן y=7X. ו- y= -X
    מצא את קודקודי המשולש אם ידוע שקודקוד הראש נמצא ברביע השלישי.
    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 24-02-2018 בשעה 06:53


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

  2. #2
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    המשך המדריך

    18. פרבולה סימטרית לציר y

    https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...-005/23138.htm

    y=ax^2 +bx +c

    חישוב שורשים ע"י פירוק לגורמים
    x^2 -2x-15=0
    מכפלה=(ac=1(-15
    סכום=b=-2
    המס' הם : I -5,3
    x^2 -5x+3x-15=0
    x(x-5) +3(x-5)=0
    I (x-5)(x+3)=0
    x-5=0
    x-5=0
    x1=5
    x+3=0
    x2=-3

    I▲=b^2 -4acדיסקרימיננטה
    כאשר גדול מ 0 : 2 פיתרונות
    כאשר שווה 0 : פיתרון אחד
    כאשר קטן מ 0 : אין פיתרון (הפרבולה מרחפת מעל או מתחת לציר x )
    מציאת שורשים :



    מציאת הקודקוד k :
    כאשר a>0 הפרבולה "צוחקת " ( נקודת מינימום : הקודקוד מתחת לציר x )
    כאשר a<0 הפרבולה "בוכה " ( נקודת מכסימום : הקודקוד מעל לציר x )




    אפשרויות נוספות : נגזרת או

    yk=c - b^2/4a
    או


    משפט וויטה :
    חיבור שורשים


    מכפלת שורשים

    כאשר מבקשים מאיתנו לבנות משוואה ריבועית ששורשיה הם α ß

    נפעל באופן הבא :
    ברור לנו כי השורשים מתקבלים מהמשוואה
    .
    נחלק את המשוואה ב-a (שאינו 0) ונקבל :

    אלא מה?
    הוכחנו שמתקיים :

    ולכן נוכל לרשום :

    ובאם נציב את שני השורשים הנתונים :
    .
    מציאת פרמטר :
    x^2 +(2-m)x +(5-m)>0
    כוון ש m שלילי :
    התוצאה חיובית כאשר I ▲<0
    I ▲=(2-m)^2 -4(5-m)=m^2 -16
    m^2 -16<0
    m1=4
    m2=-4
    I 4>m>-4

    19 . פרבולה סימטרית לציר x


    אוסף נקודות שמרחקן ממדריך הפרבולה (x=-p/2) שווה למרחקן מנקודה קבועה=המוקד F(p/2 ,0)
    i
    סימטרית סביב ציר X
    משוואת הפרבולה :
    y^2=2px ברביע ראשון ( שלילית ברביע שני)
    מיתר הפרבולה :
    (xM,yM)=אמצע המיתר M
    m=שיפוע המיתר
    yM=p/m
    דוג: M(x,3) I , m=4
    I 3=p/4
    p=12
    2p=24
    y^2=2px=24x

    עבור ישר y=3x+n
    תנאי השקה לפרבולה
    : n=p/2m
    דוג: =y^2=4x
    2p=4
    p=2
    n=2/2*3=1/3

    y^2=2px
    y=mx+n
    I (mx+n)^2=2px
    I ▲>0 שני פיתרונות : ישר חותך פרבולה
    I ▲=0 פיתרון אחד : ישר משיק לפרבולה
    I ▲>0 אין פיתרון : ישר מחוץ לפרבולה

    השקת מעגל ופרבולה
    2 נקודות השקה :
    I (x1,√2px) I
    I (x1,-√2px) I
    נציב במשוואת מעגל ונדרוש ▲=0 (אותו X)

    20. ווקטורים במישור
    ווקטור=גודל עם כוון=נקודת הגעה פחות נקודת המוצא
    נקודת המוצא(x3,y3)
    v1[α1,ß1]=[x2-x3, y2-y3]I
    v2[α2,ß2]=[x1-x3, y1-y3]I
    C=α1ß2 - α2ß1
    S=C/2 משולש

    21. פירמידה

    https://www.google.co.il/url?sa=t&rc...s0y0VS4ItlCv-M




    http://www.gool.co.il/Books/807.pdf
    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    המשך המדריך ג'
    http://www.kaye7.org.il/ace/shalon_8...com_130429.pdf

    www.*******.co.il/גיאומטריה-אנליטית-מקומות-גיאומטריים/

    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 10-01-2018 בשעה 01:13


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

  3. #3
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 09-03-2018 בשעה 14:41


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

  4. #4
    אסיסטנט חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    נערך לאחרונה על ידי orenoren, 24-02-2018 בשעה 06:17
    אהבתי מדריך לאנליטיתChompalamantza אהב \ אהבו את התגובה
     


    מדריך מפורט לבעיות תנועה https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100293.htm
    מדריך מפורט לסדרות https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100446.htm
    מדריך לאנליטית במישור https://www.emath.co.il/forums/%D7%A...806/100641.htm

    אהבת - שלח LIKE

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 10

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו