בעיות קיצון

[shanifar]

אשמח לעזרה בתרגילים. תודה רבה!

[אריאל]

היי,

כל שאלה חדשה באשכול חדש.

נפתור את שאלה 17 :

נתון $ AD=AB=a $

נסמן $ AE=x $

מכיוון ש ABCE מלבן, שכן AE אנך, אזי $ AE=BC=x $ וכן : $ AB=CE=a $

בנוסף על ידי פיתגורס נקבל : $ ED= \sqrt{a^2-x^2} $ ולכן סה"כ :

$$ f(x) = 3a+x+ \sqrt{a^2-x^2} $$

ב.

נגזור לחיפוש מקסימום :

$$ f'(x) = 1+ \frac{1}{2 \cdot \sqrt{a^2-x^2}} \cdot (-2x) =0 \\

2x=2 \cdot \sqrt{a^2-x^2} \\

x^2 = a^2-x^2 \\

2x^2=a^2 \ /^2 \\

x=\pm \frac{a}{ \sqrt{2}} $$

מכיוון שהעלינו בריבוע יש לוודא שהפתרונות תקינים במשוואה שלפני ההעלאה בריבוע, ואכן ניתן לראות כי הפתרון : $ x= - \frac{a}{ \sqrt{2}} $ נותן פסוק שקר. ולכן נשארנו עם $ x= \frac{a}{ \sqrt{2}} $




נבדוק מקסימום על ידי נגזר שנייה כסימן : $ f''_{sign}(x) = -2 < 0 \to MAX $ ואכן קיבלנו מקסימום .

ג. מתקיים לפי פיתגורס :

$$ BE= \sqrt{a^2+x^2}= \sqrt{a^2+ \frac{a^2}{2} } =\sqrt{1.5a^2} = 1.22a $$

[shanifar]

תודה רבה !