מציג תוצאות 1 עד 6 מתוך 6

אשכול: מציאת נק' קיצון

  1. #1
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל מציאת נק' קיצון
    שם הספר במתמטיקה: לא מספר \ מדף עבודה \ אחר

    היי,
    יש לי את הפונקציה f(x)=lnxSin$ \pi $x
    ואני צריך למצוא לה נק' קיצון.
    גזרתי השוותי לאפס ונתקעתי.

    sin($ \pi $x)/(x + 1) + $ \pi $ln(x + 1) cos($ \pi $x)=0

    אשמח לעזרה

  2. #
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    שלום

    הפונקציה
    $ln(x+1) \cdot sin(\pi x)$



    מוגדרת לכל x בקרן
    $(-1,\infty)$

    בקטע החצי פתוח
    $(-1,0]$

    הפונקציה גדולה שווה ל-0, שכן הלוגריתם בקטע זה שלילי והסינוס גם שלילי. מכפלת שתי הפונקציות ששתיהן שליליות בקטע נותנת תוצאה חיובית



    יתר על כן היא רציפה בה. החל מ-x=0 הפונקציה משנה סימן כל קטע באורך 1. בהתאם לסימן

    $sin(\pi x)$
    כלומר בקטע
    $x \in [0,1] f(x)\geq0$
    $x \in [1,2] f(x)\leq0$
    $x \in [2,3] f(x)\geq0$
    $x \in [3,4] f(x)\leq0$
    ....

    וכך הלאה



    מכאן שחייבים להיות קטעים בהם הפונקציה עולה וקטעים בהם הפונקציה יורדת. היות והפונקציה רציפה היא חייבת לקבל "מינימומים" ו"מקסימומים"

    כדי למצוא את נקודות הקיצון, גוזרים ומשווים ל-0
    $f'(x)=\frac{sin(\pi x)}{x+1}+\pi \cdot ln(x+1) \cdot cos(\pi x)=0

    את כל הנקודות החשודות כקיצון לא תוכל לחשב באופן מדויק, שכן כמו שציין אריאל לא ניתן לפתור אלגברית את המשוואה הנ"ל

    אבל אם נגביל את התחום לקטע מסביב ל-0, אם נציב 0 בנגזרת, נקבל שהא מקבלת 0, ולכן x=0 חשוד כנקודת קיצון.

    כדי לקבוע את טיב הנקודה, נדגום ערכים מימין ומשמאל ל-0

    ראשית
    $f(0)=ln(0+1) \cdot sin(\pi \cdot 0)=ln1 \cdot sin0=0$

    ראינו קודם שמשמאל ל-0 הפונקציה חיובית(גדולה מ-0) בקטע פתוח
    $x \in (-1,0) f(x)>0$



    וכן היא חיובית מימין ל-0

    $x \in (0,1) f(x)>0$

    כלומר ב-(0,0) יש לפונקציה מינימום

    בברכה
    אהבתי אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  3. #2
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    הנגזרת לא נכונה, זאת הנגזרת:

    $$\frac{\sin\left(\pi x\right)}{x}+\pi\cos\left(\pi x\right)\cdot\ln\left(x\right)$$

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    תחת ההנחה שזאת הפונקציה: (לא שמת סוגריים):
    $$f\left(x\right)=\ln\left(x\right)\sin\left(\pi x\right)$$

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

    אם הפונקציה היא:
    $$f\left(x\right)=\ln\left(x\sin\left(\pi x\right)\right)$$
    אזי הנגזרת יוצאת $$\frac{\sin\left(\pi x\right)+\pi x\cos\left(\pi x\right)}{x\sin\left(\pi x\right)}$$
    ואז
    $$\sin\left(\pi x\right)+\pi x\cos\left(\pi x\right)=0$$
    היות ו-$\cos\left(\pi x\right)\neq 0$ (כלומר אין פתרונות שמקיימים זאת) נחלק ב-$\cos\left(\pi x\right)$ ונקבל
    $$\tan\left(\pi x\right)+\pi x=0\Longrightarrow \tan\left(\pi x\right)=-\pi x$$
    מכאן אני משאיר לך.

  4. #3
    משתמש רשום משתמש מתחיל

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תודה על התשובה אבל בעצם הנגזרת נכונה טעיתי בלכתוב את הפונקציה..
    הפונקציה הנכונה היא: . $x \pi $f(x)=ln(x+1)sin

  5. #4
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אתה לא יכול לפתור את המשוואה הזאת בצורה אלגברית,

    תרשום כאן את כל התרגיל, ייתכן ואתה מפספס משהו?

  6. #5
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    התשובה הטובה ביותר

    ברירת מחדל

    שלום

    הפונקציה
    $ln(x+1) \cdot sin(\pi x)$



    מוגדרת לכל x בקרן
    $(-1,\infty)$

    בקטע החצי פתוח
    $(-1,0]$

    הפונקציה גדולה שווה ל-0, שכן הלוגריתם בקטע זה שלילי והסינוס גם שלילי. מכפלת שתי הפונקציות ששתיהן שליליות בקטע נותנת תוצאה חיובית



    יתר על כן היא רציפה בה. החל מ-x=0 הפונקציה משנה סימן כל קטע באורך 1. בהתאם לסימן

    $sin(\pi x)$
    כלומר בקטע
    $x \in [0,1] f(x)\geq0$
    $x \in [1,2] f(x)\leq0$
    $x \in [2,3] f(x)\geq0$
    $x \in [3,4] f(x)\leq0$
    ....

    וכך הלאה



    מכאן שחייבים להיות קטעים בהם הפונקציה עולה וקטעים בהם הפונקציה יורדת. היות והפונקציה רציפה היא חייבת לקבל "מינימומים" ו"מקסימומים"

    כדי למצוא את נקודות הקיצון, גוזרים ומשווים ל-0
    $f'(x)=\frac{sin(\pi x)}{x+1}+\pi \cdot ln(x+1) \cdot cos(\pi x)=0

    את כל הנקודות החשודות כקיצון לא תוכל לחשב באופן מדויק, שכן כמו שציין אריאל לא ניתן לפתור אלגברית את המשוואה הנ"ל

    אבל אם נגביל את התחום לקטע מסביב ל-0, אם נציב 0 בנגזרת, נקבל שהא מקבלת 0, ולכן x=0 חשוד כנקודת קיצון.

    כדי לקבוע את טיב הנקודה, נדגום ערכים מימין ומשמאל ל-0

    ראשית
    $f(0)=ln(0+1) \cdot sin(\pi \cdot 0)=ln1 \cdot sin0=0$

    ראינו קודם שמשמאל ל-0 הפונקציה חיובית(גדולה מ-0) בקטע פתוח
    $x \in (-1,0) f(x)>0$



    וכן היא חיובית מימין ל-0

    $x \in (0,1) f(x)>0$

    כלומר ב-(0,0) יש לפונקציה מינימום

    בברכה
    אהבתי אריאל אהב \ אהבו את התגובה
     

  7. #6
    מדריך ויועץ חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שלום רב,

    נתבונן על גרף הפונקציה:

    $f(x)=ln(x+1)\cdot sin(\pi x)$

    תחום ההגדרה:
    $(-1,\infty)$



    [GRAPH]log(x+1)* sin(pi *x),-10:10,-20:20[/GRAPH]


    שים לב שיש אינסוף נקודות קיצון בין כל שתי נקודות בהן הפונקציה מתאפסת. הפונקציה מתאפסת כל x טבעי או 0.

    סוג הנקודה(מינימום/מקסימום) תלוי בסימן של הסינוס באותו קטע. סימן חיובי - מקסימום, סימן שלילי -מינימום.

    אתה לא יכול לחשב במדויק(פתרון משוואה בצורה אלגברית) כמעט את כל הנקודות אלא באופן מקורב

    - - - - - - הודעה נוספת - - - - - -
    נערך לאחרונה על ידי אריאל, 12-07-2019 בשעה 09:02

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 10

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו