משוואות בטריגו

[sarit_moti]

טריגו שאלה.jpeg

אני מבקשת עזרה בשאלה הזאת
נתקעתי עלייה הרבה זמן ולא הצלחתי לפתור...

גם בסעיף א
וגם סעיף ב

[avi500]

הוספתי את סעיף ב.

[avi500]

1.א.

הערה: הדרך המוצעת כאן מביאה לפתרון משוואה ממעלה שלישית - לא מצאתי שיטה פשוטה יותר.

נשתמש ב:
$\cos 2x=1-2\sin^2x$
$\sin2x=2\sin x\cos x$
נקבל
$
3(1-2\sin^2x)=2\sin^2x \cos x$
נסמן
$y=\sin x$.
$\sqrt{1-y^2}= \cos x$
נציב במשוואה למעלה ונעלה בריבוע. מקבלים:
$
y^6 + 32 y^4 - 36 y^2 + 9=0
$
נסמן
$z=y^2
$
נקבל
$
z^3+32z^2-36z+9=0
$
זוהי משוואה ממעלה שלישית שאפשר לפתור אותה בצורה נומרית.
למשוואה זו 3 פתרונות מתוכם 2 חיוביים (רק חיוביים מתקבלים כי צריך להוציא שורש)
$
z= 0.39720\\
z=0.62767
$
ועבור $y$ מקבלים $4$ פתרונות ע"י הוצאת שורש:
$
y_{1,2}=\pm0.63024\\
y_{3,4}=\pm0.79925
$
הפתרונות האפשריים ברביע הראשון הם: $ 39^\circ, 53^\circ$
ברביע השלישי הסינוס שלילי ולכן הפתרונות הם:
$180^\circ+39^\circ=219^\circ$
$
180^\circ+53^\circ=233^\circ
$
ב.
$
\cos^2\alpha= \dfrac1{1+\tan^2\alpha}=\dfrac1{10}
$

$
\cos\alpha=\dfrac1{\sqrt{10}}
$

$
\sin\alpha=\dfrac3{\sqrt{10}}
$

$
\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=4\sin\alpha \cos\alpha(2\cos^2\alpha-1)=-\dfrac{24}{25}
$

[sarit_moti]

המון תודות על העזרה והפתרון

אם יש מצב שתתייחס גם לסעיף ב’ אני ממש אשמח

[avi500]

הוספתי את סעיף ב.