הסתברות

[matan_bs]

בע"ה

שלום רב,
אשמח לעזרה בשאלה 4
אין לי תשובות סופיות
תודה מראש!

[אריאל]

א. בהנחה שספר הלימוד בלשון הוא אחד מספרי הלימוד, אז הוא לא יכול להיות בקצוות ולכן ההסתברות תיהיה : $ P= \frac{14}{16} $

ב. נאחד את כל 6 הספרים לספר אחד לכאורה (כי הם חייבים להיות יחד) ואז יש לנו 10 ספרים סה"כ, כלומר יש 10! אפשרויות לסדר, ואת זה כמובן נכפיל ב 6! שזה מספר האפשרויות לסדר את הספרי לימוד, וכל זה נחלק במספר האפשרויות לסדר הכל : 15! :

$$ P = \frac{10! \cdot 6!}{15!} = \frac{6!}{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11} = \frac{2}{1001} $$

ג. נפרק את זה אם כך באמת לקבוצות, יש 2 אפשרויות : (6 קריאה, 1 לימוד, 3 קריאה, 5 לימוד) או (5 לימוד, 6 קריאה, 1 לימוד, 3 קריאה). מספר האפשרויות בסה"כ:

$$ P = 6 \cdot (9 \cdot 8 \cdot 7) \frac{2 \cdot 5! \cdot 6! \cdot 3!}{15!} = \frac{12}{5005} $$

הכפל ב 6 בהתחלה זה כי אפשר לבחור כל אחד מ 6 הספרי לימוד. והכפל ב 9,8,7 זה הבחירה של הפירוק לקבוצות של ספרי הקריאה.

בעייתי שאין תשובות סופיות,

מה לך יצא?

[ThePrince]

בהתחלה הבנתי כי אין חשיבות לסדר בין ספרי לימוד ואין חשיבות לסדר בין ספרי קריאה, אבל נראה לי שזאת לא הייתה כוונת המשורר הוסיף את זה בגלל הספק.
הערה אחרונה לפני הפתרון: אריאל לא הבנתי את הפתרון שלך מה זה הכפל ב-$9\cdot 8\cdot 7$, לקחת את המקרה שיש 6 ספרי קריאה 6 ספרי לימוד ו3 ספרי קריאה?


אם אין חשיבות לסדר:

1. האמת בהתחלה פתרתי את התרגיל בדרך השניה שמופיעה למטה אומנם היא לא מתאימה לרמת בגרות ולכן אציע דרך אלטרנטיבית:
נבחר 3 ספרי קיראה עבור הקבוצה הראשונה של הספרי קריאה, והקבוצה עם 6 ספרי קיראה תיקבע באופן אוטומטי, נסתכל על כל קבוצה בתור ספר, כלומר עכשיו יש 8 ספרים אבל אנחנו רוצים לדחוף ספר לימוד בין שני הקבוצות בסוף לכן נשמור כדור אחד מה-6 ספרי לימוד, נבחר את המקומות עבור שני הקבוצות כלומר $7\choose2$ ולאחר מכן נוסיף את הכדור ששמרנו בין מקום ימינה מהקבוצה השמאלית. סה"כ קיבלנו:
$${7\choose 2}\cdot {9\choose 3}$$

2. עבור מי שמכיר את נוסחאת הכדורים לתאים:
מספר הדרכים לחלק $k$ כדורים זהים ל-$n$ תאים שונים הוא ${n+k-1}\choose{k}$, אם תחשבו על זה אז יש לנו תא עבור הקבוצה הראשונה, תא עבור הקבוצה השניה, תא בניהם ותא בכל אחד מהקצוות סה"כ יש לנו 5 תאים, אבל עבור התאים של הקבוצה הראשונה והשניה אין באמת בחירה ואי אפשר לזרוק לשם כדורים כי זה פשוט הספרי קריאה, אז צריך לזרוק את ה-5 ספרי לימוד לשלושה תאים כי צריך לשים ספר אחד באמצע בין שני הקבוצות של הקריאה. ואז צריך להכפיל במספר הדרכים לבחור שלושה ספרים מתוך ה-9 לקבוצה עם ה-3.
$${9\choose3}\cdot{{3+5-1}\choose{5}}={9\choose3}\cdot{{7}\choose{5}}$$
את זה צריך לחלק ב-$15!$

[אריאל]

אני לא חושב שזה ברמת בגרות,

מתן מהיכן השאלה ?

הערה אחרונה לפני הפתרון: אריאל לא הבנתי את הפתרון שלך מה זה הכפל ב-

9⋅8⋅7

, לקחת את המקרה שיש 6 ספרי קריאה 6 ספרי לימוד ו3 ספרי קריאה?

כן פחות או יותר - אם אני רוצה לחלק 9 ספרים ל 2 קבוצות של 3 ו 6 (ללא חשיבות לסדר בתוך כל קבוצה כרגע, זה מגיע עם העצרת בהמשך) אז אני בוחר לקבוצה אחת 3 ספרים וכל השאר הולכים לקבוצה השנייה בהכרח, לכן $ 9 \cdot 8 \cdot 7 $


-----

לגבי הפתרון שלך, מעבר לזה שיצא $ \frac{1}{741312000} $ נראה שגם לקחת בחשבון פעמים שהקבוצות של הספרי קריאה צמודות אחת לשנייה וגם לא חישבת אפשרויות של מיקומי הספרים בתוך כל קבוצה,

ואגב כנראה לא שמת לב, יצא לך משפט : "

נשמור כדור אחד מה-6 ספרי לימוד"

. פתרנו יותר מידי תרגילים

[ThePrince]

כן פחות או יותר - אם אני רוצה לחלק 9 ספרים ל 2 קבוצות של 3 ו 6 (ללא חשיבות לסדר בתוך כל קבוצה כרגע, זה מגיע עם העצרת בהמשך) אז אני בוחר לקבוצה אחת 3 ספרים וכל השאר הולכים לקבוצה השנייה בהכרח, לכן $ 9 \cdot 8 \cdot 7 $

אם אתה עושה $ 9 \cdot 8 \cdot 7 $ אז אתה לוקח חשיבות לסדר בין הספרים בתוך כל קבוצה. אם אתה רוצה לבחור בלי חשיבות לסדר בין בתוך כל קבוצה אתה צריך לעשות $9\choose3$, שזה כמו לחלק ב-$3!$ את $ 9 \cdot 8 \cdot 7 $.

לגבי הפתרון שלך, מעבר לזה שיצא $ \frac{1}{741312000} $ נראה שגם לקחת בחשבון פעמים שהקבוצות של הספרי קריאה צמודות אחת לשנייה וגם לא חישבת אפשרויות של מיקומי הספרים בתוך כל קבוצה,

אני לא מבין איך לקחתי בחשבון פעמים שהקבוצות של ספרי הקריאה צמודות אחד לשניה כי תמיד הכנסתי ספר לימוד בניהם.
בנוסף אני בכוונה לא לקחתי בחשבון את מיקומי הספרים בין כל קבוצה כי אין חשיבות לסדר בין הספרים בצורה שאני רואה את השאלה, כי זאת הייתה ההנחה שלי כפי שציינתי בתחילת הפתרון, למרות שזה לא מה שהתכוונו לדעתי.

ואגב כנראה לא שמת לב, יצא לך משפט : "

נשמור כדור אחד מה-6 ספרי לימוד"

. פתרנו יותר מידי תרגילים

חחח, כן כי מבחינתי ספרים וכדורים אותו דבר רעיונית אז החלפתי בינהם...

[אריאל]

בנוסף אני בכוונה לא לקחתי בחשבון את מיקומי הספרים בין כל קבוצה כי אין חשיבות לסדר בין הספרים בצורה שאני רואה את השאלה, כי זאת הייתה ההנחה שלי כפי שציינתי בתחילת הפתרון, למרות שזה לא מה שהתכוונו לדעתי.

כן, פה האי הסכמה בנינו כנראה, אני חושב אחרת מפני שבשאלה ציינו במפורש שאחד הספרים הוא "ספר בלשון" ולכן כל ספר הוא בנושא אחר...