מציג תוצאות 1 עד 9 מתוך 9

אשכול: משיק לאליפסה

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משיק לאליפסה
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    שלום,
    אני סטודנטית להוראה בבר אילן ובאחד המבחנים משנים קודמות הופיעה השאלה הבאה. אשמח אם מישהו יוכל לסייע.

    דרך הנקודה P שעל האליפסה עובר משיק לאליפסה.
    הוכח: הישר המחבר את P לראשית הצירים חוצה כל מיתר המקביל למשיק.

    תודה רבה

  2. #2
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    בהינתן האליפסה קנונית : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $

    על ידי הצבה $ x'=ax \ , \ y'=by $ אנחנו עוברים למעגל $ x'^2+y'^2=1 $ כעת, הישר המחבר את P לראשית הצירים הוא רדיוס. רדיוס ומשיק אנכיים זה לזה, ומכיוון שנתון שהמיתר מקביל למשיק הרי שהרדיוס גם אנך למיתר, ולכן חוצה אותו.

    כעת אם נחזור לאליפסה הישר המחבר את P לראשית עדיין חוצה את המיתר שהרי האליפסה והמעבר חזרה הוא סימטרי לחלוטין.

  3. #3
    הסמל האישי שלBogri74 מדריך ויועץ בכיר חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    אהבתי אריאל, אוהב לוי אהב \ אהבו את התגובה
     

  4. #4
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    קודם כל תודה לשניכם!
    האם קיימת דרך לפתרון מבלי לכווץ את האליפסה למעגל?
    תודה רבה ושבת שלום
    אהבתי משיק לאליפסהיהורם אהב \ אהבו את התגובה
     

  5. #5
    הסמל האישי שלBogri74 מדריך ויועץ בכיר חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    אהבתי אוהב לוי אהב \ אהבו את התגובה
     

  6. #6
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה רבה! תוכל לפתור עד הסוף? לא הבנתי איך אני מגיעה לשיוויון המבוקש...

  7. #7
    הסמל האישי שלBogri74 מדריך ויועץ בכיר חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    אהבתי משיק לאליפסהam12348, אוהב לוי אהב \ אהבו את התגובה
     

  8. #8
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל משיק לאליפסה - דרך נוספת להוכחה

    שלום רב,

    רצ"ב דרך נוספת להוכחת המבוקש:

    משוואת האליפסה הקנונית היא מהצורה:
    $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

    a אורך הציר הראשי ו-b אורך הציר המשני

    ניתן לבטא כל נקודה על האליפסה בצורה פרמטרית:
    $x(\alpha)=a \cdot cos\alpha, y(\alpha)=b \cdot sin \alpha$



    כאשר אלפא זאת הזווית שיוצר רדיוס הנקודה - הקו המחבר את ראשית הצירים עם הנקודה) בינו לבין ציר x

    $0\leq\alpha\leq 2\pi$

    רעיון ההוכחה אם כן הוא בצורה הבאה:

    אם המשיק מקביל לציר x, אז הוא משיק בנקודה

    $(0,\pmb)$
    הטענה ברורה.

    נניח שמרחק המשיק במקביל מציר x הוא |d|.(ממשי) נמצא את שיעורי ה- x של הנקודות בהינתן שיעור ה-y ונקבל את שיעור נקודת ה-x שהם מהצורה:
    $y=d \to x=\pm e$

    כאשר e הוא ממשי והטענה ברורה מרחק שתי נקודות החיתוך מציר ה-y המחבר את המשיק עם נקודת ההשקה הוא e

    כמו כן אם המשיק מקביל לציר y , אז הוא משיק בנקודה

    $(\pm a,0)$

    ומרחקו משם הוא |d|. נציב
    $x=d$



    ונקבל

    $x=d\to y=\pm e$

    כאשר e הוא ממשי והטענה ברורה מרחק שתי נקודות החיתוך מציר ה-x המחבר את המשיק עם נקודת ההשקה הוא e

    נניח שלא כך הדבר, כלומר המשיק יוצר זווית לא ישרה עם הצירים.

    - נבחר נקודה כלשהיא על האליפסה. נביע את נקודת ההשקה בצורה פרמטרית כמתואר לעיל.

    - נבטא את שיפוע המשיק בנקודה

    לדוגמא המחצית העליונה של האליפסה מתארת את הפונקציה:
    $y=+ \frac{b}{a }\sqrt{a^2-x^2}$

    שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת של נקודת ההשקה בנקודה(בצורה פרמטרית)
    $y'= -\frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^2-x^2} \to -\frac{b}{a} \cdot \frac{cos \alpha_0}{ sin \alpha_0}$



    כאשר
    $(x_0(\alpha), y_0(\alpha))=(a \cdot cos \alpha_0, b \cdot cos \alpha_0)$


    הינה נקודת ההשקה

    אין לנו בעייה עם הגדרת הנגזרת, שכן המשיק אינו מקביל לצירים ובפרט לא לציר x

    - נביע את משוואת הישר המקשר בין מרכז האליפסה לנקודת ההשקה
    $y=\frac{y_0(\alpha_0))}{x_0(\alpha_0)}= \frac{b}{a} \cdot \frac{sin \alpha_0}{ cos \alpha_0} x$




    - ניקח ישר כלשהוא המקביל למשיק. נבטא את נקודות החיתוך של הישר עם האליפסה בצורה פרמטרית:
    $(a \cdot cos \beta, b \cdot sin \beta) , (a \cdot cos \gamma, b \cdot sin \gamma)$

    - עקב ההקבלה למשיק שיפועו הוא כשל המשיק

    - נבטא את נקודת האמצע בישר המקביל

    $x_m=\frac{a \cdot cos \beta+a \cdot cos \gamma}{2}, y_m=\frac{a \cdot sin \beta+a \cdot sin \gamma}{2}$

    - ע"י מניפולציות המתוארות בדף מראים שנקודת האמצע הזאת נמצאת על הישר:
    $y= \frac{b}{a} \cdot \frac{sin \alpha_0}{ cos \alpha_0} x$


    כאשר a=b יש לנו מעגל שרדיוסו a ואפשר להוכיח את הטענה בדרך גאומטרית רגילה כמו שנכתב באחת התגובות הקודמות

    בברכה

    עמוס

    משיק לאליפסה 1.jpg

    משיק לאליפסה 2.jpg


    משיק לאליפסה 3.jpg

    משיק לאליפסה 4.jpg
    נערך לאחרונה על ידי am12348, 07-06-2019 בשעה 15:05
    אהבתי אוהב לוי, משיק לאליפסהיהורם אהב \ אהבו את התגובה
     

  9. #9
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה רבה לשניכם
    חג שמח

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 10

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו