בעייה מאתגרת(?) בגיאומטריה

[am12348]

שבוע טוב,


רצ"ב שאלה קשה (אולי) בגאומטריה שמצאתי

נתון ריבוע ABCD

משולש CEF חסום בריבוע

צלעותיו הן:

$CE=40ס"מ, EF=ס"מ, CF=41ס"מ$


חשב את צלע הריבוע


בברכה,
עמוס

רצ"ב שרטוט להמחשת הבעיה

[am12348]

שבוע טוב,

להלן רמז ראשון

נסו למצוא איזו תכונה מקיימים אורכי הצלעות של המשולש CEF

ומכאן תסיקו איזה סוג משולש זה

[itayh2002]

משולש CEF הוא משולש ישר זווית לפי המפשט ההפוך למשפט פיתגורס, אבל עדיין החישובים יצאו לי נוראיים, אז כנראה פספסתי את הנקודה...

[avi500]

CEF ישר זוית
נסמן את הזויות
$ECD=AEF=\alpha$
כיוון שמדובר בריבוע, יש לנו:
$
40\cos\alpha=40\sin\alpha+9\cos\alpha
$
ומכאן:
$
\tan\alpha=\frac{31}{40}
$
$
\cos\alpha=(1+(31/40)^2)^{-1/2}=\frac{40}{\sqrt {2561}}
$
וצלע הריבוע:
$
40\cos\alpha=\frac{1600}{\sqrt{2561}}=31.6
$

[itayh2002]

גם אני קיבלתי את אותה התשובה כמו אבי, רק אחרי המון משוואות מפרכות המסתמכות על משפט פיתגורס.

[am12348]

שבוע טוב,

אפשר גם בדרך טריגונומטרית כמו שצוין בתגובות הקודמות ואפשר גם באמצעים גאומטריים
גם בלי לחשב את הזווית אלפא

כמו שצוין בתגובות הקודמות

$DCE=AEF=\alphaִִ$
בנוסף EAF,EDC זוויות בריבוע
$EAF=EDC=90ִ$


מכאן
$\Delta EAFְ ~ \Delta CDEִ$

כלומר המשולשים הנ"ל דומים

נסמן
$AE=x, DE=y \to CD=AD=AE+ED=x+y$

משיקולי דמיון
$\frac{AE}{CD}=\frac{EF}{CE} \to \frac{x}{x+y}=\frac{9}{40}$

$40x=9x+9y \to y=\frac{31x}{9}$

נעבור למשולש ישר הזווית CDE, לפי משפט פיתגורס מתקיים
$CEֶ^2=CD^2+DE^2 \to 40ֶ^2=(\frac{31x}{9})^2+(x+\frac{31x}{9})^2$

$\downarrow$

$(\frac{31x}{9})^2+(\frac{40x}{9})^2=1600 \to 961x^2+1600x^2=1600 \cdot 81=129600$

$\downarrow$

$2561x^2=129600 \to x^2=50.6 \to x=7.11\to y=\frac{31 \cdot 7.11}{9}=24.49$


וצלע הריבוע:
$CD=x+y=7.11+24.49=31.6 ס"מ$

בברכה,
עמוס