מציאת נק' קיצון

[litaln7]

היי,
יש לי את הפונקציה f(x)=lnxSin$ \pi $x
ואני צריך למצוא לה נק' קיצון.
גזרתי השוותי לאפס ונתקעתי.

sin($ \pi $x)/(x + 1) + $ \pi $ln(x + 1) cos($ \pi $x)=0

אשמח לעזרה

[am12348]

שלום

הפונקציה
$ln(x+1) \cdot sin(\pi x)$



מוגדרת לכל x בקרן
$(-1,\infty)$

בקטע החצי פתוח
$(-1,0]$

הפונקציה גדולה שווה ל-0, שכן הלוגריתם בקטע זה שלילי והסינוס גם שלילי. מכפלת שתי הפונקציות ששתיהן שליליות בקטע נותנת תוצאה חיובית



יתר על כן היא רציפה בה. החל מ-x=0 הפונקציה משנה סימן כל קטע באורך 1. בהתאם לסימן

$sin(\pi x)$
כלומר בקטע
$x \in [0,1] f(x)\geq0$
$x \in [1,2] f(x)\leq0$
$x \in [2,3] f(x)\geq0$
$x \in [3,4] f(x)\leq0$
....

וכך הלאה



מכאן שחייבים להיות קטעים בהם הפונקציה עולה וקטעים בהם הפונקציה יורדת. היות והפונקציה רציפה היא חייבת לקבל "מינימומים" ו"מקסימומים"

כדי למצוא את נקודות הקיצון, גוזרים ומשווים ל-0
$f'(x)=\frac{sin(\pi x)}{x+1}+\pi \cdot ln(x+1) \cdot cos(\pi x)=0

את כל הנקודות החשודות כקיצון לא תוכל לחשב באופן מדויק, שכן כמו שציין אריאל לא ניתן לפתור אלגברית את המשוואה הנ"ל

אבל אם נגביל את התחום לקטע מסביב ל-0, אם נציב 0 בנגזרת, נקבל שהא מקבלת 0, ולכן x=0 חשוד כנקודת קיצון.

כדי לקבוע את טיב הנקודה, נדגום ערכים מימין ומשמאל ל-0

ראשית
$f(0)=ln(0+1) \cdot sin(\pi \cdot 0)=ln1 \cdot sin0=0$

ראינו קודם שמשמאל ל-0 הפונקציה חיובית(גדולה מ-0) בקטע פתוח
$x \in (-1,0) f(x)>0$



וכן היא חיובית מימין ל-0

$x \in (0,1) f(x)>0$

כלומר ב-(0,0) יש לפונקציה מינימום

בברכה

[ThePrince]

הנגזרת לא נכונה, זאת הנגזרת:

$$\frac{\sin\left(\pi x\right)}{x}+\pi\cos\left(\pi x\right)\cdot\ln\left(x\right)$$

- - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

תחת ההנחה שזאת הפונקציה: (לא שמת סוגריים):
$$f\left(x\right)=\ln\left(x\right)\sin\left(\pi x\right)$$

- - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

אם הפונקציה היא:
$$f\left(x\right)=\ln\left(x\sin\left(\pi x\right)\right)$$
אזי הנגזרת יוצאת $$\frac{\sin\left(\pi x\right)+\pi x\cos\left(\pi x\right)}{x\sin\left(\pi x\right)}$$
ואז
$$\sin\left(\pi x\right)+\pi x\cos\left(\pi x\right)=0$$
היות ו-$\cos\left(\pi x\right)\neq 0$ (כלומר אין פתרונות שמקיימים זאת) נחלק ב-$\cos\left(\pi x\right)$ ונקבל
$$\tan\left(\pi x\right)+\pi x=0\Longrightarrow \tan\left(\pi x\right)=-\pi x$$
מכאן אני משאיר לך.

[litaln7]

תודה על התשובה אבל בעצם הנגזרת נכונה טעיתי בלכתוב את הפונקציה..
הפונקציה הנכונה היא: . $x \pi $f(x)=ln(x+1)sin

[אריאל]

אתה לא יכול לפתור את המשוואה הזאת בצורה אלגברית,

תרשום כאן את כל התרגיל, ייתכן ואתה מפספס משהו?

[am12348]

שלום

הפונקציה
$ln(x+1) \cdot sin(\pi x)$



מוגדרת לכל x בקרן
$(-1,\infty)$

בקטע החצי פתוח
$(-1,0]$

הפונקציה גדולה שווה ל-0, שכן הלוגריתם בקטע זה שלילי והסינוס גם שלילי. מכפלת שתי הפונקציות ששתיהן שליליות בקטע נותנת תוצאה חיובית



יתר על כן היא רציפה בה. החל מ-x=0 הפונקציה משנה סימן כל קטע באורך 1. בהתאם לסימן

$sin(\pi x)$
כלומר בקטע
$x \in [0,1] f(x)\geq0$
$x \in [1,2] f(x)\leq0$
$x \in [2,3] f(x)\geq0$
$x \in [3,4] f(x)\leq0$
....

וכך הלאה



מכאן שחייבים להיות קטעים בהם הפונקציה עולה וקטעים בהם הפונקציה יורדת. היות והפונקציה רציפה היא חייבת לקבל "מינימומים" ו"מקסימומים"

כדי למצוא את נקודות הקיצון, גוזרים ומשווים ל-0
$f'(x)=\frac{sin(\pi x)}{x+1}+\pi \cdot ln(x+1) \cdot cos(\pi x)=0

את כל הנקודות החשודות כקיצון לא תוכל לחשב באופן מדויק, שכן כמו שציין אריאל לא ניתן לפתור אלגברית את המשוואה הנ"ל

אבל אם נגביל את התחום לקטע מסביב ל-0, אם נציב 0 בנגזרת, נקבל שהא מקבלת 0, ולכן x=0 חשוד כנקודת קיצון.

כדי לקבוע את טיב הנקודה, נדגום ערכים מימין ומשמאל ל-0

ראשית
$f(0)=ln(0+1) \cdot sin(\pi \cdot 0)=ln1 \cdot sin0=0$

ראינו קודם שמשמאל ל-0 הפונקציה חיובית(גדולה מ-0) בקטע פתוח
$x \in (-1,0) f(x)>0$



וכן היא חיובית מימין ל-0

$x \in (0,1) f(x)>0$

כלומר ב-(0,0) יש לפונקציה מינימום

בברכה

[am12348]

שלום רב,

נתבונן על גרף הפונקציה:

$f(x)=ln(x+1)\cdot sin(\pi x)$

תחום ההגדרה:
$(-1,\infty)$



[GRAPH]log(x+1)* sin(pi *x),-10:10,-20:20[/GRAPH]


שים לב שיש אינסוף נקודות קיצון בין כל שתי נקודות בהן הפונקציה מתאפסת. הפונקציה מתאפסת כל x טבעי או 0.

סוג הנקודה(מינימום/מקסימום) תלוי בסימן של הסינוס באותו קטע. סימן חיובי - מקסימום, סימן שלילי -מינימום.

אתה לא יכול לחשב במדויק(פתרון משוואה בצורה אלגברית) כמעט את כל הנקודות אלא באופן מקורב

- - - - - - הודעה נוספת - - - - - -