בעיות המשלבות גאומטריה וטריגונומטריה

[Shirshely12]

המרובע ABCD הוא מקבילית.
הקטעים AE ו-CF הם חוצי זוויות המקבילית - dab ו- dcb , בהתאמה.
א. הוכח : המרובע AECF הוא מקבילית.
ב. נתון : AB =2BC . הוכח : המשך הקטע CF חוצה את צלע המקבילית AB .
ג. נתון גם : BD = 0.8DC . חשב את הזווית החדה של המקבילית ABCD.

[אריאל]

א. $ AF || EC $ כי אלו צלעות של מקבילית

כמו כן $ \angle FAE= \angle FCE $ שכן אם הזווית שוות גם מחצית הזווית שווה

בנוסף $ \angle BAE = \angle AED $ ומכלל המעבר אנחנו מקבלים כי : $ \angle AED = \angle FCE $ ואלו זוויות מתאימות ולכן $ FC||AE $

ומכאן קיבלנו 2 צלעות נגדיות מקבילות ולכן זוהי מקבילית

ב. נסמן $ BC=X \ , \ AB=2X $

מתקיים $ \angle BFC = \angle FCE $ מתחלפות וכן $ \angle BCF = \angle FCE $ לפי הנתון ולכן $ \angle BFC = \angle BCF $ כלומר המשולש BFC הוא שווה שוקיים ולכן $ BF=FC=x $

ומכיוון ש $ AB=2X $ הרי ש F אמצע הצלע AB

ג.מתקיים $ DC=AB=2X \to BD=0.8 \cdot 2x = 1.6x $ נסתכל במשולש BDC ונעשה משפט הקוסינוסים :

$$ (1.6x)^2=x^2+4x^2-2 \cdot x \cdot 2x \cdot cos \angle BCD

2.56x^2=5x^2-4x^2 \cdot cos \angle BCD \\

2.56=5-4 \cdot cos \angle BCD \\

\frac{2.44}{4} = cos \angle BCD \\


\angle BCD = 52.41^{\circ}
$$

[Shirshely12]

בתשובה מופיע ב-ג. שזה 52.41

[אריאל]

בתשובה מופיע ב-ג. שזה 52.41

תוקן, הפתרון נשאר זהה.

נא לרשום תשובות סופיות להבא

[Shirshely12]

סבבה תודה!