סדרות

[ESB]

היי אשמח לעזרה

[avi500]

2.א.
i.
נשתמש בכך שסכום טור חשבוני הוא סכום האיבר הראשון והאחרון כפול מחצית מספר האיברים. עם נוסחה זו נוכל לכתוב את הנתון כך:
$
(a_1+a_{2n})\dfrac{2n}2=(a_{2n+1}+a_{3n})\dfrac n2
$
מכאן:
$
2a_1+2a_{2n}=a_{2n+1}+a_{3n}
$
או:
$
2a_1=(a_{2n+1}-a_{2n})+(a_{3n}-a_{2n})
$
ומכאן:
$
2a_1=d+nd
$
או:
$
a_1=\dfrac{n+1}2d
$
אם הסדרה יורדת $d$ שלילי ומהנוסחה האחרונה נובע שגם $a_1$ שלילי, ולכן כל איברי הסדרה שליליים, כלומר i נכון.

ii.
משתמשים בתוצאה הקודמת ובנוסחה המוכרת לסכום הסדרה:
$
S_{3n}=[2a_1+(3n-1)d]\dfrac {3n}2=6n^2d
$
הסכום יכול להיות זוגי או אי זוגי, כי $d$ יכול להיות כל מספר, לכן ii נכון.

ב.
מצאנו ש $ a_1=\dfrac{n+1}2d$, לכן עבור $n>1$ ו- $d$ שלילי נקבל ש $a_1$ הוא מספר שלילי גדול בערכו המוחלט מ- $d$ ולכן קטן מ- $d$ לכן $i$ נכון.

ג.
כאן $3n=9$ לכן $n=3$ וממה שמצאנו קודם: $a_1=2d$. לכל איבר בסדרה $\{b_k\}$ יש לנו:
$
b_{k}=|a_{k}|-5=|2d+(k-1)d|-5= (k+1)|d|-5=2|d|-5+(k-1)|d|
$
לכן $\{b_k\}$ היא סדרה חשבונית עם איבר ראשון $2|d|-5$ והפרש $|d|$. עבור סדרה זו נשתמש בנוסחת הסכום ונשווה לסכום הנתון:
$
[2 ( 2 |d|-5)+(9-1) |d|]\dfrac92=-117
$
וממשוואה זו מקבלים
$
|d|=3
$
ע"פ הנתון בסעיף ב' $d$ שלילי, ולכן:
$
d=-3,
$
ע"פ התוצאה מ- א. ii מקבלים עבור סכום הסדרה $\{a_k\}$:
$
S_9=6\cdot3^2\cdot(-3)=-162
$

[ESB]

תודה רבה!!!