נק' מפגש התיכונים

[amit.rechavia]

היי,
אני ידוע שאפשר לחשב את נקודת מפגש התיכונים ע"י ממוצע של קודקודי המשולש,
האם אפשר להשתמש בנוסחה זו בבגרות או שיש צורך להוכיח אותה?
אם כן, כיצד מוכיחים?
תודה

[itayh2002]

לפי מה שאני יודע, אסור להשתמש בזה ישר (יכול להיותש אני טועה).
מה שבטוח, אפשר להראות זאת ממש בקלות על־ידי הנוסחה של חלוקת קטע ביחס נתון
(תגדיר 3 קדקודים, תביע אמצע של אחת הצלעות ואז בעזרת חלוקת קטע ביחס נתון תגיע לשיעורי מפגש התיכונים).

[מיכאל]

פתרון

[avi500]

הוכחה על סמך גיאומטריה אנליטית בלבד (ללא שימוש בתכונה הגיאומטרית שנקודת המפגש מחלקת את התיכונים ביחס של 1:2):

יהיו
$
A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)
$
קדקדי המשולש
אזי אמצעי הצלעות הם:
$
D \big(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\big)
\\
E \big(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\big)
\\
F \big(\frac{x_3+x_1}{2}, \frac{y_3+y_1}{2}\big)
$
בשימוש בנוסחת הישר העובר בין שתי נקודות, משוואת התיכון AE היא:
$
\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_1-(y_2+y_3)/2}{x_1-(x_2+x_3)/2}
$
או
$
\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{ 2y_1-y_2-y_3}{2x_1-x_2-x_3}
$
ובאותה דרך משוואת התיכון CD היא:
$
\frac{y-y_3}{x-x_3}=\frac{ 2y_3-y_2-y_1}{2x_3-x_2-x_1}
$
על ידי הצבה ישירה (ללא צורך בפתרון המשוואות), מקבלים מייד שהנקודה
$ P(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})
$
משותפת לשני התיכונים

[amit.rechavia]

תודה רבה על העזרה,
אפשר לנמק כמו שמיכאל עשה?
אני רק צריך לעשות הוכחה 'צדדית' לזה?

[avi500]

כמובן - אתה יכול להשתמש בכל הנמקה שמשתמשת בעובדות גיאומטריות