חקירת פונקציות

[Liatperetz]

אשמח לקבל עזרה לסעיף ד
תודה רבה

[אריאל]

אסימפטוטה אופקית היא הגבול באינסוף, לכן :

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{3} = \frac{2}{3} \to a=2 $$
אסימפטוטה אנכית מאפסת את המכנה ולכן :

$$ 3 \cdot \frac{1}{9}-b \frac{ 1}{3} =0 \to b=1 $$

ב. הפונקציה שלנו :

$$ f(x) = \frac{2x}{ 3x-\sqrt{x} } $$

לכן תחום ההגדרה :

$$ x \geq 0 \ , \ 3x-\sqrt{x} \neq 0 \to \sqrt{x}(3\sqrt{x}-1)=0 \to x \neq 0 \, \ x \neq \frac{1}{9} $$

סה"כ : $ x > 0 \ , \ x \neq \frac{1}{9} $




ג. נגזור את הפונקציה :

$$ f'(x) = \frac{2 (3x-\sqrt{x})-(3 -\frac{1}{2\sqrt{x} })2x}{(3x-\sqrt{x})^2}= \frac{6x-2\sqrt{x}-6x+\sqrt{x}}{(3x-\sqrt{x})^2} =\frac{-\sqrt{x}}{(3x-\sqrt{x})^2} <0 $$

ולכן הפונקציה תמיד יורדת.

Capture.PNG

[Liatperetz]

תודה רבה על התשובה
אשמח לקבל תשובה גם לסעיף ד
תודה רבה

[אריאל]

נגזור שוב
$$f'(x)= \frac{-\sqrt{x}}{(3x-\sqrt{x})^2} \\

f''(x) = \frac{ - \frac{1}{ 2 \sqrt{x}} (3x-\sqrt{x})^2 +\sqrt{x} \cdot 2 (3x-\sqrt{x})(3-\frac{1}{2 \sqrt{x}} )}{(3x-\sqrt{x})^4} =0 \\

(3x-\sqrt{x})[-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(3x-\sqrt{x})+2\sqrt{x}(3-\frac{1}{2 \sqrt{x}})]=0 \ / :(3x-\sqrt{x}) \neq 0 \\

-\frac{1}{2 \sqrt{x}}(3x-\sqrt{x})+2\sqrt{x}(3-\frac{1}{2 \sqrt{x}})=0 \ / \cdot 2 \sqrt{x} \\

-3x+\sqrt{x}+12x-2\sqrt{x} =0 \\

9x-\sqrt{x} =0 \\

\sqrt{x} (9 \sqrt{x}-1 )=0 \\

\boxed{x= \frac{1}{81} }

$$

כעת אפשר להתסכל על סימן הנגזרת השנייה לפני ואחרי הנקודה כדי להוכיח שמדובר בפיתול.

[Liatperetz]

תודה רבה