מקומות גיאומטריים

**ווו** · 24-03-2012, 16:26

1. נתונה המשוואה
$ax^2+by^2+(2a-b)x=a^3$
א. אילו תנאים צריכים לקיים הפרמטרים a ו-b ע"מ שהמשוואה תייצג:
1) מעגל - (הצלחתי התשובה $a=b\neq 0$
2) אליפסה - (הצלחתי התשובה לא משנה)
3) פרבולה (הצלחתי התשובה לא משנה).
ב. עבור הערכים שהתקבלו בסעף א' - רשום את משוואת האליפסה והפרבולה המתאימות. - את זה לא הצלחתי .
תודה מראש

**אריאל** · 24-03-2012, 19:32

סעיף א' + ב' 1

אם הבנתי נכון הם רק רוצים שתעביר את זה לצורה של אליפסה \ מעגל \ פרבולה .

מעגל

למשל בסעיף א' , במעגל בהכרח המקדמים של x^2 ו y^2 צריכים להיות שווים ושונים מאפס לכן נדרוש $ a=b \neq 0 $ נציב :

$$ ax^2+ay^2+ax=a^3 $$

$$ x^2+x+y^2=a^2 $$

$$ (x+0.5)^2-0.25+y^2=a^2 \\ (x+0.5)^2+y^2=a^2+0.25 $$

אליפסה

באליפסה אין ביטוי שהוא מהצורה Ax ולכן המקדם של x חייב להתאפס :

$$ 2a-b = 0 \\ b=2a $$

וכמובן שגם $ b \neq 0 $

נציב :

$$ ax^2+2ay^2=a^3 \\ \frac{x^2}{2}+y^2=\frac{a^2}{2} $$

פרבולה

במשוואת הפרבולה אין ביטוי מהצורה $ Ax^2 $ ויש רק y^2 ולכן המקדם של איקס בריבוע חייב להתאפס ושל וואי בריבוע לא : $ a=0 \ , \ b \neq 0 $

נציב :

$$ by^2+(2a-b)x=a^3 \\ y^2=-\frac{2a-b}{b} x +\frac{a^3}{b} = x+0 \\ y^2=x$$

ניתן לקרוא פה עוד :

אליפסה – Emath Wiki

משוואת פרבולה – Emath Wiki

פתרון סעיף ב' 3

נציב את משוואת הפרבולה שמצאנו ( את $ y^2 $ ) במשוואת המעגל :

$$ (x+0.5)^2+x = a^2 +0.25 $$

אבל על הפרבולה אמרנו כבר שבהכרח מתקיים $ a=0 $ לכין נציב :

$$ (x+0.5)^2+x = 0.25 \\

x=0,-2 \to (0,0) \ , \ (-2,4) $$

כעת, בנקודת ההשקה חייב להיות לפרבולה ולמעגל אותו משיק אם הם משיקים אחד לשני.

שיפוע המשיק אפשר למצוא על ידי נגזרת סתומה, של הפרבולה : $ 2yy'=1 \to y'=\frac{1}{2y} $

שיפוע של משיק למעגל : $ 2(x+0.5) \cdot 1 +2yy'=0 \to y'= \frac{x+0.5}{y} $

אם מציבים את שתי הנקודות רואים ש $ y' $ שונה ולכן השיפוע שונה כלומר הפרבולה והמעגל לא משיקים זה לזה.

ניתן גם למצוא את המשיק לפרבולה בנקודות ולהעזר בתנאי השקה למי שזה יותר קל.

**ווו** · 24-03-2012, 19:40

הבעיה שהצלחתי לעשות את זה עבור מעגל ולא עבור אליפסה ופרבולה.

**Elizabet Rozalio** · 07-11-2012, 21:07

מישהו יכול לפתור את סעיף ב 3 (האם קימים ערך של A ו B עבורם הפרבולה משיקה למעגל ? נמק )
תודה רבה

**nushi** · 10-11-2012, 13:48

אפשר פתרון לתרגיל בבקשה?

**bar:)** · 19-02-2013, 18:07

לא הצלחתי את סעיף ג- מישהו יכול לעזור לי בבקשה!
התרגיל המלא הוא:

1. נתונה המשוואה
$ax^2+by^2+(2a-b)x=a^3$

א. אילו תנאים צריכים לקיים הפרמטרים a ו-b ע"מ שהמשוואה תייצג: 1) מעגל 2) אליפסה 3) פרבולה
ב. עבור הערכים שהתקבלו בסעף א':
1)רשום את משוואת האליפסה והפרבולה המתאימות
2)מצא את המרכז ואת הרדיוס של המעגל, את מוקדי האליפסה ואת מוקד הפרבולה שהתקבלו בסעיף הקודם (היעזר בa לפי הצורך)
3) האם קיימים ערכים של a וb עבורם הפרבולה משיקה למעגל? נמק
4) איזה מרובע יוצרים האליפסה ונקודות החיתוך שלה עם ציר הy? נמק
ג. שטח המרובע שיוצרים מוקדי האליפסה שמצאת בסעיף ב' ונקודות החיתוך שלה עם ציר y הוא 8.
1) אחת מנקודות החיתוך של המעגל והפרבולה נמצאת ברביע הראשון. מצא את משוואת המשיק למעגל ומהשיק לפרבולה בנקודה זו.
2) מהו המצב ההדדי בין המעגל והאליפסה במקרה זה?

תשובות:
א. 1) $a=b\neq 0$
2) $b=2a\neq 0$
3) $a=0 , b \neq 0$
ב. 1) המעגל- $(x+0.5)^{2}+y^{2}=a^{2}+0.25$
האליפסה- $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{0.5a^{2}}=1$
הפרבולה- $y^{2}=x$
2) מרכז המעגל $(-0.5,0)$
רדיוס המעגל $\sqrt{a^{2}+0.25}$
מוקדי האליפסה $(\frac{a}{\sqrt{2}},0)$
$(-\frac{a}{\sqrt{2}},0)$

מוקד הפרבולה $(0.25,0)$
3) לא
4) ריבוע
ג. 1) המשיק למעגל $5x+2\sqrt{2}y=14$
המשיק לפרבולה $2\sqrt{2}y=x+2$
2) נחתכים

הדרך פתרון שלי הייתה-
מצאתי את נקודת החיתוך של הפרבולה והמעגל שיצאה לי- $(2,\sqrt{2})$
ואז מצאתי את אורך כל צלע בריבוע, חיפשתי את האורך של a ומצאתי ש $a^{2}=4$
הצבתי בנוסחת משיק למעגל את הנתונים של הa, נק' ההשקה ונקודת מרכז המעגל אבל המשוואה שיצאה לי בסוף היא- $5x+2\sqrt{2}y=6$

לא הבנתי גם איך אמורים לפתור את 2..

תודה לעוזרים! (:

**ccchi12** · 15-03-2013, 19:18

שלום,
אשמח לעזרה בתרגיל זה בסעיפים ב' (3 ו4) ו-ג'.
תודה מראש (:

**bar:)** · 15-03-2013, 22:29

הנה פתרון הכמעט מלא של מה שהצלחתי חוץ מג2:
http://imageshack.us/a/img849/8449/96985983.jpg
http://imageshack.us/a/img42/4232/56698784.jpg

96985983.jpg

56698784.jpg

**ccchi12** · 16-03-2013, 16:43

תודה!

לדעתי לגבי ג'2 מה שצריך לעשות זה "להציב" את האליפסה במעגל וכך מגלים את המצב ההדדי: אם יוצאים ערכי X מסוימים, הם נחתכים (מה שאכן יצא לי), אם לא יוצאים, הם זרים.

**OmriO19** · 02-04-2013, 14:04

אשמח אם מישהו יביא פתרון מלא ונכון לסעיף ג'.

**errel16** · 24-04-2013, 13:23

לא הבנתי מה עשית בסעיף ג' 1) - איך הגעת לנקודת חיתוך?

**yakirbu** · 08-07-2013, 10:00

מישהו יכול לעזור בסעיף ב׳3? לא מובן

**yuval21195** · 08-07-2013, 19:00

can you upload again these photos in better quality?
i cant see anything:(

- - - - - - הודעה נוספת - - - - - -

פורסם במקור על ידי bar:)

הנה פתרון הכמעט מלא של מה שהצלחתי חוץ מג2:
http://imageshack.us/a/img849/8449/96985983.jpg
http://imageshack.us/a/img42/4232/56698784.jpg

can you upload again these photos in better quality?
i cant see anything:(

**sapir1711** · 30-07-2013, 13:09

משהו לא מסתדר לי בא'... בפרבולה, לא צריך גם שהמקדם של X יהיה קטן מאפס (כדי שהוא יהיה גדול מאפס כשמעבירים אותו לצד השני)?

**אהרוני** · 02-04-2014, 23:25

בס"ד

אשמח לעזרה בסעיף. ב)3 והלאה.

תודה!

תפריט

אשכול: מקומות גיאומטריים

הגדרות אשכול

חיפוש באשכול

אפשרויות תצוגה

פרטי משתמש