משיק של פונקציה מעריכית

[sarit_moti]

מבקשת עזרה בתרגיל ההכנה למבחן שהמורה נתנה מקובץ מבחנים לדוגמה

העליתי פתרו חלקי שלי
פתרתי את סעיף א'
ואני לא מבינה את סעיף ב' - מה צריך לעשות (ניסיתי ואני לא סגורה על זה...)

אשמח מאוד לעזרה

[אריאל]

א. בנקודה $ x=a $ מתקיים : $ f(a) = ae^{-a} $ והשיפוע הבנקודה : $ f'(x) = e^{-x} -xe^{-x} \to f'(a) =e^{-a}(1-a)$

ולכן משוואת המשיק בנקודה :

$$ y-ae^{-a} = e^{-a}(1-a)(x-a) \to y=e^{-a} (1-a)x +a^2e^{-a}$$

ב. פונקציית השיפוע שלנו היא : $ g(a) = e^{-a}(1-a) $ נגזור לחיפוש מינימום :

$$ g'(a) = -e^{-a}(1-a)-e^{-a}=e^{-a}(-1+a-1) =0 \\
-1+a-1=0 \to a=2 \\

g''(a)=-e^{-a}(a-2)+e^{-a} \to g''(2)>0 \to MIN
$$

[sarit_moti]

הבנתי ,תודה רבה על העזרה