מציג תוצאות 1 עד 4 מתוך 4

אשכול: שורשים של פולינום

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל שורשים של פולינום
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר
    תשובות סופיות : אין בידי תשובות סופיות

    שלום.
    אשמח לעזרה.. איך להתחיל?
    תודה.

    מצא את השורשים של הפולינום $ P(z) = 16z^8-8z^6+4z^4-2z^2+1 $

    כמה מהם מקיימים $ 50<argz<130 $
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 18-05-2018 בשעה 13:27

  2. #2
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל מציאת שורשי פולינום

    שלום רב,

    רצ"ב הצעה לפתרון. ייתכן וישנה דרך קצרה יותר

    16\cdot z^8-8\cdot z^6+4\cdot z^4-2\cdot z^2+1=0

    שים לב שהפולינום ממעלה שמינית "מיוחד" יש שם 5 איברים: 1,-2\cdot z^2,4\cdot z^4,-8\cdot z^6,16\cdot z^8

    היוצרים סדרה הנדסית שאיברה הראשון 1 ומנתה -2\cdot z^2

    סכום אברי הסדרה ההנדסית הזאת: ׁ(לפי הנוסחא שאתה מכיר)
    1\cdot \frac{1-(-2\cdot z^2)^5}{1-(-2\cdot z^2)}=\frac{1+32\cdot z^{10}}{1+2\cdot z^2}

    ונקבל משוואה יותר "פשוטה"
    \frac{1+32\cdot z^{10}}{1+2\cdot z^2}=0

    המכנה 1+2\cdot z^2 שונה מ-0 המספרים \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot i

    אינם פותר את המשוואה.

    נוכל להעביר אגפים ונקבל את המשוואה

    1+32\cdot z^{10}=0\Rightarrow z^{10}=-\frac{1}{32}=\frac{1}{32}\cdot (-1)=\frac{1}{32}\cdot cis\pi

    נקבל משוואה ממעלה עשירית שנוח לפתור אותה לפי משפט מואבר. שים לב מתקבלים 10 פתרונות שפותרים את המשוואה ממעלה עשירית
    אך שניים הם אינם פותרים את המשוואה ממעלה שמינית(שיש לה 8 פתרונות) ועלינו להוציא אותם

    במקרה שלנו R=\frac{1}{32}, arg=\pi

    לפי משפט מואבר
    הפתרונות הם:
    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{3\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{5\pi }{10}

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{7\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{9\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{11\pi }{10}

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{13\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{15\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{17\pi }{10}

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{19\pi }{10}


    שים לב ישנם שני פתרונות

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{5\pi }{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{\pi }{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot i

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{15\pi }{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis(1.5\cdot \pi) =-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot i



    שכמו שצוין בהתחלה אינם פותרים את המשוואה ממעלה שמינית

    נקבל איפה שכל שמונת הפתרונות של המשוואה הם:



    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{3\pi }{10}


    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{7\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{9\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{11\pi }{10}



    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{13\pi }{10},\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{17\pi }{10}

    \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cis\frac{19\pi }{10}

    נבדוק אילו שורשים הארגומנט שלהם בין 50 מעלות ל-130 מעלות
    \frac{\pi }{10} = 18^{\circ }, \frac{3\pi }{10} = 54^{\circ }


    \frac{7\pi }{10} = 126^{\circ }


    יש לנו עד עכשיו שני שורשים שמקיימים את המבוקש

    השורש הבא הוא
    \frac{9\pi }{10} = 162^{\circ }>130^{\circ }

    מספר השורשים שהארגומנט שלהם בין 50 ל-130 מעלות הוא 2

    במידה וישנן הערות/הארות אפשר להוסיף לאשכול

    בברכה,
    עמוס
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 18-05-2018 בשעה 12:25
    אהבתי hedwig, מיכאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    הבנתי, תודה רבה.

  4. #4
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    פתרון מקסים עמוס !

    אפשר גם לפתור את זה אלגברית עם הצבות וגורמים משותפים, אבל לא הכי טריוויאלי או יפה..

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 8

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו