עמוד 2 מתוך 3 ראשוןראשון 1 2 3 אחרוןאחרון
מציג תוצאות 16 עד 30 מתוך 31

אשכול: אז למה גוזרים כך?

  1. #16
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    השלמה
    1ב. חוקי גבולות בסיסיים (ללא הוכחות).
    במהלך ההוכחות הקודמות, נעשה שימוש במספר חוקי גבולות שונים.
    בסעיף זה, אציין מהם. לא אוכיח אף אחד מהם, כיוון שהדבר כרוך בחומר הנלמד באוניברסיטה ("נגדיר אפסילון קטן כרצוננו..."). בסעיף זה, פשוט אציין מהם.
    א. הגבול של פונקציית הזהות (הפונקציה f(x)=x) שווה לערך הגבול.
    כלומר,
    בהנתן פונקציית הזהות f(x)=x ומספר a אזי:
    \lim_{x\to a}{x}=a

    ב. הגבול של מספר קבוע הוא המספר עצמו.
    כלומר,
    בהנתן זוג מספרים קבועים c ו-a אזי:
    \lim_{x\to a}{c}=c

    ג. הגבול של פונקציה המוכפלת במספר קבוע שווה למכפלת המספר בגבול הפונקציה.
    כלומר,
    בהנתן פונקציה f(x) וזוג מספרים קבועים c ו-a אזי:
    \lim_{x\to a}{c\cdot f(x)}=c\cdot \lim_{x\to a}{f(x)}

    ד. הגבול של סכום או הפרש פונקציות שווה לסכום או ההפרש של הגבול של כל פונקציה בנפרד.
    כלומר,
    בהנתן פונקציות f(x) ו-g(x) ומספר a, אזי:
    \lim_{x\to a}{f(x)\pm g(x)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\pm \lim_{x\to a}{g(x)}

    ה. הגבול של מכפלת פונקציות שווה למכפלת כל אחד מהגבולות בנפרד.
    כלומר,
    בהנתן פונקציות f(x) ו-g(x) ומספר a, אזי:
    \lim_{x\to a}{f(x)\cdot g(x)}=\lim_{x\to a}{f(x)}\cdot \lim_{x\to a}{g(x)}

    ו. הגבול של מנת פונקציות שוות למנת כל אחד מהגבולות בנפרד.
    כלומר,
    בהנתן פונקציות f(x) ו-g(x) ומספר a, אזי:
    \lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}{f(x)}}{\lim_{x\to a}{g(x)}

    מקווה שכרגע ההוכחות ברורות יותר.
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  2. #17
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ח. הנגזרת של פונקציית הלוגוריתם הטבעי
    הנגזרת של ln(x) היא אחת מהנגזרות השימושיות ביותר במתמטיקה. מדהים לחשוב כיצד נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגוריתמים משתלבים עם נגזרות של פונקציות בלי מעריך או לוגוריתמים.
    כשמתחילים ללמוד אינטגרלים (בערך בכיתה יא',אצלי) נתקלים בנוסחת האינטגרציה הפשוטה ביותר עבור חזקות:
    \int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c, ובתנאי ההכרחי: n\neq -1. רק בכיתה יב' מצליחים לגלות את אותו האינטגרל, שמגיע מתחום אחר לחלוטין במתמטיקה.

    נוכיח את הנגזרת של הלוגוריתם הטבעי (ln) בכמה דרכים:
    דרך א':
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת.
    תהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=ln(x),ונרצה למצוא את נגזרתה.
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{z(x_1+h)-z(x_1)}{h}
    נציב את הפונקציה z(x):
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{ln(x_1+h)-ln(x_1)}{h}
    נעזר בחוקי הלוגוריתמים, ונקבל:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{ln(\frac{x_1+h}{x_1})}{h}
    נפרק את השבר המופיע בתוך פונקציית הln לשני שברים, בצורה הבאה:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{ln(1+\frac{h}{x_1})}{h}
    וכעת, נפרק את השבר הגדול למכפלה:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\fra{1}{h}\cdot ln(1+\frac{h}{x_1})}
    ובעזרת חוקי לגוריתמים:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{ln[(1+\frac{h}{x_1})^{\frac{1}{h}}}]
    נעלה את הביטוי בסוגריים המעוגלים בתוך פונקציית הln בחזקה הבאה, ונוציא שורש של אותה החזקה-כך למעשה לא נשנה את ערך הפונקציה (לזכור! שורש הוא ההופכי של אותה החזקה)
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{ \ln[(({1+\frac{h}{x_1})^{x_1}})^{\frac{1}{h}})^{\frac{1}{x_1}}] }
    נוציא את החזקה החיצונית מהלוגוריתם, בהתבסס על חוקי לוגוריתמים.
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{1}{x_1}\cdot ln[((1+\frac{h}{x_1})^{x_1})^{\frac{1}{h}}]}
    נסדר כעת, בהסתמך על חוקי חזקות:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{1}{x_1}\cdot ln[(1+\frac{h}{x_1}})^{\frac{x_1}{h}}]
    נסמן:
    \frac{x_1}{h}=m. אם h\to 0, אז m\to \infty.
    לכן,
    z'(x)=\lim_{m\to \infty}{\frac{1}{x_1}\cdot ln[(1+\frac{1}{m})^{m}]
    נפעיל את הגבול, ונשים לב שהביטוי בתוך הln הוא לא אחר מe...(: מכאן,
    z'(x_1)={\frac{1}{x_1}\cdot ln[e]
    והרי, מעצם של הלוגוריתם הטבעי מתקיים ln(e)=1. מכאן,
    z'(x_1)={\frac{1}{x_1}\cdot 1

    z'(x_1)={\frac{1}{x_1}

    דרך ב':
    נסתמך על הזהות:
    e^{ln(x)}=x

    נגזור את שני האגפים:
    e^{ln(x)}\cdot (ln(x))'=1
    ונבודד את הביטוי (ln(x))':
    (ln(x))'=\frac{1}{e^{ln(x)}}
    כעת מה שנותר זה רק להציב את הזהות שהשתמשנו בה בתחילת ההוכחה, ולקבל:
    (ln(x))'=\frac{1}{x}

    דרך ג':
    בהסתמך על הנגזרת של פונקציה הפוכה (ראה בערך המתאים)

    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    [\ln(f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 04-08-2012 בשעה 16:43
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  3. #18
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ט. נגזרת של פונקציה לוגוריתמית:

    דרך א
    ':
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת.
    תהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=log_{a}{x},ונרצה למצוא את נגזרתה.
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{z(x_1+h)-z(x_1)}{h}
    נציב את הפונקציה z(x):
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{log_{a}{x}(x_1+h)-log_{a}{x}(x_1)}{h}
    נעזר בחוקי הלוגוריתמים, ונקבל:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{log_{a}(\frac{x_1+h}{x_1})}{h}
    נפרק את השבר המופיע בתוך פונקציית ה\log לשני שברים, בצורה הבאה:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{log_{a}(1+\frac{h}{x_1})}{h}
    וכעת, נפרק את השבר הגדול למכפלה:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\fra{1}{h}\cdot log_{a}(1+\frac{h}{x_1})}
    ובעזרת חוקי לגוריתמים:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{log_{a}[(1+\frac{h}{x_1})^{\frac{1}{h}}}]
    נעלה את הביטוי בסוגריים המעוגלים בתוך פונקציית ה\log בחזקה הבאה, ונוציא שורש של אותה החזקה-כך למעשה לא נשנה את ערך הפונקציה (לזכור! שורש הוא ההופכי של אותה החזקה)
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{ \log_{a}[(({1+\frac{h}{x_1})^{x_1}})^{\frac{1}{h}})^{\frac{1}{x_1}}] }
    נוציא את החזקה החיצונית מהלוגוריתם, בהתבסס על חוקי לוגוריתמים.
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{1}{x_1}\cdot log_{a}[((1+\frac{h}{x_1})^{x_1})^{\frac{1}{h}}]}
    נסדר כעת, בהסתמך על חוקי חזקות:
    z'(x)=\lim_{h\to 0}{\frac{1}{x_1}\cdot log_{a}[(1+\frac{h}{x_1}})^{\frac{x_1}{h}}]
    נסמן:
    \frac{x_1}{h}=m. אם h\to 0, אז m\to \infty.
    לכן,
    z'(x)=\lim_{m\to \infty}{\frac{1}{x_1}\cdot log_{a}[(1+\frac{1}{m})^{m}]
    נפעיל את הגבול, ונשים לב שהביטוי בתוך ה\log הוא e...לכן:
    z'(x_1)={\frac{1}{x_1}\cdot log_{a}[e]
    נסתמך על הנוסחא הלוגוריתמים למעבר בסיסים:
    \log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_c{a}}
    נובע ממנה:
    \log_{a}{e}=\frac{\log_{e}{e}}{\log_e{a}}והרי, מעצם הגדרת הלוגוריתם בבסיס e, מתקיים:
    log_e{c}=ln(c).
    לכן,
    \log_{a}{e}=\frac{\ln{e}}{\ln(a)}ועקב הגדרה זאת, מתקיים:
    ln e=1.
    מכאן,
    \log_{a}{e}=\frac{1}{\ln(a)}נציב זאת בנגזרת ונקבל:
    z'(x_1)={\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{ln(a)}

    z'(x_1)={\frac{1}{x_1 ln a}

    דרך ב':
    בהסתמך על הזהות:
    a^{\log_a{x}}=x
    נגזור את שני הצדדים:
    a^{\log_a{x}}\cdot (log_a{x})' \cdot ln(a)=1
    ונבודד את הביטוי (\log_{a}{x})':
    (log_a{x})'=\frac{1}{a^{\log_{a}{x}}\cdot ln(a)}
    והצבה של הזהות המופיעה מעלה תניב:
    (log_a{x})'=\frac{1}{x\cdot ln(a)}

    דרך ג':
    נעזר בנוסחא למעבר בסיסים.
    \log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}
    נציב בה את הצירוף הבא:
    a=a,b=x,c=e
    נקבל:
    \log_a{x}=\frac{\log_e{x}}{\log_e{a}}
    והרי:
    log_e(d)=ln(d)
    לכן,
    \log_a{x}=\frac{\ln{x}}{ln{a}}
    נזכור שln(a) הוא מספר קבוע. על כן, נוכל להוציאו החוצה:
    \log_a{x}=\frac{1}{ln{a}}\cdot ln(x)
    נגזור את שני האגפים:
    (\log_a{x})'=\frac{1}{ln{a}}\cdot \frac{1}{x}
    ונקבל לסיום:
    (\log_a{x})'=\frac{1}{x\cdot ln{a}}

    דרך ד':

    באמצעות הנגזרת של פונקציה הפוכה (ראה בערך המתאים)
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    [log_a{f(x)}]'=\frac{f'(x)}{f(x)\cdot ln(a)}
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 04-08-2012 בשעה 01:02
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  4. #19
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    י. נגזרת של פונקציה בערך מוחלט
    רבים לא יודעים לגזור פונקציה בערך מוחלט- לא מלמדים זאת בתוכנית הלימודים, ואף בחלק מהאוניברסיטאות.
    ולמה? פשוט יותר להשתמש בפונקציה מפוצלת. מהי פונקציה מפוצלת? פונקציה מפוצלת היא פונקציה המכילה כמה וכמה תתי פונקציות, ובכל תחום, מתנהגת אחרת.
    למשל, נוכל להגדיר את הפונקציה הבאה:
    f(x) = \left\{ \begin{array}{rl} -x & \text{if } x < 0,\\ 0 & \text{if } x = 0,\\ x^2+5 & \text{if } x > 0. \end{array} \right.
    שיטה זו יוצר פונקציות חדשות ומדהימות, ועושים בה שימוש רב באוניברסיטאות למען הוכחות שונות.
    ע"פ גישה זאת, נוכל לרשום את פונקציית הערך המוחלט בצורה הבאה:
    |x| = \left\{ \begin{array}{rl} -x & \text{if } x < 0,\\ 0 & \text{if } x = 0,\\ x & \text{if } x > 0. \end{array} \right.
    ולכן, הגזירה שלה תהיה:
    (|x|)' = \left\{ \begin{array}{rl} -1 & \text{if } x < 0,\\ undefined & \text{if } x = 0,\\ 1 & \text{if } x > 0. \end{array} \right.
    אך, ברגע שאנו משתמשים בשיטה זאת, אנו מפסידים, לפי דעתי, את אחת הפונקציות הפשוטות אך החשובות במתמטיקה.
    ישנה דרך לגזור פונקציית ערך מוחלט ללא שימוש בתחום מפוצל ובנוסחא אחת, אותה אוכיח ואציג כאן.

    דרך א':
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת.
    תהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=|x| ונרצה למצוא את נגזרתה.
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת:

    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{z(x)-z(x_1)}{x-x_1}
    נציב את הפונקציה z(x):
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{|x|-|x_1|}{x-x_1}
    נסתמך על הזהות:
    \sqrt{x^2}=|x|
    ונקבל:
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{\sqrt{x^2}-\sqrt{x_1^2}}{x-x_1}
    נכפיל את המונה והמכנה בביטוי (\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}) וכך לא נשנה את ערך הנגזרת.
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{\sqrt{x^2}-\sqrt{x_1^2}}{x-x_1}\cdot \frac{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}
    נשים לב שבמונה מופיעה לנו הנוסחא להפרש ריבועים. מכאן,
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{(\sqrt{x^2})^2-(\sqrt{x_1^2})^2}{x-x_1}\cdot  \frac{1}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{x^2-x_1^2}{x-x_1}\cdot  \frac{1}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}
    נפתח את המונה לפי הנוסחא להפרש ריבועים.
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{(x+x_1)(x-x_1)}{x-x_1}\cdot  \frac{1}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}
    נצמצם את הביטוי (x-x_1) המופיע במונה ובמכנה.
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{x+x_1}{1}\cdot  \frac{1}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}
    ולבסוף, נהפוך את המכפלה לשבר יחיד.
    z'(x)=\lim_{x\to x_1}\frac{x+x_1}{\sqrt{x^2}+\sqrt{x_1^2}}
    נפעיל את הגבול, ונקבל:
    z'(x_1)=\frac{x_1+x_1}{\sqrt{x_1^2}+\sqrt{x_1^2}}

    z'(x_1)=\frac{2x_1}{2\sqrt{x_1^2}}

    z'(x_1)=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2}}
    ובהסתמך על זהות הערך המוחלט, נקבל:
    z'(x_1)=\frac{x_1}{|x_1|}

    דרך ב':
    נסתמך על זהות הערך המוחלט:
    \sqrt{x^2}=|x|
    ונגזור את שני הצדדים.
    \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=(|x|)'

    \frac{x}{\sqrt{x^2}}=(|x|)'

    בהסתמך על הזהות פעם נוספת, ונקבל:
    \frac{x}{|x|}=(|x|)'
    -
    לא יכולתי לחתום את האשכול בדברים הללו, ולא להסביר מעט על פונקציות בערך מוחלט.
    ערך מוחלט (עבור מספרים ממשיים, כלומר,שאינם מרוכבים) הוא המרחק של נקודה על ציר המספרים הממשיים מהראשית,0.
    לפי הגדרה זו, ערך מוחלט של מספר חיובי הוא המספר עצמו, ועבור מספר שלילי-ערך המספר הנגדי לו.
    כלומר, פונקציות בערך מוחלט תמיד יהיו אי שליליות-דבר שיוצר פונקציות מדהימות בצורתן לעיתים (בשביל להדגים את תכונת הערך המוחלט, נסו לצייר, למשל, את הפרבולה y=x^2-5x+6, ואז לצייר את הפונקציה y=|x^2-5x+6|).
    כתוצאה מכך שהחלקים השליליים של הפונקציות עולים מעלה, נוצרות נקודות קיצון חדשות. אלו אינן נקודות קיצון רגילות, אלא הן "חודים". דוגמא מובהקת לכך אפשר לראות בפונקציית הערך המוחלט y=|x|, בו לפונקציה ישנה נקודת קיצון בנקוד (0,0),אך נקודה זאת אינה מאפסת את הנגזרת. החוד נוצר כיוון שפונקציית הערך המוחלט למעשה שילבה בין זוג הפונקציות y=x ו-y=-x,שתי פונקציות המציינות ישרים. הנקודה שנוצרה היא נקודת קיצון, כיוון שהפונקציה יורדת לפניה ועולה אחריה,זוהי נקודת קיצון מינימום.
    תמונה של פונקציית הערך המוחלט:
    differentiability04.png
    נסתכל כעת על הנגזרת של הפונקציה y=|x|. הוכחנו שנגזרת הפונקציה היא y=\frac{x}{|x|}. נהוג במתמטיקה לסמן פונקציה זאת בסימון y=sgn(x),כלומר, פונקציית הסימן (Sign).
    ולמה? כיוון שפונקציה זאת מחזירה "1" לכל ערך חיובי שנכניס בה, ו"1-" לכל ערך שלילי שנכניס בה.
    נוכל אם כך לכתוב את פונקציית הערך המוחלט בצורה הבאה:|x|=xsgn(x).
    מבט חטוף בתחילת ההודעה יראה לנו שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה x=0. ואכן, אם נציב בפונקציית הסימן 0 נקבל \frac{0}{0}.
    רבים יחשבו עכשיו על שני דברים.
    א. זוהי נקודת אי רציפות סליקה, כיוון שאנו מקבלים מצב שבו נקודה מאפסת גם מונה וגם מכנה.
    ב. השימוש בלופיטל יניב לנו את הגבול המבוקש.
    שתי התשובות שגויות. זוהי אינה נקודת אי רציפות סליקה; ואולם אכן אנו מקבלים תנאי המתאים ללופיטל, אך הוא מכריח אותנו לגזור פעם נוספת את פונקציית הערך המוחלט. אם נשתמש בלופיטל, נקבל:
    \frac{1}{\frac{x}{|x|}}=\frac{|x|}{x}, וגם כאן, איננו יכולים למצוא את ערך הפונקציה.
    אם ננסה להשתמש בלופיטל שוב, נקבל
    \frac{1}{\frac{x}{|x|}}=\frac{\frac{x}{|x|}}{1}= \frac{x}{|x|}=sgn(x).
    לכן, אנו צריכים למצוא דרך אחרת.
    הדרך בה נבחר היא לחשב את הגבולות מימין ושמאל לפונקציה בנקודה x=0,
    \lim_{x\to 0^+} \frac{|x|}{x}=1
    \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|}{x}=-1
    המשמעות של הסימון 0^{+} כוונתו מהכיוון החיובי (במקרה הנ"ל, של ציר x), והסימון 0^{-} משמעותו מהכיוון השלילי (במקרה הנ"ל, שלך ציר ה-x).
    כלומר, ישנם שני גבולות שונים בסביבה של הנקודה-דבר שלא יוצר קיצון בפונקציית הערך המוחלט.
    ובפונקציה sgn(x)? עצם זאת שהראינו שסביב הנקודה הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים, יוצר נקודת אי רציפות-אך זוהי אינה נקודת אי רציפות סליקה, אלא נקודת אי רציפות מסדר ראשון ("קפיצה").
    על כן, הפונקציה נראית כך.
    signumfunktion.png
    -
    בהסתמך על נגזרת של פונקציה מורכבת ועל כלל השרשרת מקבלים:
    (|f(x)|)'=\frac{f(x)f'(x)}{|f(x)|}
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  5. #20
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יא. הנגזרת של פונקציה הפוכה
    1. אז מהי פונקציה הפוכה?
    נניח וקיימת הפונקציה f(x). אנו רוצים למצוא מהו הערך עבור אחד המשתנים (לרוב זה y) שאם נציב אותו בפונקציה, נקבל את פונקציית הזהות (כלומר, את הפונקציה f(x)=x).
    למשל, עבור הפונקציה y=\frac{2x+1}{5}, מה תהיה הפונקציה ההפוכה?
    על מנת לענות על הטענה הזו, נצטרך לבצע את הפעולות הבאות (עובד בחלק מהפונקציות. חלק מהפונקציות האחרות דורשות חישוב יותר מורכב, אותו לא אציג כאן)
    לבודד את המשתנה הרצוי:
    5y=2x+1 \\ 5y-1=2x \\ \frac{5y-1}{2}=x
    ב. לסמן את הפונקציה המבוקשת:
    f^{-1}(y)=\frac{5y-1}{2}
    אתם מוזמנים להציב ולראות שאכן הפונקציה הופכת לפונקציה הזהות (:
    לא לכל פונקציה יש פונקציה הפוכה. כדי שלפונקציה תהיה פונקציה הפוכה, חובה עליה למלא את התנאי הבא: עליה להיות חד חד ערכית.
    ולמה הכוונה? הכוונה היא שלכל ערך y של הפונקציה יתאים x יחיד. למשל, הפונקציה f(x)=\frac{1}{x} היא חד חד ערכית, אולם הפונקציה f(x)=x^2 אינה חד חד ערכית (לכל y יש זוג ערכים)).
    במקרה שבו הפונקציה אינה חד חד ערכית, ניתן לעתים להגדיר לה תחום בו היא כן חד חד ערכית. למשל, הפונקציה f(x)=x^2
    היא חד חד ערכית כאשר אנו מדברים על התחומים x>0 ו-x<0 בנפרד.
    ישנן פונקציות שלמרות שהן חד חד ערכיות אין להן פונקציה הפוכה. הדוגמא המובהקת לכך היא פונקציית הזהות, f(x)=x...אם ננסה להחליף את y ו-x,נקבל את אותה הפונקציה.
    ניתן להגדיר אם כך פונקציה הפוכה לפונקציה, אם ההרכבה של זוג פונקציות יוצרת את פונקציית הזהות,כלומר, אם תהיינה זוג פונקציות f(x) ו-g(x) המקיימות את ההרכבה
    (f\circ g)(x)=x, או במילים אחרות, f(g(x))=x,אז שתי הפונקציות הללו יהיו הפוכות זו לזו.

    בהסתמך על סקיצה של פונקציה אחת, ובהנתן הפונקציה ההפוכה לה, אפשר לבנות בקלות את הסקיצה של פונקציה אחרת. הסיבה לכך היא שזוג פונקציות הפוכות סימטריות זו לזו ביחס לישר f(x)=x. אני מצרף כמה סקיצות שימחישו זאת.
    220px-Inverse_Function_Graph.png 10541.nfg012.jpg220px-Inverse_Square_Graph.pngInversePic5.gif

    ישנם דברים מעניינים רבים בפונקציות הפוכות, אך לא נתייחס אליהם כאן-ונבחר בתכונה שימושית מאוד בפונקציות אלה-תכונת הנגזרת.

    2. נגזרת של פונקציה הפוכה:
    תהיינה הפונקציות f^{-1}(x)ו- f(x), ונרצה למצוא תכונה המקשרת בין הנגזרות של הפונקציות.

    בהסתמך על היותן פונקציות הפוכות, הן מקיימות את התנאי הבא:
    f[f^{-1}(x)]=x
    נגזור את שני האגפים:
    f[f^{-1}(x)]'\cdot (f^{-1}(x))'=1
    ונבודד את הביטוי (f^{-1}(x))':
    (f^{-1}(x))'=\frac{1}{f[f^{-1}(x)]'}

    מהי משמעות הביטוי f[f^{-1}(x)]'? משמעותו לגזור את הפונקציה החיצונית, ולהציב במקום x את הפונקציה הפנימית.
    כדאי לשים לב שניתן להשתמש בתכונה זאת רק כאשר אנו יודעים את הנגזרת של אחת הפונקציות, ורק אם אנו יודעים ששתי הפונקציות הפוכות זו לזו.
    מי שהתקשה להבין את הכלל, יבין זאת בעזרת כמה דוגמאות

    3. הוכחת נגזרות באמצעות פונקציה הפוכה:
    א. פונקציית השורש הריבועי:
    הפונקציה ההפוכה לפונקציית השורש הריבועי,\sqrt{x}, היא הפרבולה y=x^2 בתחום x>0.
    נסמן: \sqrt{x}=u, ונגזור בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה:
    (\sqrt{x})'=\frac{1}{(u^2)'}

    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2u}

    והצבה של u, תניב:
    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

    ב. פונקציית הלוגוריתם הטבעי:
    הפונקציה ההפוכה לפונקציית הלוגוריתם הטבעי, \ln(x), היא הפונקציה האקספוננציאלית, y=e^x.
    נסמן: \ln(x)=u, ונגזור בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה:

    (ln(x))'=\frac{1}{(e^u)'}

    (ln(x))'=\frac{1}{e^u}

    והצבה של u, תניב:
    (ln(x))'=\frac{1}{e^{ln{x}}}

    (ln(x))'=\frac{1}{x}
    ג. פונקציית הלוגוריתם:
    הפונקציה ההפוכה לפונקציית הלוגוריתם, \log_a{x}, היא הפונקציה המעריכית, y=a^x.
    נסמן: \log_a{x}=u, ונגזור בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה:

    (\log_a{x})'=\frac{1}{(a^u)'}

    (\log_a{x})'=\frac{1}{a^u\cdot ln(a)}

    והצבה של u, תניב:
    (\log_a{x})'=\frac{1}{a^{\log_a{x}}\cdot \ln(a)}

    (\log_a{x})'=\frac{1}{x \cdot \ln(a)}
    ד. הפונקציות ההפוכות לפונקציות הטריגונומטריות:
    על כך,בהמשך.
    -
    כמו שניתן לראות, הנגזרת של פונקציה הפוכה מספקת לנו כלי יעיל ואפקטיבי למציאת נגזרת של פונקציה, בהנחה שאנו יודעים את הנגזרת של הפונקציה ההפוכה לה. את כל הפונקציות הקודמות הוכחנו ללא שימוש בנגזרת של פונקציה הפוכה, אך בהודעה הבאה,אציג הוכחות שמחייבות שימוש בפונקציה הפוכה, ומראות את היופי והכח של הנגזרת שהוכחנו.
    מי שעדיין לא השתכנע---סבורני שהשתכנע בפוסט הבא.
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 04-08-2012 בשעה 02:35
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  6. #21
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יב. נגזרת של פונקציה טריגונומטרית הפוכה:

    א. אז מהן הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות?

    כל תלמיד, באחד משיעורי הטריגונומטריה הראשונים שלו, לומד לפתור משוואות פשוטות עם הפונקציות הטריגונומטריות,סינוס קוסינוס וטנגנס.
    דוגמא למשוואה פשוטה שמוצגת היא המשוואה הבאה:
    sin(\alpha)=\frac{1}{2}
    המורה מציג/ה משוואה כזו ומסביר שכדי למצוא את הזווית אלפא על התלמידים ללחוץ במחשבון "שיפט" ואז ללחוץ על "סינוס".
    כתוצאה מכך, מוצגת במחשבון התוצאה הבאה: \alpha=30.
    מרבית התלמידים לא מבינים למה, אך הוצג בפניהם פתרון קסם- ועל כן, הטריק שהוצג כאן נקרא "שיפט סינוס" בפי מרבית התלמידים. שאר הפונקציות הטריגונומטריות זכו לכינויים דומים...שיפט קוסינוס ושיפט טנגנס.
    אז מה בעצם קרה כאן?
    במרבית המחשבונים לחיצה על שיפט וסינוס מציגה את הפונקציה הבאה: sin^{-1}-זוהי אינה הפונקציה \frac{1}{sin(x)}, אלא סימון לפונקציה ההפוכה של סינוס (ראה בהודעה הקודמת). מכיוון שפונקציה הפוכה מקיימת בהכרח את התנאי f[g(x)]=x,אז אם נוציא משני אגפי המשוואה המוצגת מעלה את הפונקציה הזו נקבל:
    sin^{-1}(sin(\alpha))=sin^{-1}(\frac{1}{2})
    ולכן, \alpha=sin^{-1}(\frac{1}{2}). זהו למעשה התהליך שאנו עושים כשאנו פותרים משוואה טריגונומטרית (:
    הפונקציה sin^{-1}(x) מכונה "ארקסינוס" (Arcsine), והיא הפונקציה ההפוכה לפונקציית הסינוס.ניתן לסמן את הפונקציה "ארק סינוס" גם בצורות הבאות: arcsin(x)ו- a sin(x),כאשר הסימון השני שכיח יותר במחשבים.
    בצורה דומה, קיימות הפונקציות ארקקוסינוס וארקטנגנס.
    אבל רגע...הפונקציות סינוס,קוסינוס וטנגנס הן פונקציות מחזוריות ולא חד חד ערכיות! אז איך יכול להיות שיש להן פונקציות הפוכות?...
    הסיבה לכך היא שאנו בוחרים מקטע בהם הפונקציות האלו הן חד חד ערכיות...בדיוק כמו שניתן לעשות לפונקציה y=x^2 ע"י כך שמסתכלים על התחום x>0)/

    אני מצרף סקיצות של הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הלקוחות מויקיפדיה:
    440px-Arctangent.svg.png 407px-Arcsin.png200px-Arccos_function.png


    ב. הנגזרת של פונקציה טריגונומטרית הפוכה:
    הנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן אחד הדברים מהדהימים ביותר בגיאומטריה. הסיבה לכך נעוצה שהנגזרות של הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, כלל אינן קשורות לטריגנומטריה (במבט ראשוני (: ). כאשר גזרנו פונקציה טריגנומטרית, קיבלנו פונקציה טריגנומטרית אחרת, או קשר המכיל פונקציה טריגונומטרית. ומה קורה בפונקציות טריגנומטריות הפוכות?
    נשתמש בהוכחה בעזרת הנגזרת של פונקציה הפוכה:
    (f^{-1})'=\frac{1}{[f(f^{-1}(x))]'}

    א. הנגזרת של ארקקוסינוס:

    הפונקציה ההפוכה לפונקציית הארקסינוס, arccos(x), היא פונקציית הקוסינוס, cos(x).
    נסמן:
    arccos(x)=u
    ונגזור בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה:
    (arccos(x))'=\frac{1}{(cos(u))'}

    (arccos(x))'=\frac{1}{-sin(u)}

    נציב את u:

    (arccos(x))'=-\frac{1}{sin(arccos(x))}
    נסתמך על הזהות הפיתגוראית:
    cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)=1
    בהסתמך עליה:
    sin^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha)

    sin(\alpha)=\pm \sqrt{1-cos^2(\alpha)}

    בגלל הגדרת הפונקציה ארקקוסינוס, אנו נבחר בפתרון החיובי. מכאן:
    sin(\alpha)=\sqrt{1-cos^2(\alpha)}
    נציב זאת בנגזרת:
    (arccos(x))'=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2(arccos(x)}}
    נסדר קצת....
    (arccos(x))'=-\frac{1}{\sqrt{1-[cos(arccos(x))]^2}}
    ובהסתמך על הגדרת הארקוסינוס כפונקציה ההפוכה לקוסינוס, נקבל:
    (arccos(x))'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
    בהסתמך על הגדרת הארקסינוס כפונקציה ההפוכה לסינוס, נקבל:
    (arccos(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
    -
    בהסתמך על נגזרת של פונקציה מורכבת ועל כלל המכפלה מקבלים:
    (arccos(f(x)))'=-\frac{f'(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}
    ב. הנגזרת של ארקסינוס:
    הפונקציה ההפוכה לפונקציית הארקסינוס, arcsin(x), היא פונקציית הסינוס, sin(x).
    נסמן:
    arcsin(x)=u
    ונגזור בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה:
    (arcsin(x))'=\frac{1}{(sin(u))'}

    (arcsin(x))'=\frac{1}{cos(u)}

    נציב את u:

    (arcsin(x))'=\frac{1}{cos(arcsin(x))}
    נסתמך על הזהות הפיתגוראית:
    cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)=1
    בהסתמך עליה:
    cos^2(\alpha)=1-sin^2(\alpha)

    cos(\alpha)=\pm \sqrt{1-sin^2(\alpha)}

    בגלל הגדרת הפונקציה ארקסינוס, אנו נבחר בפתרון החיובי. מכאן:
    cos(\alpha)=\sqrt{1-sin^2(\alpha)}
    נציב זאת בנגזרת:
    (arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-cos^2(arccos(x))}}
    נסדר קצת....
    (arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-[cos(arccos(x))]^2}}
    בהסתמך על הגדרת הארקסינוס כפונקציה ההפוכה לסינוס, נקבל:
    (arcsin(x))'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
    -
    בהסתמך על נגזרת של פונקציה מורכבת ועל כלל המכפלה, מקבלים:
    (arcsin(f(x)))'=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}

    ג. הנגזרת של ארקטנגנס:
    הפונקציה ההפוכה לפונקציית הארקטנגנס, arctan(x), היא פונקציית הטנגנס, tan(x).
    נסמן:
    arctan(x)=u
    ונגזור בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה:
    (arctan(x))'=\frac{1}{(tan(u))'}

    (arctan(x))'=\frac{1}{\frac{1}{cos^2(u)}}

    (arctan(x))'=cos^2(u)

    נציב את u:

    (arctan(x))'=cos^2(arctan(x))
    נסתמך על הזהות:
    1+tan^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)}
    נובע ממנה:
    cos^2(\alpha)=\frac{1}{1+tan^2(\alpha)}

    נציב חזרה בנגזרת:
    (arctan(x))'=\frac{1}{1+tan^2(arctan(x))}
    נסדר קצת:
    (arctan(x))'=\frac{1}{1+[tan(arctan(x))]^2}
    ובהסתמך על הגדרת פונקציית הארקטנגנס כפונקציה ההפוכה לפונקציית הטנגנס,נקבל:
    (arctan(x))'=\frac{1}{1+x^2}
    -
    בהסתמך על נגזרת של פונקציה מורכבת ועל כלל המעבר מקבלים:
    (arctan(f(x)))'=\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}
    ------
    חרף ההוכחות הללו, ניסיתי למצוא הוכחה מתאימה בעזרת הגדרת הנגזרת לשלושת הפונקציות הללו.
    אם זאת, נסיונתיי עלו בתוהו. מצאתי הוכחה לנגזרת של פוקציית הארקטנגנס, אך משפט בה מנע ממני לפרסמה:
    "\lim_{x\to 0} \frac{arctan(x)}{x}=1, אך איני יודע איך להוכיח גבול זה".
    מכאן, בא כוחה העצום של נגזרת הפונקציה ההפוכה- ואף ישנו משפט מתמטי בשם "The Inverse Function Theorem".
    מי חשב שהנגזרת של הפונקציה f(x)=\frac{1}{x^2+1} היא arctan(x) לפני ההוכחה?...ובכך, אני מוצא שני תחומים שונים לחלוטין במתמטיקה המתמזגים ויוצרים את הטענה לעיל.
    -
    ובזאת, אסיים את מאגר ההוכחות (:
    מקווה שנהנתם, ושהכל מובן ושהשכלתם (: יום טוב ומבורך, תומר.
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 04-08-2012 בשעה 20:35
    אהבתי lifeOfPai אהב \ אהבו את התגובה
     
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  7. #22
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יג. נגזרת של פונקנציה בה המשתנה מופיע גם במעריך וגם בבסיס / נגזרת של פונקציה בחזקת פונקציה
    חרף החתימה של ההודעה האחרנוה,הרהרתי אם חסר משהו באשכול. חשבתי על זוג נושאים שאוכל לאוסיף, אך אני מתלבט מאוד לגבי האחרון.
    במידה ואחליט להציגו ולהוכיחו, אוסיף הודעה באשכול.
    -
    א. תאוריה (במובן של הנחה, לא במובן של חומר תאורטי):
    כשמתחילים ללמוד חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי במסגרת הלימודים בתיכון (בתיכון בו למדתי, היה זה בכיתה י'), נוסחת הגזירה הראשונה שהמורה מציג היא כמובן נוסחת הגזירה של פונקצית פולינום; כלומר, פונקציה המורכבת משורה של משתנים בחזקת מספרים קבועים. הנוסחא לגזירה של פונקציה כזו, היא כמובן (x^n)'=nx^{n-1}-זוהי נוסחת הגזירה הבסיסית ביותר (מספר הוכחות מופיעות בהודעה המתאימה).
    כעבור שנתיים, בכיתה יב', הוצגה בפנינו פונקציה מעריכית-זוהי פונקציה שבבסיסה מספר, ובמעריכה-משתנה. נוסחת הגזירה המתאימה,הציגה המורה,היא (a^x)'=a^x\cdot ln(a), בצירוף הוכחה פשוטה (המתבססת על הזהות: e^{ln(a)}=a),ללא ניסיון להתעקב על ההוכחה או להסביר אותה קצת יותר. אם זאת, יאמר לזכותה שהתלמידים פשוט הבהירו שהם אינם מעוניינים בהוכחות, כיוון שאינן מופיעות בבגרויות...
    בשלב הזה, מרגיש כל תלמיד הוא יודע ויכול לגזור כל פונקציה שהוא מכיר. הדבר קרוב להיות נכון, עד שהוא נתקל בפונקציה הידועה: y=x^x...
    ננסה לגשת אל הפונקציה הזאת ולגזור אותה לפי נגזרת של פולינום, נקבל:
    (x^x)'=x\cdot x^{x-1}\cdot 1,
    ואז, מחוקי חזקות:
    (x^x)'= x^{x}
    וקיבלנו פונקציה שנגזרתה שווה לנגזרת של עצמה (כמו, e^x).
    עד כאן, אפשר להרגיש שהצלחנו לגזור את הפונקציה.
    אבל, מצד שני...אפשר להתייחס לפונקציה הזאת גם כפונקציה מעריכית. נגזור אותה לפי נגזרת של פונקציה מעריכית:
    (x^x)'=x^x\cdot 1\cdot ln(x)

    (x^x)'=x^x\cdot ln(x)
    וגם זאת, על פניה, נראית גזירה נכונה...אך האם יתכן וקיבלנו פונקציה בעלת שתי נגזרות שונות? הדבר לא אפשרי (אלא אם כן, מדובר בזהות).
    לפני שנסתור את ההוכחה שלנו, נעלה את ההנחה שאכן מדובר בזהות. באגף שמאל של שתי נוסחאות הגזירה מופיע אותו הביטוי, (x^x)',על כן, נשווה בינהן.

    x^x\cdot \ln(x)=x^x
    הביטוי x^x אינו מתאפס (קל להוכיח זאת). מכאן,שניתן לצמצמו

    ln(x)=1
    והפתרון הוא כמובן:
    x=e.
    נציב את התוצאה בשתי נוסחאות הגזירה:
    א. פונקציית פולינום:
    (e^e)'= e^{e}
    ב. פונקציה מעריכית:
    (e^e)'=e^e\cdot ln(e)

    (e^e)'=e^e\cdot 1

    (e^e)'=e^e
    והוכחנו (: כעת אנו יכולים להוריד את העט ולהיות מרוצים.
    -------------------------------------------
    אבל במבט שני...באגף שמאל של שתי המשוואות מופיע מספר קבוע (שלא תלוי במשתנה),e^e,והרי שנגזרת של מספר קבוע היא 0...
    לכן, נציב באחת מנוסחאות הגזירה (ששוות, לפי הנחתינו) את מה שהבנו.
    e^e=0
    ובדיקה במחשבון מפריכה את המשוואה הזו.
    שלוש דרכים נוספות (ניתן להסביר זאת גם שהמספר הוא מספר קבוע, ואין זוג מספרים קבועים השווים זה לזה, או שפונקציית פולינום מתאפסת רק שהבסיס בה הוא 0 או שפונקציה מעריכית אינה מתאפסת, אלא שואפת לישר y=0 במינוס אינסוף).
    ואם בכל זאת נניח שהזהות הזו נכונה (e הוא מספר טרנסצדנטי, כלומר, שאינו מהווה פתרון של אף משוואה שבה המקדמים הם רציונאלים-ואולי כאשר מעלים מספר בחזקת מספר טרנסצדנטי מקבלים 0? ואם לא כך, אולי מספר טרנסצדנטי בעצמו בחזקת מספר טרנסצדנטי הוא 0?). טענה זאת כמובן אינה נכונה...שכן אם הדבר היה כך, אז למשל פתרון המשוואה
    e^x=0
    היה
    x=e
    ואם כך, הפונקציה e^x תחתוך את ציר ה-x-וכיוון שהיא תמיד עולה, לא יתכן שתחתוך את ציר ה-x בנקודה נוספת...ואם כך, השיטה שלנו למציאת אסימפטוטות אינה נכונה...
    לא אמשיך מכאן, אבל לאט לאט בקלות ניתן לפרק את המתמטיקה במידה וההנחה הזאת הייתה לא נכונה.
    במהלך ההוכחה הופיעו כמה מוקשים שהיו אמורים "להדליק לנו נורה אדומה"...
    א. פונקציית פולינום היא פונקציה שהמשתנה בה מופיע בבסיס בלבד. מכאן, שהפונקציה הזו אינה פונקציית פולינום, ולא ניתן להשתמש בנגזרת פולינומית.
    ב. פונקציה מעריכית היא פונקציה שהמשתנה בה מופיע בחזקה בלבד. מכאן, שהפונקציה הזו אינה פונקציה מעריכית, ולא ניתן להשתמש בנגזרת מעריכית.
    ג. ישנה פונקציה אחת שמקיימת את התנאי f'(x)=f(x),וזוהי הפונקציה האקספוננציאלית, y=e^x.
    ד. קיבלנו זוג נוסחאות גזירה שונות.
    ה. כאשר השווינו את זוג נוסחאות הגזירה קיבלנו שישנו פתרון אחד ויחיד המקיים את התנאי, וזהו x=e; בעוד כאשר מוכיחים זהות, אנו צריכים לקבל שכל מספר (אולי מלבד המספרים שנפסלים עקב תחום הגדרה) מקיים את הפונקציה, זאת ע"י קבלת פסוק אמת, כמו 1=1.
    ו. נגזרת של מספר קבוע היא 0, ואנו קיבלנו שלא.
    ז. אין זוג מספרים קבועים השווים זה לזה במתמטיקה (ואם זה היה המצב, אז ניתן להגיע למשוואה 1=0-ועל כן, כאשר אני קונה במכולת בקבוק אחד, אני למעשה קניתי 0 בקבוקים, ואיני צריך לשלם...(: )
    ח. המחשבון הראה שהתוצאה שקיבלנה שגויה.
    ט. לא יתכן שפונקציה מעריכית תתאפס.

    אפשר להגדיר זאת ככישלון, אך במתמטיקה, קורה פעמים רבות שאנו מוכיחים משהו שגוי ומגלים שהדבר אינו נכון: כבר כמה פעמים כמעט והמתמטיקה קרסה בעקבות הגדרה שגויה, ותוכלו לקרוא על כך בויקיפדיה או בכל אתר המציג מידע מתמטי, על נושאים כמו הפרדוקס של ראסל והפרדוקס של קנטור)-זוהי הדרך להוכחות (: מי מאיתנו לא פתר תרגיל וגילה שהתשובה לא נכונה...

    ב. הוכחה:
    אפשר מעט להתאכזב על כך שלא הוכחנו את אשר רצינו, אבל הדבר לא צריך למנוע מאיתנו להמשיך ולנסות להוכיח נגזרת.
    נסתכל על הפונקציה המדוברת, y=x^x.
    מסעיף א', אפשר להבין שהבעיה שלנו היתיה שהמשתנה מופיע גם בבסיס וגם בחזקה. על כן, נצטרך למצוא דרך כלשהיא להביע את אגף ימין בדרך אחרת, ולקבל פונקציה שאותה ניתן לגזור.
    נזכר בפונקציה הלוגוריתמית (ומקרה פרטי שלה, פונקציית הln)-פונקציה זו מקיימת את התכונה הבאה:
    ln(a^b)=b\cdot ln(a) (רצוי להדגיש שבפתרון משוואות בהן החזוקה של הפונקציה הפנימית זוגית (או שאיננו יודעים אם היא זוגית או לאו) אין להשתמש בזהות-כיוון שאנו מאבדים תשובה, למשל בתרגיל ln(x^2)=1).
    אם כך, נוציא ln משני האגפים. נקבל:
    ln(y)=ln(x^x)
    ולכן:
    ln(y)=x\cdot ln(x)
    המשוואה שקיבלנו היא משוואה של פונקציה סתומה: משוואה בה אחד המשתנים אינו פונקציה של השני, למשל y^2=x,\ \frac{x^2}{16}+{\frac{y^2}{4}}=1,x^2+yx+y^2=5 ועוד ועוד...
    אפשר לגזור פונקציה סתומה בצורה הבאה: נבחר באחד המשתנים לפיו נגזור, בעוד נתייחס אל המשתנים האחרים כפונקציה מורכבת.
    הפונקציה המקורית הייתה פונקציה של x ולא של y-ולכן, נגזור לפי x.
    נקבל:
    \frac{y'}{y}=1\cdot ln(x)+x\cdot \frac{1}{x}
    נסדר:
    \frac{y'}{y}=ln(x)+1
    ונבודד את הנגזרת,y':
    y'=y(ln(x)+1)
    אבל, אנו יודעים את הקשר בין המשתנים x ו-y,לכן ניתן במקום y את הקשר (בתחילת ההוכחה)
    y'=x^x(ln(x)+1)
    ולפני שאעבור לסעיף הבא, אפתח את הקשר.
    y'=x^xln(x)+x^x
    וזהו מעין קשר שמשלב בין נוסחאות הגזירה שהצגנו בסעיף א '(:

    ג. הנקודה x=0
    ומה קורה בנקודה x=0? אנו מקבלים ביטוי שאינו מוגדר, 0^0 (למרות שיש המגדירים ביטוי זה כ-1, מטעמי נוחות).
    נראה מה קורה בגבול. נשים לב שהגבול עבור 0^- אינו קיים-כיוון שהפונקציה שהמעריך שלה הוא משתנה אינה מוגדרת עבור מספרים שליליים בבסיס. לכן
    \lim_{x\to 0^+} x^x
    נעזר בפונקציית הלן ובפונקציית האקספוננט. כיוון שהן הפוכות זו לזו, הן תבטלנה אחת את השניה. נוכל אם כן לרשום את הגבול כך:
    \lim_{x\to 0^+}e^{xln(x))
    נפעיל את הגבול. נקבל במעריך את הביטוי 0\cdot \infty (נסו להתבונן בפונקציית הln ולהסביר מדוע ln(0) שואף לאינסוף).
    בשביל לטפל במקרים כאלה, אנו נעזרים בכלל לופיטל (l'Hospital's rule). רבים מכם יחשבו כרגע עלהעובדה הבאה: כלל לופיטל עוזר רק בגבולות מהצורה: \frac{\infty}{\infty} או \frac{0}{0}, אז למה מותר להשתמש בכלל כאן?
    הסיבה פשוטה. פשוט נסדר את הפונקציה בצורה הבאה...
    xln(x)=\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} ונעזר בגבול \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}=\infty.
    קל להווכח שכעת אנו מגיעים לצורה \frac{0}{0}.
    נציב זאת בפונקציה,
    \lim_{x\to 0^+}e^{\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}
    למי שתהה מהו אותו כלל לופיטל, כלל לופיטל הוא כלל שימושי בתורת הגבולות, שגורס שכאשר נתונה מנת שתי פונקציות, והגבול של כל אחת מהן במספר זהה מניב את המקרים \frac{0}{0} או \frac{\infty}{\infty}, אז ניתן לגזור כל אחת מהפונקציות בנפרד, והגבול החדש יהיה זהה לגבול הקודם. קצת קשה לנסח זאת במילים, ולכן, אוסיף תיאור מתמטי:
    \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} \ or \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}
    אז
    \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
    ניתן להשתמשב כלל כמה וכמה פעמים (:
    בעזרת מניפולציה אלגברית, ניתן גם לטעון שעבור 0\cdot \infty הכלל עדיין מתקיים (וזה מה שעשינו כאן).
    נגזור לפי לופיטל.
    \lim_{x\to 0^+}e^{\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}
    סידור קל יניב:
    \lim_{x\to 0^+}e^{\frac{x^2}{-x}}
    וצמצום:
    \lim_{x\to 0^+}e^{-x}
    אם נפעיל את הגבול נקבל:
    \lim_{x\to 0^+}e^{-0}

    \lim_{x\to 0^+} 1
    ולכן, הנקודה (0,1) היא נקודת אי רציפות סליקה בפונקציה.
    -
    בהסתמך על גזירה של פונקציה מורכבת ועל כלל המכפלה, מקבלים:
    [f(x)^{g(x)}]'=f(x)^{g(x)-1}[g(x)f'(x)+f(x)g'(x)ln(f(x))]
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 05-08-2012 בשעה 18:23
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  8. #23
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    יד. נגזרת של חזקה, עבור מספרים אי רציונאליים / הוכחה לנגזרת חזקה עבור מקרה כללי
    זהו כמובן אינו הנושא שהצגתי בהודעה הקודמת כנושא שעליו אני מתלבט אם לכתוב או לאו, אך זהו נושא מסכם לכל המקרים הפרטיים שהצגתי בהודעות הקודמות.
    -
    א. הקדמה:
    נזכיר מה הוכחנו:
    בעבור פונקציית פולינום (הבסיס הוא במכנה), הנגזרת היא (x^n)'=nx^{n-1},במקרים הבאים:
    א. מספרים חיוביים שלמים
    ב. מספרים שליליים שלמים
    ג. שברים (חיוביים או שליליים).
    חדי העין ישימו לב שעדיין, לא הוכחנו את כל המקרים האפשריים-לא הוכחנו את הטענה עבור מספרים אי רציונאליים ומספר טרנסצדנטים.
    שני הביטויים הללו הופיעו מספר פעמים בהוכחות שלנו. נבהיר אותם פעם נוספת.
    מספר אי רציונאלי: מספר שלא ניתן לכתוב אותו כמנה של שני מספרים שלמים.
    המספרים האי רציונאליים מתחלקים לשתי קבוצות:
    א. מספר אי רציונאלי אלגברי: מספר שהוא פתרון של משוואה אלגברית בעל מקדמים ממשיים ושלמים. למשל:
    \sqrt{2}: שהוא פתרון המשוואה x^2=2
    \frac{1+\sqrt{5}}{2} (יחס הזהב): שהוא פתרון של המשוואה x^2-x-1=0
    \sqrt{2}+1 (יחס הכסף): שהוא פתרון המשוואה tex]x^2-2x-1=0[/tex]
    ב. מספרים טרנסצדנטים: מספרים שהם אינם פתרון של אף משוואה אלגברית בעל מקדמים ממשיים ושלמים.
    למשל: \pi ,\ \  e, \ \ \sqrt{2}^{\sqrt{2}
    עבור המספרים האי-רציונאליים, עדיין לא הוכחנו את נכונות הנוסחא (או שמא נקבל נוסחא אחרת?).

    ב. הוכחה:
    תהי הפונקציה z(x),פונקציה המקיימת z(x)=x^{w}, כאשר w הוא מספר אי רציונאלי. נרצה למצוא את ההוכחה שלה.
    נסתכל על הפונקציה שלנו:
    z(x)=x^w
    נוציא ln משני האגפים (השתמשנו בו גם בהוכחה הקודמת (: )
    ln[z(x)]=ln[x^w]
    נסתמך על חוקי לוגוריתמים:
    ln[z(x)]=w\cdot ln[x]
    המספר w הוא מספר קבוע (אף ע"פ שהוא אי רציונאלי...). הפונקציה שקיבלנו היא פונקציה סתומה (פירוט מלא ניתן לראות בהודעה הקודמת).
    הפונקציה המקורית שלנו היא פונקציה של x, על כן, נגזור ע"פ x.
    \frac{z'(x)}{z(x)}=w\cdot\frac{1}{x}
    נבודד את הנגזרת, z'(x):
    z'(x)=z(x)\cdot w\cdot\frac{1}{x}
    והרי שאנו יודעים את הקשר בין x לz(x). על כן, נציב אותו.
    z'(x)=x^w\cdot w\cdot\frac{1}{x}
    נסדר קצת...
    z'(x)=w\cdot\frac{x^{w}}{x}
    ובהסתמך על חוקי חזקות (הנכונים לכל מספר)
    z'(x)=w\cdot x^{w-1}

    ג. בחינת הפתרון:
    ראשית, הוכחנו שהנוסחא לגזירת פונקציה פולינומית תקפה גם כאן. זהו הישג גדול מאוד, ובכך יכולתי לחתום את ההודעה.
    אבל, אם נבחן רגע את הפתרון, הפתרון מתאים לכל מספר כלשהו (רציונאלי, חיובי, שלילי וכד').
    יכולנו בקלות להסתמך על כך שw הוא מספר כלשהו, ובכך להוכיח את הנגזרת בצורה הזו.
    אז למה לא עשיתי זאת קודם? מספר סיבות.
    א. ההוכחה דורשת שימוש בפונקציה ln, דבר שנלמד רק בכיתות מאוחרות יותר.
    ב. ההוכחות האחרות, לפי דעתי, יפיפיות כמו ההוכחה הזו- ולכן, בחרתי גם להציגן (:
    ג. הצגה של הגדרת הנגזרת-כך נתקבלה ההוכחה המקורית, ולא בשיטה זאת.

    אם כך, אפשר לחתום את ההודעה בכך.
    הנגזרת של פונקציית פולינום (המשתנה מופיע בבסיס), היא (x^n)'=nx^{n-1}, כאשר n הוא מספר כלשהו (המספר יכול להיות גם מרוכב [קומפלקסי], אך זאת, לא נוכיח (: ]
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 05-08-2012 בשעה 22:44
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  9. #24
    הסמל האישי שלמתן- משתמש רשום חבר Emath

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    וואוווווווו !
    אצלכם בבית הספר לימדו את כל זה ?

    פשוט ענק, תודה רבה.
    מקווה לקרוא בקרוב.
    אהבתי אז למה גוזרים כך?Dmot אהב \ אהבו את התגובה
     

  10. #25
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    לימדו את הראשונים (חוקי גזירה בסיסיים+סינוסים וקצת לוגוריתמים). אבל, למדתי זאת לבד. חלק הוכחתי בפעם הראשונה [(:] וחלק נדרשה מחשבה קצת גדולה יותר.
    תודה רבה! (:
    יום טוב ומבורך ושנה טובה ומבורכת!
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  11. #26
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ציטוט פורסם במקור על ידי Dmot צפה בהודעה
    א. מציאת ערכו של e:
    נסתכל על משפחת הפונקציות f(x)=a^x (כלומר, פונקציות כמו f(x)=a^xf(x)=2^x, f(x)=6^x, f(x)=99^x). נשים לב שכל הפונקציות ממשפחה זאת חותכות את ציר ה-y בנקודה קבועה,(0,1).
    נרצה להעביר משיק לגרף הפונקציה הזו בנקודה בה x=0 (נקודת החיתוך של כל הפונקציות השייכות למשפחה).
    נבחר בפונקציה f(x)=2^x ונעביר לה משיק בנקודה x=0; אם נמדוד את שיפוע המשיק לפונקציה נקבל ששיפועו הוא בערך 0.69. הזווית שהמשיק יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה-x היא בת 34.7 מעלות.
    נבחר כעת בפונקציה f(x)=3^x ונעביר לה משיק בנקודה x=0;אם נמדוד את שיפוע המשיק לפונקציה נקבל ששיפועו הוא בערך 1.09. הזווית שהמשיק יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה-x היא בת 47.6 מעלו.
    מהדוגמאות למעלה, עולה שקיימת פונקציה, בה הבסיס הוא בין 2 ל3, שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=0 הוא 1, והזווית שהוא יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה-x היא 45 מעלות.
    (הערה: הקשר בין הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-x ובין השיפוע הוא הקשר \tan(\alpha)=m. הסיבה לכך פשוטה. ניתן להוריד מהישר אנך לציר ה-x. הגדרת הטנגנס במשולש ישר זווית היא היחס בין הניצב מול הזווית לבין הניצב ליד הזווית, והרי הניצב מול הזווית הוא ערך ה-y שלו, והניצב ליד הזווית הוא ערך ה-x שלו; בנוסף, היחד בינהם הוא שיפוע הישר, ולכן מתקיים הקשר).
    איך אתה "מודד" את השיפוע המשיק לפונקציות 2^x , 3^x ?

  12. #27
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    מבחינה עקרונית בהסתמך על ידיעת הנגזרת מראש, מצאתי את שיפוע המשיק לנקודה נעזרתי בקשר m=|tan \alpha|. אבל, ניתן גם למצוא בדרך גיאומטרית. משרטטים את הפונקציה y=2^x למשל בצורה מדוייקת ככל האפשר, ובעזרת סרגל מעבירים לה משיק בנקודה x=0. מוצאים את הזווית באמצעות מד זווית, ונעזרים בקשר m=|tan \alpha|. למדתי במהלך הלימודים בפיזיקה (וגיאומטריה!, בין היתר אם אנליטית ובין אם אוקלידית) שאנשים מזלזלים מאוד בשרטוטים-אך לעיתים שרטוט מדוייק עדיף בהרבה מסקיצה.
    תודה רבה, אגב, על נעיצת האשכול (:
    לילה טוב ומבורך, חלומות פז!
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  13. #28
    הסמל האישי שלאריאל מנהל כללי חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    אם אתה נעזר בנגזרת כדי למצוא את השיפוע זה בעייתי. (נעזר במשהו שבא להוכיח פחות או יותר)

  14. #29
    הסמל האישי שלגל_כהן חובב מתמטיקה מושבע חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    תומר, בכל מקרה התיאור שהעלית אינו טוב - אתה לא באמת מדדת את שיפוע המשיק ואז מצאת את הזווית, אלא להיפך.
    ידיעת הנגזרת ואז מציאת השיפוע בכדי למצוא את הנגזרת יוצרים לך לולאה אינסופית. באמת הרעיון הוא לשרטט את הפונקציות
    השונות ולמדוד בעזרת מד זווית.
    עזרו לך? תן פידבק!

    ציטוט :

    "מה שעשינו למען עצמנו בלבד מת איתנו. מה שעשינו למען אחרים
    ולמען העולם נשאר ואינו מת לעולם".
    (אלברט פייק. בהשראת ספרו של דן בראון "הסמל האבוד")



  15. #30
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    שוב אאשים את השעה (:
    הכוונה שלי הייתה בדיוק למה שהתכוונת גל, ושוב, מה שנסחתי לא היה טוב.
    נראה לי שאני מפסיק לענות על שאלות ב-1 בלילה, הניסוחים שלי דיי צולעים...
    יום טובו מבורך.
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

עמוד 2 מתוך 3 ראשוןראשון 1 2 3 אחרוןאחרון

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 2

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו