מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: מעגלים אנליטית

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל מעגלים אנליטית
    שם הספר במתמטיקה: ספרי בני גורן

    אשמח לפתרון

    נתונים שני מעגלים בעלי היקף שווה שמרכזיהם בנקודות o1,o2
    הנמצאות ברביעים השני והרביעי בהתאמה.

    המעגלים משיקים זה לזה בנקודה A(-1,-2) ברביע השלישי..
    קבצים מצורפים קבצים מצורפים
    • סוג הקובץ: png Screenshot_10.png‏ (111.0 ק"ב , 18 צפיות) נתונים שני מעגלים בעלי היקף שווה שמרכזיתם בנקודות ,() ו- () הנמצאות ברביעים השני והרביעי בהתאמה. המעגלים משיקים זה קזח בנקודח (2-.|-)A ברביע השלישי. המעגל שמרכזו () משיק לציר ה-y והמעגל שמרכזו 0 משיק לציר ה-4. א. מצא את משוואות שני המעגלים. ב. ישר העובר דרך הרביע הראשון, משיק למעגל שמרכזו ( בנקודה B ולמעגל שמרכזו 0 בנקודה C. חשב את שטח המרובע ,BC0,0 .
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 03-09-2017 בשעה 22:52

  2. #2
    הסמל האישי שלChompalamantza מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל שתי דרכים אפשריות, הראשונה - יעילה יותר

    $\require{AMSmath}$
    דרך ראשונה:
    סעיף א׳:
    שני מעגלים בעלי אותו היקף $\Leftrightarrow $ הם בעלי רדיוס שווה.
    נסמן את הרדיוס ב - $R>0$.
    מפאת ההשקה וכו', נוכל לסמן את מרכזי המעגלים בתור:
    $$O_1(-R,b) \; \; \; , \; \; \; O_2(a,-R)$$
    כאשר אנחנו מניחים: $a,b>0$ לפי הנתון אודות מיקום מרכזי המעגלים.
    לפי נוסחת אמצע קטע:
    $$\frac{a-R}{2}=-1$$
    $$\frac{b-R}{2}=-2$$
    ולכן:
    $$a=R-2$$
    $$b=R-4$$
    ניקח למשל את $O_1$ ונבצע דיסטנס עם נקודה $A$:
    $$(-R+1)^2+(b+2)^2=R^2$$
    נציב את $b$ ולבסוף נקבל:
    $$(R-1)(R-5)=0$$
    עבור $R=1$ נקבל:
    $$ a=-1 \;\;\; , \;\;\; b=-3$$
    לא מתאים לנו (הם צריכים לצאת חיוביים לפי הנתונים).
    עבור $R=5$ נקבל:
    $$a=3 \;\;\; , \;\;\; b=1$$
    $$\boxed{(x+5)^2+(y-1)^2=25}$$
    $$\boxed{(x-3)^2+(y+5)^2=25}$$
    סעיף ב׳:
    לפי נוסחה, משיק למעגל שמרכזו $(a,b)$:
    $$y-b=m(x-a)\pm R\sqrt{m^2+1}$$
    לכן:
    $$O_1: \;\;\; y-1=m(x+5)\pm 5\sqrt{m^2+1}$$
    $$O_2: \;\;\; y+5=m(x-3)\pm 5 \sqrt{m^2+1}$$
    וכיוון שהמשיקים הנ"ל צריכים להיות זהים (הרי זה אותו משיק), נבודד $y$ ונחסר משוואות:
    $$-\left\{\begin{matrix}
    y=1+m(x+5)\pm 5\sqrt{m^2+1}
    \\\\
    y=-5+m(x-3)\pm 5 \sqrt{m^2+1}
    \end{matrix}\right. \; \; \Rightarrow \; \; 0=6+5m+3m $$
    $$m=-\frac{3}{4}$$
    והמשיק יהיה:
    $$4y+3x-14=0$$
    וכיוון שמדובר במלבן, מטעמים ברורים, מספיק למצוא רק השקה אחת עם אחד המעגלים, לחשב שטח משולש ע״י 3 נקודות ולכפול פי 2.
    לא קשה למצוא נקודת השקה עם המעגל התחתון:
    $$(6,-1)$$
    ברשותך, אמצא את שטח המלבן ע״י דטרמיננטה, אתה תשתמש בשיטה הנוחה לך.
    $$\begin{vmatrix}6 & -1 & 1\\
    -5 & 1 & 1\\
    3 & -5 & 1
    \end{vmatrix}=6+25-3-5+30-3=50$$
    וזהו השטח המבוקש.

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    דרך שניה:

    משוואת המעגל הראשון:
    $$(x+R)^2+(y-b)^2=R^2$$
    משוואת המעגל השני:
    $$(x-a)^2+(y+R)^2=R^2$$
    נציב נקודה $A$ במעגל הראשון:
    $$(-1+R)^2+(-2-b)^2=R^2$$
    $$(-2-b)^2=R^2-(-1+R)^2$$
    $$(b+2)^2=2R-1$$
    מכאן נקבל שתי אפשרויות עבור $b$:
    $$b_{1}=-2+\sqrt{2R-1}$$
    $$b_{2}=-2-\sqrt{2R-1}$$
    השני חייב להפסל כי הוא יוצא שלילי.
    נשארנו עם:
    $$b=-2+\sqrt{2R-1}$$
    נציב נקודה $A$ במעגל השני:
    $$(-1-a)^2+(-2+R)^2=R^2$$
    $$(-1-a)^2=R^2-(-2+R)^2$$
    $$(a+1)^2=4R-4$$
    נקבל שתי אפשרויות עבור $a$:
    $$a_{1}=-1+\sqrt{4R-4}$$
    $$a_{2}=-1-\sqrt{4R-4}$$
    השני נפסל.
    נשאר:
    $$a=-1+\sqrt{4R-4}$$
    עכשיו נותר לנו לבצע משוואה אחרונה.
    מתכונת ההשקה של המעגלים אנו יודעים כי $O_1 \; , \; O_2 \; , \; A$ נמצאות על ישר אחד.
    כאשר כמובן $A(-1,-2)$.
    משמע מכאן כי:
    $$m_{_{AO_1}}=m_{_{O_1O_2}}$$
    $$\frac{-2-b}{-1+R}=\frac{b+R}{-R-a}$$
    מכאן אנחנו מקבלים כי $R \neq 1$.
    $$\frac{-\sqrt{2R-1}}{R-1}=\frac{\sqrt{2R-1}+R-2}{-R+1-\sqrt{4R-4}}$$
    $$\left ( -\sqrt{2R-1} \right )\left ( -R+1-\sqrt{4R-4} \right )=\left ( R-1 \right )\left ( \sqrt{2R-1}+R-2 \right )$$
    אלוהים אדירים.
    $$\left ( \sqrt{2R-1} \right )\left ( R-1+\sqrt{4R-4} \right )=\left ( R-1 \right )\left ( \sqrt{2R-1}+R-2 \right )$$
    $$\left ( R-1 \right )\sqrt{2R-1}+\sqrt{2R-1}\sqrt{4R-4}=\left ( R-1 \right )\sqrt{2R-1}+\left ( R-1 \right )\left ( R-2 \right )$$
    $$2\sqrt{\left (R-1 \right )\left ( 2R-1 \right )}=\left ( R-1 \right )\left ( R-2 \right )$$
    $$4\left (R-1 \right )\left ( 2R-1 \right )=\left ( R-1 \right )^2\left ( R-2 \right )^2$$
    כיוון שאנו יודעים כי $R \neq 1$ אז:
    $$4\left ( 2R-1 \right )=\left ( R-1 \right )\left ( R-2 \right )^2$$
    $$8R-4=\left ( R-1 \right )\left ( R^2-4R+4 \right )$$
    $$8R-4= R^3-4R^2+4R-R^2+4R-4 $$
    $$0= R^3-5R^2$$
    כיוון ש - $R \neq 0$ נצמצם:
    $$0= R-5$$
    $$\boxed{R=5}$$
    ובעצם הוכחנו מעל לכל ספק סביר כי יש אלוהים.
    מכאן קל למצוא את השאר.
    $$a=-1+\sqrt{4R-4}=-1+\sqrt{20-4}=3$$
    $$\boxed{a=3}$$
    $$b=-2+\sqrt{2R-1}=-2+\sqrt{10-1}=1$$
    $$\boxed{b=1}$$
    לבסוף נקבל את המשוואות:
    $$\boxed{(x+5)^2+(y-1)^2=25}$$
    $$\boxed{(x-3)^2+(y+5)^2=25}$$
    נערך לאחרונה על ידי Chompalamantza, 03-09-2017 בשעה 19:32
    אהבתי אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     
    "כל מי שאינו מסוגל להתמודד עם מתמטיקה אינו אנושי במלוא מובן המילה.
    במקרה הטוב הוא תת-אנוש נסבל שלמד לנעול נעליים, להתרחץ ולא לעשות את צרכיו על הרצפה בבית."
    רוברט א' היינליין.

    הלינקייה שלי - Chompalamantza ממתמטיקה ועד לפילוסופיה (או להפך)


  3. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Chompalamantza צפה בהודעה
    $\require{AMSmath}$
    דרך ראשונה:
    סעיף א׳:
    שני מעגלים בעלי אותו היקף $\Leftrightarrow $ הם בעלי רדיוס שווה.
    נסמן את הרדיוס ב - $R>0$.
    מפאת ההשקה וכו', נוכל לסמן את מרכזי המעגלים בתור:
    $$O_1(-R,b) \; \; \; , \; \; \; O_2(a,-R)$$
    כאשר אנחנו מניחים: $a,b>0$ לפי הנתון אודות מיקום מרכזי המעגלים.
    לפי נוסחת אמצע קטע:
    $$\frac{a-R}{2}=-1$$
    $$\frac{b-R}{2}=-2$$
    ולכן:
    $$a=R-2$$
    $$b=R-4$$
    ניקח למשל את $O_1$ ונבצע דיסטנס עם נקודה $A$:
    $$(-R+1)^2+(b+2)^2=R^2$$
    נציב את $b$ ולבסוף נקבל:
    $$(R-1)(R-5)=0$$
    עבור $R=1$ נקבל:
    $$ a=-1 \;\;\; , \;\;\; b=-3$$
    לא מתאים לנו (הם צריכים לצאת חיוביים לפי הנתונים).
    עבור $R=5$ נקבל:
    $$a=3 \;\;\; , \;\;\; b=1$$
    $$\boxed{(x+5)^2+(y-1)^2=25}$$
    $$\boxed{(x-3)^2+(y+5)^2=25}$$
    סעיף ב׳:
    לפי נוסחה, משיק למעגל שמרכזו $(a,b)$:
    $$y-b=m(x-a)\pm R\sqrt{m^2+1}$$
    לכן:
    $$O_1: \;\;\; y-1=m(x+5)\pm 5\sqrt{m^2+1}$$
    $$O_2: \;\;\; y+5=m(x-3)\pm 5 \sqrt{m^2+1}$$
    וכיוון שהמשיקים הנ"ל צריכים להיות זהים (הרי זה אותו משיק), נבודד $y$ ונחסר משוואות:
    $$-\left\{\begin{matrix}
    y=1+m(x+5)\pm 5\sqrt{m^2+1}
    \\\\
    y=-5+m(x-3)\pm 5 \sqrt{m^2+1}
    \end{matrix}\right. \; \; \Rightarrow \; \; 0=6+5m+3m $$
    $$m=-\frac{3}{4}$$
    והמשיק יהיה:
    $$4y+3x-14=0$$
    וכיוון שמדובר במלבן, מטעמים ברורים, מספיק למצוא רק השקה אחת עם אחד המעגלים, לחשב שטח משולש ע״י 3 נקודות ולכפול פי 2.
    לא קשה למצוא נקודת השקה עם המעגל התחתון:
    $$(6,-1)$$
    ברשותך, אמצא את שטח המלבן ע״י דטרמיננטה, אתה תשתמש בשיטה הנוחה לך.
    $$\begin{vmatrix}6 & -1 & 1\\
    -5 & 1 & 1\\
    3 & -5 & 1
    \end{vmatrix}=6+25-3-5+30-3=50$$
    וזהו השטח המבוקש.

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    דרך שניה:

    משוואת המעגל הראשון:
    $$(x+R)^2+(y-b)^2=R^2$$
    משוואת המעגל השני:
    $$(x-a)^2+(y+R)^2=R^2$$
    נציב נקודה $A$ במעגל הראשון:
    $$(-1+R)^2+(-2-b)^2=R^2$$
    $$(-2-b)^2=R^2-(-1+R)^2$$
    $$(b+2)^2=2R-1$$
    מכאן נקבל שתי אפשרויות עבור $b$:
    $$b_{1}=-2+\sqrt{2R-1}$$
    $$b_{2}=-2-\sqrt{2R-1}$$
    השני חייב להפסל כי הוא יוצא שלילי.
    נשארנו עם:
    $$b=-2+\sqrt{2R-1}$$
    נציב נקודה $A$ במעגל השני:
    $$(-1-a)^2+(-2+R)^2=R^2$$
    $$(-1-a)^2=R^2-(-2+R)^2$$
    $$(a+1)^2=4R-4$$
    נקבל שתי אפשרויות עבור $a$:
    $$a_{1}=-1+\sqrt{4R-4}$$
    $$a_{2}=-1-\sqrt{4R-4}$$
    השני נפסל.
    נשאר:
    $$a=-1+\sqrt{4R-4}$$
    עכשיו נותר לנו לבצע משוואה אחרונה.
    מתכונת ההשקה של המעגלים אנו יודעים כי $O_1 \; , \; O_2 \; , \; A$ נמצאות על ישר אחד.
    כאשר כמובן $A(-1,-2)$.
    משמע מכאן כי:
    $$m_{_{AO_1}}=m_{_{O_1O_2}}$$
    $$\frac{-2-b}{-1+R}=\frac{b+R}{-R-a}$$
    מכאן אנחנו מקבלים כי $R \neq 1$.
    $$\frac{-\sqrt{2R-1}}{R-1}=\frac{\sqrt{2R-1}+R-2}{-R+1-\sqrt{4R-4}}$$
    $$\left ( -\sqrt{2R-1} \right )\left ( -R+1-\sqrt{4R-4} \right )=\left ( R-1 \right )\left ( \sqrt{2R-1}+R-2 \right )$$
    אלוהים אדירים.
    $$\left ( \sqrt{2R-1} \right )\left ( R-1+\sqrt{4R-4} \right )=\left ( R-1 \right )\left ( \sqrt{2R-1}+R-2 \right )$$
    $$\left ( R-1 \right )\sqrt{2R-1}+\sqrt{2R-1}\sqrt{4R-4}=\left ( R-1 \right )\sqrt{2R-1}+\left ( R-1 \right )\left ( R-2 \right )$$
    $$2\sqrt{\left (R-1 \right )\left ( 2R-1 \right )}=\left ( R-1 \right )\left ( R-2 \right )$$
    $$4\left (R-1 \right )\left ( 2R-1 \right )=\left ( R-1 \right )^2\left ( R-2 \right )^2$$
    כיוון שאנו יודעים כי $R \neq 1$ אז:
    $$4\left ( 2R-1 \right )=\left ( R-1 \right )\left ( R-2 \right )^2$$
    $$8R-4=\left ( R-1 \right )\left ( R^2-4R+4 \right )$$
    $$8R-4= R^3-4R^2+4R-R^2+4R-4 $$
    $$0= R^3-5R^2$$
    כיוון ש - $R \neq 0$ נצמצם:
    $$0= R-5$$
    $$\boxed{R=5}$$
    ובעצם הוכחנו מעל לכל ספק סביר כי יש אלוהים.
    מכאן קל למצוא את השאר.
    $$a=-1+\sqrt{4R-4}=-1+\sqrt{20-4}=3$$
    $$\boxed{a=3}$$
    $$b=-2+\sqrt{2R-1}=-2+\sqrt{10-1}=1$$
    $$\boxed{b=1}$$
    לבסוף נקבל את המשוואות:
    $$\boxed{(x+5)^2+(y-1)^2=25}$$
    $$\boxed{(x-3)^2+(y+5)^2=25}$$
    חחחחחח וואו, האלגברה בדרך השנייה הזויה לגמרי.

    תודה רבה רבה לך!
    עזרת ממש!

  4. #4
    הסמל האישי שלChompalamantza מדריך ויועץ חבר Emath מתקדם

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי omer30390 צפה בהודעה
    חחחחחח וואו, האלגברה בדרך השנייה הזויה לגמרי.

    תודה רבה רבה לך!
    עזרת ממש!
    בכיף
    אין לי ספק שרק משוגעים כמוני יגיעו למשוואה שם בדרך השניה וימשיכו לפתור ...
    אם עדיין משהו לא מובן 100% תשאל

    אגב, זו נראית לי הרבה יותר כמו שאלה של ארכימדס מאשר שאלה של בני גורן ...
    נערך לאחרונה על ידי Chompalamantza, 03-09-2017 בשעה 23:42
    "כל מי שאינו מסוגל להתמודד עם מתמטיקה אינו אנושי במלוא מובן המילה.
    במקרה הטוב הוא תת-אנוש נסבל שלמד לנעול נעליים, להתרחץ ולא לעשות את צרכיו על הרצפה בבית."
    רוברט א' היינליין.

    הלינקייה שלי - Chompalamantza ממתמטיקה ועד לפילוסופיה (או להפך)


מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 1

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו