סדרה חשבונית

[יהודה ברזל]

הכנה לבחינת בגרות בשאלון 581

תרגיל מסכם בנושא סדרה חשבונית

בסדרה חשבונית......a1, a2, a3, יש 4n איברים
סכום n האיברים הראשונים שווה לסכום יתר האיברים.


כל הסעיפים

(לא ידוע עמוד ומספר תרגיל ולכן צוין סתם !!!)


מה המשמעות "סדרה חשבונית אינסופית"


להלן השאלה

אני צריך עזרה בסעיף ד׳ והלאה

[אריאל]

סעיף ג׳

נתון לנו כי :

$$ S_n = S_{4n} - S_n \\ 2S_n=S_{4n} \\ S_n= 0.5S_{4n} $$

ואם נפתח את זה לפי סכום סדרה חשבונית, כפי שהראה אבי נקבל : $ 2a_1+d(7n-1) =0 \to 2a_1=-d(7n-1) $
אם הסידרה יורדת, הרי ש : $ d<0 $

נציב בסכום הסדרה :

$$ S_{4n} = 2n[2a_1+d(4n-1)] = 2n[-2d(7n-1)+d(4n-1)]= \\ 2n[-14dn+2d+4dn-d]=2n[-10dn+d]=2nd[-10n+1] >0 \ (because \ d<0)$$


סעיף ד׳

נתון n=11, כלומר יש 44 איברים, נציב זאת במשוואה :

$$ 2a_1+d(77-1)=0 \\
a_1=-38d
$$

מכיוון שהסידרה יורדת, אזי $ d<0 $ ולכן $ a_1 > 0 $, אנחנו מגיעים בדיוק ל 0 ב $ a_{39} = a_1+38d=0 $ ומכיוון שיש 44 איברים סה״כ יש 5 איברים שלילים.

אם מכפילים אותם אחד בשני, הכפלנו מספר אי זוגי של איברים ומכאן שהמכפלה תיהיה שלילית

סעיף ה׳

ממשיכים את הסדרה כך שיש לה אינסוף איברים. זוהי סידרה מתבדרת אם כן (הסכום הוא לא סופי) אך זה לא רלוונטי כי שואלים אותנו רק עד האיבר ה 77.

עלינו למצוא את סכום 77 האיברים הראשונים בסדרה ״המלאה״ (שיש לה אינסוף איברים, אבל שוב, זה לא משפיע) אז נחשב :

$$

S_{77} = \frac{77}{2} [2a_1 +d(77-1)]=\frac{77}{2} [ 2 \cdot (-38d)+76d]=0
$$

כנדרש.

סעיף ו'

(1) הסדרה המקורית יורדת, נבחן שני איברים סמוכים :

$$ \frac{a_2}{a_1} - \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_2^2 -a_3a_1}{a_1 a_2} = \frac{(a1+d)^2-(a1+2d)a1}{a1(a1+d) }= \\

\frac{a_1^2+2a_1d+d^2-a_1^2-2da_1}{a_1(a_1+d)} = \frac{d^2}{a_1(a_1+d)} > 0 $$

הביטוי כולו גדול מאפס שכן a1 חיובי וגם $ a_1 = -38d > |d| $

ולכן הסידרה יורדת.





(2) (i) האיברים בסדרה החדשה הם (נתון 37 איברים)

$$ \frac{a_2}{a_1}, \frac{a_3}{a_2} , ... , \frac{a_{38} } {a_{37}} $$

ומכיוון שכפי שראינו $ a_{39} =0 $ ו $ a_1>0 $ הרי שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן גם מכפלתם חיובית.

(ii) סכום הסדרה קטן מ37, שכן כל איבר קטן מאחד, כי המקורית יורדת. כך לדוגמא : $ a_2>a_1 \to \frac{a_2}{a_1} <1 $

[itayh2002]

היי יהודה, ברוך הבא!
ראשית, לגבי התרגיל - אין צורך לציין סתם עמוד ומספר תרגיל.
בכל מקרה כדאי להעלות את כל השאלה. כאן כתבת רק נתונים, בלי השאלה עצמה (תעלה את השאלה ונעזור בשמחה).
שנית, מה הקשר של השאלה השנייה שלך להודעה? אנא פתח אשכול חדש לכל בעיה.
בכל אופן, סדרה חשבונית אינסופית כשמה כן היא - סדרה חשבונית שיש בה אינסוף איברים.
אין דרך מתמטית לחשב את הסכום של סדרה שכזו (שהרי הסכום שואף לאינסוף), זהו לא דבר שתתבקש לעשות.

[יהודה ברזל]

ידוע לי שזו שאלה בספר ארכימדס שאינו נמצא אצלי.
מסכמת נושא סדרה חשבונית

[אריאל]

מה השאלה אבל יהודה?

[יהודה ברזל]

פתרון הבעיה?!!!!!!

[מיכאל]

אין לכולם את הספר

[avi500]

הנתונים לא מגדירים פתרון חד משמעי
נשתמש בסימונים הרגילים של סידרה חשבונית, מה שניתן לכתוב מתוך שיוויון הסכומים הוא:
$
S_n=S_{4n}-S_n
$
מכאן
$
2S_n=S_{4n}
$
ומתוך נוסחאות ידועות של סדרה חשבונית
$2(2a_1+(n-1)d)\frac{n}{2}=(2a_1+(4n-1)d)\frac{4n}{2}
$
ומכאן
$
2a_1+(7n-1)d=0
$
כל 3 מספרים שיקיימו את המשוואה (כמובן $n$ צריך להיות מספר טבעי ) ייצרו סדרה חשבונית שמקיימת את התנאי.
נציב למשל $n=1, d=1$ ונקבל מהמשוואה ש $a_1=-3$. מכאן שבמקרה זה הסדרה היא:
$
-3,-2,-1,0
$
שמקיימת את התנאי הנתון כי $-3=-2+(-1)+0$
אבל יתכנו עוד אינסוף מקרים.

[יהודה ברזל]

.מה המשמעות בשאלה "הטור החשבוני אינסופי. סדרה מלאה" (מה ההבדל מסדרה חשבונית רגילה?)

[אריאל]

סעיף ג׳

נתון לנו כי :

$$ S_n = S_{4n} - S_n \\ 2S_n=S_{4n} \\ S_n= 0.5S_{4n} $$

ואם נפתח את זה לפי סכום סדרה חשבונית, כפי שהראה אבי נקבל : $ 2a_1+d(7n-1) =0 \to 2a_1=-d(7n-1) $
אם הסידרה יורדת, הרי ש : $ d<0 $

נציב בסכום הסדרה :

$$ S_{4n} = 2n[2a_1+d(4n-1)] = 2n[-2d(7n-1)+d(4n-1)]= \\ 2n[-14dn+2d+4dn-d]=2n[-10dn+d]=2nd[-10n+1] >0 \ (because \ d<0)$$


סעיף ד׳

נתון n=11, כלומר יש 44 איברים, נציב זאת במשוואה :

$$ 2a_1+d(77-1)=0 \\
a_1=-38d
$$

מכיוון שהסידרה יורדת, אזי $ d<0 $ ולכן $ a_1 > 0 $, אנחנו מגיעים בדיוק ל 0 ב $ a_{39} = a_1+38d=0 $ ומכיוון שיש 44 איברים סה״כ יש 5 איברים שלילים.

אם מכפילים אותם אחד בשני, הכפלנו מספר אי זוגי של איברים ומכאן שהמכפלה תיהיה שלילית

סעיף ה׳

ממשיכים את הסדרה כך שיש לה אינסוף איברים. זוהי סידרה מתבדרת אם כן (הסכום הוא לא סופי) אך זה לא רלוונטי כי שואלים אותנו רק עד האיבר ה 77.

עלינו למצוא את סכום 77 האיברים הראשונים בסדרה ״המלאה״ (שיש לה אינסוף איברים, אבל שוב, זה לא משפיע) אז נחשב :

$$

S_{77} = \frac{77}{2} [2a_1 +d(77-1)]=\frac{77}{2} [ 2 \cdot (-38d)+76d]=0
$$

כנדרש.

סעיף ו'

(1) הסדרה המקורית יורדת, נבחן שני איברים סמוכים :

$$ \frac{a_2}{a_1} - \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_2^2 -a_3a_1}{a_1 a_2} = \frac{(a1+d)^2-(a1+2d)a1}{a1(a1+d) }= \\

\frac{a_1^2+2a_1d+d^2-a_1^2-2da_1}{a_1(a_1+d)} = \frac{d^2}{a_1(a_1+d)} > 0 $$

הביטוי כולו גדול מאפס שכן a1 חיובי וגם $ a_1 = -38d > |d| $

ולכן הסידרה יורדת.





(2) (i) האיברים בסדרה החדשה הם (נתון 37 איברים)

$$ \frac{a_2}{a_1}, \frac{a_3}{a_2} , ... , \frac{a_{38} } {a_{37}} $$

ומכיוון שכפי שראינו $ a_{39} =0 $ ו $ a_1>0 $ הרי שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן גם מכפלתם חיובית.

(ii) סכום הסדרה קטן מ37, שכן כל איבר קטן מאחד, כי המקורית יורדת. כך לדוגמא : $ a_2>a_1 \to \frac{a_2}{a_1} <1 $

[יהודה ברזל]

גם סעיף ו' ורצוי גם ב' ו-ג' (לבדיקה)

[אריאל]

הוספתי פתרונות מלאים ל ג - ו