הוכחה בהסתברות

[Rachnaev]

היי, אפשר בבקשה עזרה בתרגיל אני לא מצליח להבין מה לעשות
תודה מראש

- תשובות סופיות -
הכל זה הוכחה

[אריאל]

ב. לפי נוסחת בייס ( הוכחה שלה כאן https://www.emath.co.il/maagar/uploa...aseFormula.pdf )

$$ P(A/B) = \frac{ P(B / A ) P(A)} { P(B) } $$

עכשיו רק להציב $ P (A/B) = P(A) $ ומקבלים : $ P(B/A) = P(B) $

[am12348]

שלום רב

הטענה הבאה נכונה

$p(A \cap B \cap C)= p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)$

הוכחה:

נוכיח קודם

אם נתון לדוגמא

$p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B)$
כאשר A ו-B מאורעות כלשהם, אז המאורעות בלתי תלויים

$p(A \cap B)=p(A) \cdot p(B{/}A)$

$ִ\downarrowִ$

$p(A) \cdot p(B{/}A) = p(A) \cdot p(B) \to p(B{/}A)= p(B)$

הסתברות מאורע B אינה תלויה בהסתברות מאורע A. לכן הם בלתי תלויים

מכאן ומהנתון נובע שגם כל יתר זוגות המאורעות B,C A,C הם בלתי תלויים

נוכיח את נכונות הטענה
$p(A \cap B \cap C)=p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)$

לפי הגדרת הסתברות חיתוך מאורעות:
$p(A \cap B \cap C)=p(A \cap (B \cap C))=p(A) \cdot p((B \cap C){/}A)$

הראינו בהתחלה שהמאורעות B ו-C אינם תלויים במאורע A ולכן גם החיתוך שלהם אינו תלוי במאורע A. מכאן:

$p((B \cap C){/}A)=p(B \cap C)$
$\downarrow$
$p(A \cap B \cap C)=p(A \cap (B \cap C))=p(A) \cdot p((B \cap C){/}A)=p(A) \cdot p(B \cap C)$

-אבל נתון ש
$ p(B \cap C)=p(B) \cdot p(C)$
ולכן

$p(A) \cdot p(B \cap C)=p(A) \cdot p(B) \cdot p(C)$

מש"ל