מציג תוצאות 1 עד 2 מתוך 2

אשכול: הצגת שיטות "נוחות יחסית" לפתרון משוואות כלליות ממעלה שלישית

  1. #1
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל הצגת שיטות "נוחות יחסית" לפתרון משוואות כלליות ממעלה שלישית
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    שלום לכולם

    בסיכום זה יוצגו כלים "פשוטים יחסית" לפתרון ממשוואה שלישית. ישנה נוסחא לפתרון משוואה ממעלה שלישית, אך היא נראית מאד "מורכבת" ופחות נוחה לשימוש יחסית לנוסחא לפתרון משוואה ריבועית או כמובן משוואה ממעלה ראשונה. הכלים שאציג יפשטו משהו את הפתרון של משוואות מסוג זה וזאת בלי להשתמש יותר מידי בכלים של מתמטיקה מתקדמת יותר.

    הגדרה - משוואה ממעלה שלישית: הנה משוואה מהצורה: $ ax^3+bx^2+cx+d=0;a\neq0 $ כאשר a,b,c,d הם מקדמים בשדה נתון: רציונליים, ממשיים, מרוכבים,...

    בפוסט אתמקד בפתרון משוואה ממעלה שלישית מעל שדה המרוכבים - C. שדה הממשיים מהווים תת שדה כאשר החלק המדומה של המספר הוא 0

    א. היסטוריה בכמה מילים:

    בימי קדם היוונים והבבלים ידעו לפתור משוואות ממעלה ראשונה ושנייה. במאה ה-16 (1500+) הייתה פריצת דרך משמעותית בפתרון משוואות ממעלה שלישית(נוסחת קרדנו) עקב הרחבת קבוצת המספרים שהכירו עד אז למספרים שליליים ולמספרים מרוכבים. ההרחבה למספרים מרוכבים הייתה הכרחית, היות ובהרבה מקרים, וכדי להגיע לפתרונות ממשיים, צריך לבצע מניפולציות על מספרים מרוכבים.

    בראשית המאה ה-19 (1800+ ) הוכיחו באמצעות תורת החבורות(אבל, גלואה) שאין נוסחא לפתרון משוואה ממעלה חמישית ומעלה שהמרכיבים שלה סדרת פעולות: חיבור, חיסור, כפל, חילוק, הוצאת שורש או בשפת תורת החבורות "באמצעות רדיקלים". זה לא אומר שלא קיים פתרון או שלא ניתן לחשב אותו בדרך כלשהיא, אלא שהדרך למציאת פתרון למשוואות כאלו מורכבת יותר מהדרך למציאת פתרון למשוואות ממעלות נמוכות יותר.

    כאמור ישנן נוסחאות לשורשים של משוואות ממעלה שלישית ורביעית. כמו שנאמר, הנוסחאות נראות מורכבות מאד, בעיקר אמור הדבר על נוסחת שורשי משוואה ממעלה רביעית כללית שמסתמכת על פתרון משוואה ממעלה שלישית.

    ב. שלושה משפטים מקדימים:

    1. למשוואה ממעלה שלישית עם מקדמים כלשהם מעל שדה המרוכבים, קיימים שלושה פתרונות. הפתרונות יכולים להיות שווים, אבל סכום ריבויי הפתרונות הוא 3

    הגדרה - ריבוי של שורש: מספר הפעמים שערך נתון מופיע כשורש של פולינום

    2. לכל משוואה ממעלה אי זוגית כאשר מקדמי בחזקות של ה-x-ים הם ממשיים קיים לפחות שורש ממשי אחד

    הוכחה:
    יהי נתון הפולינום: n-אי זוגי $p(x)=a_n \cdot x^n + ...+a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x +a_0$

    נוכל לכתוב את הפולינום בצורה הבאה:

    $$p(x)=x^n ( a_n+ \frac{a_{n-1}}{x} +...+\frac{a_1}{x^(n-1)}+\frac{a_0}{x^n}) \\

    p(x)=x^n ( a_n+ ...+\frac{a_0}{x^n})$$

    מכאן נובע שעבור x מספיק גדול סימן הסוגריים יהיה כסימן מקדם החזקה ה--n-ית.
    לכן נוכל למצוא b ממשי חיובי מספיק גדול כך ש- p(b)>0
    כמו כן, היות והחזקה הגבוהה ביותר הינה אי זוגית, נוכל למצוא a ממשי שלילי גדול מספיק בערכו המוחלט כך ש- p(a)<0

    הפולינום הנה פונקציה רציפה. בפרט על הקטע הסגור [a,b]. בקצה אחד היא מקבלת ערך שלילי ובקצה אחר ערך חיובי. לפי משפט ערך הביניים
    קיימת נקודה a<c<b כמובן ש-c ממשי כך ש- p(c)=0

    מכאן נובע שבפרט לפולינום ממעלה שלישית עם מקדמים ממשיים קיים לפחות שורש ממשי אחד.

    מש"ל

    אנו מקבלים כאן דרך מעשית ראשונה למצוא שורשים ממשיים של פולינום ממעלה אי זוגית שכל מקדמיו ממשיים.


    3. יהי $p(x)=a_n \cdot x^n + ...+a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x +a_0$ פולינום עם מקדמים שלמים $ a_n,....., a_1,a_0$ ונניח שקיים לפולינום שורש רציונלי: $\frac{p}{q}\ $ אזי q מחלק את $a_n$ ו-p מחלק את $a_0$

    הוכחה:


    ראשית נניח שהמקדמים של הפולינום שלמים. אם הם רציונליים, נוכל להכפיל את הפולינום במכנה המשותף של מכני המקדמים ולקבל פולינום עם מקדמים שלמים
    אפשר גם אחר כך לצמצם את המקדמים כך ש-

    $a_0,a_1,a_2,...,,a_n$


    יהיו זרים
    בנוסף, נניח שהמונה והמכנה של השורש הרציונלי זרים. אם לא, נצמצם אותם, כך שהמונה והמכנה יהיו זרים

    יהי $\frac{p}{q}$ שורש רציונלי (המכנה והמונה זרים) של הפולינום $$p(x)$$ שכל מקדמיו שלמים, אם |p|=|q| , כלומר השורש 1 או 1- הטענה ברורה אחרת מתקיים:

    $a_n\cdot (\frac{p}{q})^n+a_n-1\cdot (\frac{p}{q})^(n-1)+...+a_1\cdot (\frac{p}{q})+a_0=0$

    נכפיל את הפולינם ב- q^n

    נקבל: $a_n \cdot p^n+a_n-1 \cdot p^{n-1} \cdot q+...+a_1 \cdot p\cdot q^{n-1}+a_0 \cdot q^n=0$
    נקבל : $a_n \cdot p^n=-a_n-1 \cdot p^{n-1} \cdot q-...-a_1 \cdot p \cdot q^{n-1}-a_0 \cdot q^n$

    אם נחלק את שני האגפים ב-p בצד שמאל יש לנו חזקה של p לכן הוא מתחלק ב-p בצד ימין כל אחד מהאיברים בצד ימין פרט ל-
    $a_0 \cdot q^n$ הינו חזקה של p ולכן מתחלק בו

    היות ובצד שמאל אחרי החלוקה ב-p יש לנו מספר שלם,הביטוי $\frac{a_0 \cdot q^n}{p}$ חייב להיות שלם.

    היות ו-p,q זרים $a_0$ חייב לחלק את p

    באופן דומה מגיעים למסקנה ש- $a_n$ מחלק את q

    מש"ל


    ג. משוואות ממעלה שלישית "מיוחדות":

    נציג כאן כמה צורות של משוואות בהן חסר המספר החופשי או חסרים המקדמים של x ושל x בריבוע ואז פתרון סוג כזה של משוואות נוח יחסית:
    כמובן המקדם של X בשלישית חייב להיות שונה מ-0, כי אז זאת לא הייתה משוואה ממעלה שלישית
    ג.1
    $a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x=0 $ d=0

    המקדמים של חזקות ה-x יכולים להיות מרוכבים
    במקרה זה נוכל לכתוב את המשוואה בצורה הבאה:

    $a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x=0 \to x\cdot (a\cdot x^2+b\cdot x+c)=0$
    ממה שצוין במשפט הראשון למשוואה ממעלה שלישית שלושה שורשים. מכתיבת המשוואה בצורה לעיל מסיקים שאו x=0(שורש ראשון)
    $a\cdot x^2+b\cdot x+c=0$
    זאת היא משוואה ריבועית. פותרים אותה כמו שלמדנו בתיכון ומקבלים את שני השורשים האחרים ממשיים או מרוכבים
    נוסחת פתרון משוואה ממעלה שנייה תופסת כמובן גם מעל שדה המרוכבים


    דוגמאות:
    א.
    $x^3-4 \cdot x=0 \to x \cdot (x^2 -4)=0 \to x1=0, x2,3= \pm 2$

    ב.
    $x^3+i \cdot x^2+2x=0 \to x \cdot (x^2+i \cdot x +2)=0 \to x1=0$

    $x2,3=\frac{-i\pm\sqrt{i^2-4\cdot1\cdot2}}{2}=\frac{-i\pm\sqrt{-1-8x}}{2}=\frac{-i\pm\sqrt{-9}}{2=\frac{-i\pm3i}{2}}\to x2=i, x3=-2i$
    ג.2.
    $a \cdot x^3+d=0;b=c=0,a\neq0$

    $a \cdot x^3=-d \to x^3=\frac{-d}{a} \to x=\sqrt[3]{\frac{-d}{a} }$ במידה ו-a,d ממשיים קיים שורש ממשי שלישי מכל מספר ממשי.

    לאחר שמחשבים שורש אחד, נוכל לחשב את יתר השורשים ע"י חלוקת הפולינום $a \cdot x^3+d$ בפולינום $ x-x_1 $ מקבלים משוואה ריבועית כאשר $ x_1 $ הוא השורש הממשי הראשון שמצאנו


    דוגמאות:

    א.
    $x^3-1=0 \to x^3=1 \to x_1=1$

    $(x^3-1) / ( x-1) = x^2+x+1 \to x_2=\frac{-1+3i}{2}, x_2=\frac{-1-3i}{2}$

    ב.
    $8 \cdot x^3 + 27i = 0$
    $\downarrow$
    $8 \cdot x^3 = - 27i \to x^3 =\frac{-27i}{8}$

    היות ו-i "בעסק" נוח לדעתי להשתמש בנוסחת מואבר

    $$x1=\frac{-27i}{8}=\frac{27}{8}\cdot (cos1.5\pi +i\cdot sin1.5\pi) \to \\

    (\frac{-27i}{8})^{1/3}=(\frac{27}{8})^{1/3} \cdot (cos\frac{1.5\pi}{3}+i\cdot sin\frac{1.5\pi}{3})=\frac{3}{2}\cdot(cos0.5\cdot\ pi+i\cdot sin0.5\cdot\pi)=\frac{3}{2}\cdot(0+i\cdot 1)=\frac{3}{2}\cdot i$$

    $$x2=\frac{-27i}{8}=\frac{27}{8}\cdot (cos3.5 \pi +i\cdot sin3.5\pi) \to \\

    (\frac{-27i}{8})^{1/3}=(\frac{27}{8})^{1/3} \cdot (cos\frac{3.5 \pi}{3}+i\cdot sin\frac{3.5 \pi}{3})=\frac{3}{2}\cdot(cos\frac{7\pi}{6}+i\cdot sin\frac{7\pi}{6})=\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})=\frac{3}{4} \cdot (-\sqrt{3} - i)$$

    $$x3=\frac{-27i}{8}=\frac{27}{8}\cdot (cos5.5\pi +i\cdot sin5.5\pi) \to \\
    (\frac{-27i}{8})^{1/3}=(\frac{27}{8})^{1/3} \cdot (cos\frac{5.5\pi}{3}+i\cdot sin\frac{5.5\pi}{3})=\frac{3}{2}\cdot(cos\frac{11\ pi}{6}+i\cdot sin\frac{11\pi}{6})=\frac{3}{2} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})=\frac{3}{4} \cdot (\sqrt{3} - i) $$

    ד. משוואות ממעלה שלישית בהן מקדמי הפולינום מספרים שלמים:

    נדון במשוואה בה במקדמים של החזקות הם מספרים שלמים. לפי משפט 2, קיים לפחות שורש ממשי אחד. ננסה למצוא שורש רציונלי. אין לנו הבטחה שיש כזה, אבל אם יש כזה
    מהצורה $ \frac{p}{q}$ שבר מצומצם, אז p מחלק את $a_0$ ו-q מחלק $a_n$

    כלומר נמצא את כל המחלקים של המקדמים האלו ונבנה מספר רציונלי עם כל הקומבינציות חיובית ושלילית. אם אחת מהן פותרת את המשוואה, נוכל לחלק את הפולינום ב-x פחות השורש, לקבל פולינום ממדרגה שנייה. השוואתו ל-0 נותנת משוואה ריבועית

    נסתכל לדוגמא על המשוואה: $3\cdot x^3+x^2+3x+1=0$

    אם $\frac{p}{q}$ שורש, רציונלי מצומצם, אזי p מחלק את 1 ולכן p יכול להיות שווה לפלוס/מינוס 1 ו-q מחלק את 3 ולכן הוא יכול להיות שווה לפלוס/מינוס 1 ולפלוס/מינוס 3

    לכן המועמדים להיות שורשים הם: $1,-1,\frac{1}{3},-\frac{1}{3}$

    הצבת מינוס שליש גורמת לפולינום להתאפס לכן הוא השורש הראשון: $x1=-\frac{1}{3}$

    עכשיו נחלק את הפולינום הנתון בפולינום $(3x+1)$ נקבל את הפולינום: $x^2+1$

    השוואה ל-0 נותנת משוואה ריבועית שפתרונותיה: $x2=i,x3=-i$

    לא תמיד קיים למשוואה ממעלה שלישית שכל המקדמים ששל חזקות ה-x פתרון רציונלי. בנוסף מקדמי ה-x-ים יכולים להיות ממשיים או מרוכבים
    במקרים אלו, אין לנו ברירה אלא לחפש שיטה כללית לפתרון משוואות כאלו

    דוגמאות למשוואות כאלו:
    $x^3+x+1=0$
    אם נחפש שורש רציונלי, המועמדים לפתרון הן פלוס מינוס 1. אבל אף אחד מהם אינו מאפס את המשוואה. היות ומקדמי חזקות ה-x הם ממשיים, קיים למשוואה הנ"ל לפי המשפט שצוין קודם, קיים לפחות שורש ממשי אחד.
    $x^3+ \sqrt{2} \cdot x+1=0$

    $x^3+ix+1=0$

    ה. פתרון משוואה ממעלה שלישית כללית:

    תהי נתונה המשוואה הכללית:

    $A \cdot x^3+B \cdot x^2 +C \cdot x + D=0 , A\neq0$

    המקדמים A,B,C,D מקדמים ממשיים או מרוכבים, נחלק ב-A השונה מ-0 את אגפי המשוואה, נקבל את הצורה:

    $ x^3+b \cdot x^2 +c \cdot x + d=0 $

    נציב $x=y-\frac{b}{3}$ נקבל:

    $(y-\frac{b}{3})^3 +b \cdot (y-\frac{b}{3})^2+ c \cdot (y-\frac{b}{3}) +d=0$
    $\downarrow$

    $y^3-3y^2 \cdot \frac{b}{3} + 3y\cdot \frac{b^2}{9}-\frac{b^3}{27}+b\cdot(y^2-\frac{2by}{3}+\frac{b^2}{9})+c \cdot (y-\frac{b}{3}) +d=0$
    $\downarrow$

    $y^3-y^2 \cdot b + 3y\cdot \frac{b^2}{9}-\frac{b^3}{27}+b \cdot y^2-\frac{2b^2}{3}+\frac{b^3}{9}+c \cdot (y-\frac{b}{3}) +d=0$
    $\downarrow$

    אם נכנס את האיברים, המקדם של החזקה הריבועית של y יתאפס והמשוואה תגיע לצורה:
    $y^3+ey+f=0$

    כאשר e,f ממשיים או מרוכבים עכשיו נציב $y=z+\frac{s}{z}$ כאשר s הוא קבוע וערכו אינו ידוע לעת עתה. נקבל:

    $(z+\frac{s}{z})^3 +e \cdot (z+\frac{s}{z}) +f=0$

    $\downarrow$

    $z^6+(3s+e) \cdot z^4+f \cdot z^3 +s \cdot (3s+e) \cdot z^2 +s^3=0$
    אם נבחר
    $3s+e=0 או s=-\frac{e}{3}$

    יתאפסו מקדמי החזקה הרביעית והחזקה הריבועית ונקבל:
    $z^6+f \cdot z^3 - \frac{e^3}{27} = 0$

    נציב: $u=z^3$ ונקבל משוואה ריבועית ב-u $u^2+f \cdot u - \frac{e^3}{27} = 0$

    מה שעושים זה פותרים את המשוואה הריבועית ב-u מתקבלים שני פתרונות

    מוציאים שורש שלישי מהפתרונות נקבל שישה שורשים עבור z מציבים בהצבה $y=z-\frac{e}{3z}$ ונקבל שלושה ערכים עבור y. עבור שני z-ים שונים יהיה שוויון עקב סימטריות

    נחזור להצבה $ x=y-\frac{b}{3}$ ונקבל את ערכי x

    נדגים את האמור לעיל ע"י פתרון המשוואה הבאה:

    $ 2\cdot x^3 + 3 \cdot x^2 -4x-6=0/:2$

    $\downarrow$

    $x^3 + 1.5 \cdot x^2 -2x-3=0$

    $\downarrow$

    $x=y-\frac{1.5}{3}=y-0.5$

    $\downarrow$
    $(y-0.5)^3+1.5 \cdot (y-0.5)^2 -2 \cdot (y-0.5) - 3 =0$

    $\downarrow$

    $y^3 - 3 \cdot y^2 \cdot 0.5 +3y \cdot 0.5^2 - 0.5^3 +1.5 \cdot (y^2-y +0.5^2) -2y+1-3=0 $

    $\downarrow$

    $y^3-1.5 \cdot y^2 + 0.75 \cdot y -0.125 + 1.5 \cdot y^2 -1.5 \cdot y + \frac{1.5}{4} - 2y -2=0$

    $\downarrow$

    הביטוי $1.5 \cdot y^2$ "מתקזז" ואנו מקבלים לאחר כינוס איברים את המשוואה:

    $y^3 - 2.75 \cdot y -1.75 =0 $

    $\downarrow$

    או $y^3 - \frac{11 \cdot y}{4} - \frac{7}{4}=0$

    נציב $y=z+\frac{\frac{11}{4}}{3z}=z+\frac{11}{12z}$

    נקבל :

    $(z+\frac{11}{12z})^3- \frac{11 \cdot y}{4} \cdot (z+\frac{11}{12z}) - \frac{7}{4}=0$

    $\downarrow$

    $z^3 + 3 \cdot z^2 \cdot \frac{11}{12z} + 3z \cdot \frac{121}{144z^2} + \frac{11^3}{12^3 \cdot z^3} - \frac{11z}{4} - \frac{121}{48z} - \frac{7}{4}=0$

    $\downarrow$

    $z^3 + \frac{11z}{4} + \frac{121}{48z} + \frac{1331}{1728 \cdot z^3} - \frac{11z}{4} - \frac{121}{48z} - \frac{7}{4}=0$

    $\downarrow$

    $z^3+\frac{1331}{1728 \cdot z^3} - \frac{7}{4}=0 \cdot 17828z^3$

    $\downarrow$

    $1728 \cdot z^6 -3024 \cdot z^3 +1331=0$

    נציב $t=z^3$ נקבל $1728 \cdot t^2 -3024 \cdot t +1331=0$


    נציג את הפתרון בצורה עשרונית מטעמי נוחות, נפתור את המשוואה הריבועית ב-t :


    $t1,2=\frac{3024\pm \sqrt{3024^2-4 \cdot 1728 \cdot 1331}}{2 \cdot 1728}$
    $\downarrow $


    $t1=0.875+0.06804138i$


    $t2=0.875-0.06804138i$


    כדי לקבל z נוציא שורש שלישי מ-t. נשתמש בנוסחת מואבר


    אנו מקבלים שישה פתרונות. יש לזכור שאנו פותרים משוואה ממעלה שישית ולמשוואה ממעלה כזאת צריכים להיות שישה פתרונות


    $z=\sqrt[3]{0.875+0.06804138i} \to z1=0.95711+0.024764i, z2=-0.5+0.8165i, z3=-0.45711-0.84126i$


    $z=\sqrt[3]{0.875-0.06804138i} \to z4=0.95711-0.024764i, z5=-0.5-0.8165i, z6=-0.45711+0.84126i$
    עכשיו נמצא את y. כמו שהצבנו
    $y=z+\frac{11}{12z} $


    $y1=-0.5 +0.8165i + \frac{11}{12 \cdot (-0.5+0.8165i )} = -1$


    $y2=0.95711+0.024764i + \frac{11}{12 \cdot (0.95711+0.024764i )} = 1.914219$


    $y3=-0.45711-0.84126i + \frac{11}{12 \cdot (-0.45711-0.84126i )} = -0.914219$
    משיקולי סימטריה נקבל את אותם שורשים עבור y3, y4, y5 כאשר נחשב את ערכם ע"י הצבת הצמוד
    $y4=-0.5-0.8165i + \frac{11}{12 \cdot (-0.5-0.8165i )} = -1$


    $y5=0.95711-0.024764i + \frac{11}{12 \cdot (0.95711-0.024764i )} = 1.914219$


    $y3=-0.45711+0.84126i + \frac{11}{12 \cdot (-0.45711*0.84126i )} = -0.914219$
    היות ואנו משתמשים בקירובים עשרוניים מה שמקבלים זה תוצאות קרובות מאד לתוצאות הנ"ל והחלק המדומה שואף ל-0. לכן אנו משמיטים את החלקים המדומים ומעגלים את החלקים הממשיים עכשיו נמצא את x. כמו שהצבנו $x=y-0.5$ :


    $x1=-1-0.5=-1.5, x2=1.914219-0.5=1.414219...=\sqrt{2}, x3=-0.914219-0.5=-1.414219...=-\sqrt{2}$


    נראה קצת ארוך ומיגע נכון?. פתרון משוואה כללית ממעלה רביעית כללית ארוך יותר


    ניתן היה לחפש שורש רציונלי ובמקרה שלנו קיים שורש כזה והוא 1.5- ואז לחלק את הפולינום של המשוואה ב-x+1.5


    אם לא קיים שורש רציונלי, לדעתי מספיק לחשב שורש אחד ממשי/מרוכב נסמנו ב-r ולחלק את המשוואה בפולינום
    $x-r$


    נקבל משוואה ריבועית שאותה אנו יודעים לפתור


    ו. דוגמאות של בעיות פשוטות המביאות לצורך לפתור משוואה מעלה שלישית:

    ו.1: רוחב בסיס של תיבה גדול ב-1.5 מטר מאורכה. גובה התיבה ארוך ב-2 מטרים מאורך בסיסה. נפח התיבה 28 מ"ק
    יש למצוא את ממדי התיבה.

    פתרון: נסמן את אורך התיבה ב-x מכאן רוחבה ארוך מאורכה ב-1.5 מטרים הינו +1.5 ומכאן גובהה שארוך מאורכה ב-2 מטרים הוא x+2

    נפח התיבה=אורXרוחבXגובה. לכן נקבל את המשוואה:


    $$x \cdot (x+1.5) \cdot (x+2)=28 \to (x^2+1.5x) \cdot (x+2)=28 \to x^3+2 \cdot x^2 + 1.5 \cdot x^2 + 3 \cdot x=28 \\

    x^3+3.5 \cdot x^2 +3 \cdot x -25=0 \ \cdot 2 \\


    2 \cdot x^3 + 7 \cdot x^2 +6 \cdot x -56=0

    $$
    ננסה למצוא שורש רציונלי $$\frac{p}{q}$$ p צריך לחלק את 56 ו-q את 2

    המועמדים הם:
    $p=\pm 1,2,4,7,8,28, q=\pm 2$
    על ידי הצבת האפשרויות השונות נמצא ש-x=2
    אם נחלק את הפולינום

    $2 \cdot x^3 + 7 \cdot x^2 +6 \cdot x -56$
    ב-(x-2)
    נקבל:
    $2x^2+11x+28=0$
    למשוואה הנ"ל יש שני שורשים מרוכבים שהם לא פתרון לבעיה

    לכן ממדי התיבה הם:
    $2X3.5X4 מטרים$

    ו.2: מחירו של מוצר היה 1000 ש"ח , מחירו הועלה פעמיים באחוז מסויים והוזל פעם שלישית באותו אחוז. לאחר השינוי במחיר מחירו העכשווי 1152 ש"ח. מה אחוז השינוי?

    פתרון: נסמן את אחוז השינוי ב-x. אחרי העלייה הראשונה מחיר המוצר:
    $1000 \cdot (1+\frac{x}{100}) $
    אחרי העלייה השנייה, מחיר המוצר:

    $1000 \cdot (1+\frac{x}{100})^2 $
    עכשיו מחיר המוצר יורד באותו אחוז. מחירו החדש:
    $1000 \cdot (1+\frac{x}{100})^2 \cdot (1-\frac{x}{100})=1152$

    ו.2: מחירו של מוצר היה 1000 ש"ח , מחירו הועלה פעמיים באחוז מסוים והוזל פעם שלישית באותו אחוז. לאחר השינוי במחיר מחירו העכשווי 1152 ש"ח. מה אחוז השינוי?

    פתרון: נסמן את אחוז השינוי ב-x. אחרי העלייה הראשונה מחיר המוצר:
    $1000 \cdot (1+\frac{x}{100}) $
    אחרי העלייה השנייה, מחיר המוצר:

    $1000 \cdot (1+\frac{x}{100})^2 $
    עכשיו מחיר המוצר יורד באותו אחוז. מחירו החדש:
    $1000 \cdot (1+\frac{x}{100})^2 \cdot (1-\frac{x}{100})=1152$
    $\downarrow$

    $1000 \cdot (1+ \frac{2x}{100} + \frac{x^2}{10000}-\frac{x}{100}-\frac{2 \cdot x^2}{1000}-\frac{x^3}{1000000})=1152$

    $\downarrow$

    $ 1+ \frac{x}{100} - \frac{x^2}{10000}-\frac{x^3}{1000000}=1.152 $

    $\downarrow$

    $ 1+ \frac{x}{100} - \frac{x^2}{10000}-\frac{x^3}{1000000}=1.152 \ \cdot 1000000$

    $\downarrow$

    $1000000 + 10000 \cdot x - 100 \cdot x^2 -x^3 = 1152000 $


    $\downarrow$

    $x^3 + 100 \cdot x^2 - 10000 \cdot x + 152000=0$

    ננסה לפתור את המשוואה לעיל באמצעות ניסיון למצוא שורש רציונלי מהצורה $${frac{p}{q\$$
    לפי המשפט שתואר קודם. לא אפרט כאן - זה די מיגע יוצא שאחד השורשים x=20.
    כדי למצוא את יתר השורשים, כדאי לבדוק אם ישנן עוד תשובות מתאימות,נחלק את הפולינום:
    $x^3 + 100 \cdot x^2 - 10000 \cdot x + 152000$

    בפולינום (x-20)

    נקבל שני שורשים נוספים:


    $x2=-20 \cdot (3+2 \cdot \sqrt{7} \approx =165.83$




    $x3=40 \cdot \sqrt{7} -60 \approx 45.83$

    אנו לוקחים את השורש החיובי השלישי כפתרון מכאן אחוז השינוי 20% או 45.83%

    ו.3: בסדרה הנדסית ארבעה איברים שאיברה הראשון 7. האיבר האחרון גדול ב-35 נסכום שני האיברים הראשונים. מצא את מנות הטור האפשריות ממשיות ומרוכבות

    פתרון: אברי הסדרה מקיימים את התנאי:
    $(a_4 - (a_1+a_2) =35 \to 7 \cdot q^3 - (7+7 \cdot q )=35 \to 7 \cdot q^3 - 7 \cdot q- 42 =0 : 7$ חלוקת המשוואה ב-7

    $\downarrow$
    $q^3-q-6=0$
    ננסה למצוא שורש רציונלי מהצורה $${frac{p}{q\$$ ערכי p האפשריים $\pm 2, \pm 3 $ ערכי q האפשריים $\pm 1$

    השורשים האפשריים הם אם כן: $\pm 2, \pm 3$ הצבת 2 מאפסת את המשוואה

    נמצא את שני הפתרונות האחרים ע"י חלוקת הפולינום: $q^3-q-6=0$ בפולינום q-2

    נקבל את הפולינום: $q^2+2q+3$ השוואה שלו ל-0 נותנת את שני השורשים הנוספים:

    $q2=-1+\sqrt{2}i, q3=-1-\sqrt{2}i$

    כלומר המנות האפשריות לסדרה הן מנה ממשית 2 ושתי מנות מרוכבות $2, -1 \pm \sqrt{2}i$

    סיכום:

    נוסחא מפורשת למציאת שורשי פולינום כללי קיימת רק עבור משוואות עד מעלה רביעית בפוסט זה הצגתי שיטה למציאת שורשי משוואה
    ממעלה שלישית. ישנה נוסחא כללית למציאת שורשי משוואה מסוג זה, אך היא ארוכה ומורכבת.
    השלבים המומלצים לדעתי
    - לבדוק תחילה אם המשוואה "מיוחדת" כך שניתן מיד לעבור לפתרון משוואה ריבועית ע"י הוצאת x מחוץ לסוגריים או הוצאת שורש שלישי ממספר חופשי
    - אם מקדמי החזקות הריבועיות של x הם מספרים רציונליים, כדאי לנסות למצוא פתרון כזה לפי הכלל שתואר לעיל. אם מקדם החזקה הגבוהה והמספר החופשי הם
    גבוהים, התהליך עלול להיות מיגע. ברגע שמצאנו בדרך זאת שורש רציונלי אחד, לא נמשיך הלאה אלא נחלק את פולינום המשוואה בפולינום של x פחות השורש
    ונקבל משוואה ריבועית, שיש לנו נוסחא נוחה לפתור אותה


    שיטה זאת טובה גם במקרה והמשוואה היא ממעלה חמישית ומעלה עם מקדמים רציונליים של חזקות של x.אם קיים שורש כזה, נוכל לחלק את פולינום המשוואה בפולינום x פחות השורש ולקבל פולינום ממעלה נמוכה יותר, אותו כדאי לנסות לפתור באותה שיטה.


    - אם אין שורש רציונלי למשוואה או שמקדמי החזקות הריבועיות של x הם מספרים אי רציונליים או מרוכבים, אין לנו ברירה אלא לעבור לדרך מיגעת שלהצבות כדי להגיע
    למשוואה מצורה של משוואה ריבועית, שנוח יחסית לפתור. כדאי לעבור לצורה עשרונית המקלה על החישוב. לאחר מציאת הפתרונות יש לעבור הלאה בשרשרת ההצבות ולקבל את השורשים המבוקשים.
    - גם זה תהליך קצת מיגע. מספיק למצוא שורש אחד לעבור להצגה עשרונית בדיוק הרצוי ולחלק את פולינום המשוואה בפולינום של x פחות השורש כדי להגיע למשוואה ריבועית.


    אמנם בבגרות חומר כזה אינו כלול וקיימים מחשבונים המחשבים את השורשים של משוואות כאלו בקירוב טוב, אבל כדאי לדעת שמתמטית ניתן להציג את השורשים בצורה מדויקת גם אם תהליך זה קצת ארוך.
    נערך לאחרונה על ידי am12348, אתמול בשעה 08:04
    אהבתי אריאל, מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  2. #2
    הסמל האישי שלמיכאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    כל הכבוד, החכמתי,

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 8

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו