עמוד 1 מתוך 3 1 2 3 אחרוןאחרון
מציג תוצאות 1 עד 15 מתוך 31

אשכול: אז למה גוזרים כך?

  1. #1
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל אז למה גוזרים כך?
    שם הספר במתמטיקה: -----

    שלום לכולם, ויום טוב ומבורך.
    לאחר העדרות דיי גדולה שלי השנה בגלל עומס מטורף בלימודים (לקחתי על עצמי גם טכ"ם=מדעי המחשב, גם פיזיקה וגם ערבית, כולם ברמה של 5 יח"ל ומחשבים ברמה של 10 יח"ל) החלטתי לכתוב את האשכול הזה. רציתי כבר זמן דיי רב לעשות זאת, אך לא התפנה לי דיי זמן, וכעת, אוכל למלא את מבוקשי (:
    אצלי בתיכון התמיינו ליחידות בכיתה י'- וכל אחת מכמה כיתות למדה עם מורה נפרד. בכיתה יא' כל הקבוצות של כל היחידות התערבבו שוב, כך שכל אדם למד עם שני מורים שונים.
    הסתבר לי שבעוד המורה שלי הוכיח את נוסחאות הגזירה בשבילנו, רבים מהמורים לא הוכיחו את נוסחאות הגזירה ופשוט הראו לתלמידים את הנוסחאות וביקשו מהם לדקלמן-דבר שיצר קושי אצל חלק מהתלמידים.
    לאחרונה דיברתי עם כמה אנשים, ששוב הציגו את אותו המצב-והראו מצב שבו המורים טענו שההוכחה אינה נזדקקת, או שלא רצו לסבך את התלמידים במקצוע שהוא מורכב מאוד (לא כמו באוניברסיטה, אבל הרעיונות הבסיסיים שלו דיי קשים להבנה-איך מנוסחא של ישר העובר דרך שתי נקודות ניתן למצוא משיק לפונקציה? מה זה "שואף"? מהו "גודל קטן מאוד?", מהי נגזרת?...
    אפשרות נוספת היא שהמורים אכן הוכיחו את הנגזרות, אבל רבים לא בחרו להקשיב...חלקם לא היו מרוכזים, חלקם היו עסוקים בדברים אחרים (גם אני הייתי תלמיד בבית הספר (: ) וחלקם...פשוט לא רצו להקשיב, הרי זה לא לבגרות...
    משיקולים אלו אני כותב את האשכול הבא. אני תומך גדול בלהוכיח את רוב הדברים בבית הספר ובתיכון-כיוון שמי שיודע את ההוכחות יכול לשחזרן, ומכיוון שההוכחות טומנות בתוכם טריקים נחמדים (גם בגיאומטריה) שאם מכירים אותם, אפשר לייעל כמעט כל תרגיל ולפתור אותו בדרך אחרת.

    תוכן עניינים:
    1. הקדמה

    1א.אז מהי נגזרת?
    1ב. חוקי גבולות בסיסיים (ללא הוכחה)
    2. חוקי גזירה בסיסיים:
    2א.נגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע
    2ב.נגזרת של סכום והפרש פונקציות
    2ג. נגזרת של מכפלת פונקציות
    2ד.נגזרת של מנת פונקציות
    2ה.נגזרת של פונקציה מורכבת / כלל השרשרת
    3. נגזרות של פונקציות:
    3א.נגזרת של פונקציית חזקה / פונקציית פולינום (המשתנה מופיע בבסיס)-מספרים טבעיים
    3ב.נגזרת של פונקציית שורש ריבועי
    3ג.נגזרת של פונקציית חזקה עבור מספרים שליליים
    3ד.נגזרת של חזקה עם מעריך רציונאלי /נגזרת של שורש שאינו ריבועי / נגזרת של חזקה עם שבר
    3ה.נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
    3ו.נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית / נגזרת של e
    3ז.נגזרת של פונקציה מעריכית
    3ח.נגזרת של פונקציית הלוגוריתם הטבעי / נגזרת של ln
    3ט.נגזרת של פונקציה לוגוריתמית / נגזרת של log
    3י.נגזרת של פונקציה בערך מוחלט
    3יא.נגזרת של פונקציה הפוכה
    3יב.נגזרת של פונקציה טריגונומטרית הפוכה
    3יג.נגזרת של פונקנציה בה המשתנה מופיע גם במעריך וגם בבסיס / נגזרת של פונקציה בחזקת פונקציה
    3יד.נגזרת של חזקה עבור מספרי אי רציונאליים / הוכחה לנגזרת חזקה כמקרה כללי
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 05-08-2012 בשעה 21:43
    אהבתי אריאל, shonny, Fractal, מתן-, bennytav and 5 others אהב \ אהבו את התגובה
     
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  2. #2
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    1. אז מהי נגזרת?
    כל תלמיד מכיתה ט' ואילך (או לפחות היה כך אצלי)-מדקלם את הנוסחא לשיפוע של ישר, ע"פ שתי נקודות:
    m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
    נבחר למשל את גרף הפונקציה f(x)=x^2, נבחר נקודה קבועה על גרף הפונקציה, הנקודה x=1.
    נחשב מספר שיפועים. כדי לעשות זאת, נבחר מספר נקודות על גרף הפונקציה, ונמתח מהם קו (מיתר) עד הנקודה x=1:
    1. x=3
    m=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4
    2. x=2
    m=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{4-1}{2-1}=\frac{3}{1}=3
    3. x=1.5
    m=\frac{f(1.5)-f(1)}{2-1}=\frac{2.25-1}{1.5-1}=\frac{1.25}{0.5}=2.5
    4. x=1.2
    m=\frac{f(1.2)-f(1)}{1.2-1}=\frac{1.44-1}{1.2-1}=\frac{0.44}{0.2}=2.2
    5. x=1.01
    m=\frac{f(1.01)-f(1)}{1.01-1}=\frac{1.0201-1}{1.01-1}=\frac{0.0201}{0.01}=2.01
    6.x=1.001
    m=\frac{f(1.001)-f(1)}{1.001-1}=\frac{1.002001-1}{1.001-1}=\frac{2.001\cdot 10^{-3}}{0.001}=2.001
    7. x=1.0001
    m=\frac{f(1.0001)-f(1)}{1.0001-1}=\frac{1.00020001-1}{1.0001-1}=\frac{2.0001\cdot 10^{-4}}{0.0001}=2.0001
    קל לראות שככל שנקרב את x ל1, כך הביטוי ישאף ל-2. המשמעות הגרפית: שיפוע המיתר הולך וקטן-עד שהוא מתקרב למשיק לפונקציה בנקודה x=1.
    נבחר שיעור x קטן מאוד, השואף ל1. ההפרש בינהם אינו 0, אך הוא קטן מאוד. כתוצאה מכך,נקבל ישר הקרוב מאוד מאוד מאוד מאוד לשיפוע המשיק.
    אם כך, נמצא את השיפוע.
    m= \lim_{x->1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}
    משמעות הסימן "lim" הוא לימס/לימיט=גבול. מתחתיו, מופיע הביטוי "x->1", ומשמעותו, x שואף ל1. בדיוק כמו ההסבר. זהו רק סימון.
    נמשיך בחישוב,
    m= \lim_{x->1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}

    m= \lim_{x->1} \frac{x^2-1}{x-1}

    נעזר בנוסחא להפרש ריבועים,
    m= \lim_{x->1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}
    נצמצם מונה ומכנה,
    m= \lim_{x->1} x+1
    כעת, השאפנו את x ל1. אין לנו בעיה בתחום ההצבה, ולכן, נשתמש במושג הגבול, ונקבל:
    m= \lim_{x->1} x+1=2
    כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה x=1 הוא m=2.

    מה בעצם עשינו? חישבנו שיפוע של משיק לפונקציה בעזרת נקודה אחת...זה דבר דיי מהפכני.
    כמובן, שחישבנו זאת למקרה פרטי מאוד. מצאנו את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה y=x^2 בנקודה x=1.
    יכולנו, למעשה, בעזרת טכניקה נכונה, למצוא שיפוע של כל נקודה על כל פונקציה בעזרת התהליך שעשינו-אם כך, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה x הוא:
    m= \lim_{x->x_1} \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}
    צורה אחרת הוא לסמן את הסימון:
    x-x_1=h
    ואז:
    x=h+x_1
    ולכן שיפוע המשיק הוא:
    m= \lim_{h->0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}
    לשיפוע המשיק מקובל לקרוא "נגזרת". נגזרתה של הפונקציה f(x) מסומנת באמצעות ' (טאג), f'(x) . אפשר לגזור שוב ושוב, עד אינסוף (למרות שפועל, לפעמים הנגזרת הופכת לאפס, ואז הנגזרות מסדרים גבוהים מתאפסות.
    מקובל לרשום טגים (') עד הנגזרת השלישית. מנגזרות גבוהות יותר, מסמנים זאת במספר. לדוגמא, הנגזרת הרביעית מסומנת כ-
    f^{(4)}.
    דרך נוספת לסמן נגזרת היא באמצעות הסימון \frac{dy}{dx}, שמשמעותו-גזור את הפונקציה y לפי x-לעיתים פונקציה יכולה להכיל יותר ממשתנה אחד, ולכן, חשוב להדגיש לפי איזה משתנה אנו גוזרים.
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 13:38
    אהבתי Zenesh אהב \ אהבו את התגובה
     
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  3. #3
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    2.חוקי גזירה בסיסיים:
    א. נגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע.
    תהי פונקציה f(x) ותהי z(x)פונקציה המקיימת z(x)=c\cdot f(x).
    כאשר c הוא סימון למספר כלשהוא-מספר קבוע. 1,\frac{3}{4},\sqrt{2},\pi.
    נרצה למצוא את הנגזרת של z(x)
    מהגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z_(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x)
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{c\cdot f(x)-c\cdot f(x_1)}{x-x_1}
    מתוקף חוקי הגבולות, נוכל להוציא את c החוצה.
    z'(x)=c\cdot \lim_{x->x_1} \frac{f(x)-\cdot f(x_1)}{x-x_1}
    והרי, הביטוי משמאל הוא הנגזרת של הפונקציה f(x),לכן
    z'(x)=c\cdot f'(x)
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  4. #4
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ב. נגזרת של סכום והפרש פונקציות
    תהיינה הפונקציות f(x) ו-g(x) ותהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=f(x)\pm g(x).
    נרצה למצוא את הנגזרת של z(x).
    מהגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z_(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x)
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)\pm g(x)-f(x_1)\mp g(x_1)}{x-x_1}
    [הערה: סימן הפלוס-מינוס הפך לסימן מינוס-פלוס כיוון שמופיע מינוס בהגדרת הנגזרת]
    מתוקף חוקי הגבולות ופירוק שבר לזוג שברים, נהפוך את הביטוי למעלה לביטוי הבא:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} \pm \lim_{x->x_1} \frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}
    הביטוי משמאל הוא נגזרתה של f(x),הביטוי מימין הוא נגזרתה של g(x),על כן:
    z'(x)=f'(x) \pm g'(x)
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  5. #5
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ג. נגזרת של מכפלת פונקציות:
    תהיינה הפונקציות f(x) ו-g(x) ותהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=f(x)\cdot g(x).
    נרצה למצוא את הנגזרת של z(x).
    מהגדרת הנגזרת
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z_(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)\cdot g(x)-f(x_1)\cdot g(x_1)}{x-x_1}
    נוסיף ונחסר את הביטוי f(x)g(x_1) במונה, וכך לא נשנה את השבר.
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)\cdot g(x)-f(x_1)\cdot g(x_1)+f(x)\cdot g(x_1)-f(x)\cdot g(x_1)}{x-x_1}
    נסדר קצת,
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x_1)+f(x)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_1)}{x-x_1}
    נוציא גורמים משותפים:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)[g(x)-g(x_1)]+g(x_1)[f(x)-f(x_1)]}{x-x_1}
    נפריד שוב לזוג שברים, ונעזר שוב בחוקי הגבולות.
    z'(x)=\lim_{x->x_1} f(x)\cdot \frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}+\lim_{x->x_1} g(x)\cdot \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}
    הביטוי משמאל הוא נגזרתה של g(x),הביטוי מימין הוא נגזרתה של f(x),על כן:
    z'(x)=f(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot f'(x)
    או בצורה מוכרת יותר, בסתמך על חוק החילוף בחיבור (קומוטטיביות) נקבל:
    z'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  6. #6
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ד. נגזרת של מנת פונקציות:
    תהיינה הפונקציות f(x) ו-g(x) ותהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.
    נרצה למצוא את הנגזרת של z(x).
    דרך א':
    מהגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z_(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_1)}{g(x_1)}}{x-x_1}
    נבצע מכנה משותף במונה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{\frac{f(x)(g(x_1)-f(x_1)g(x)}{g(x)g(x_1)}}{x-x_1}
    נוריד את המכנה מטה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)g(x_1)-g(x)f(x_1)}{g(x)g(x_1)(x-x_1)}
    נוסיף ונחסר את הביטוי f(x)g(x) במונה, וכך לא נשנה את השבר.
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)g(x_1)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-g(x)f(x_1)}{g(x)g(x_1)(x-x_1)}
    נוציא גורמים משותפים:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)[g(x_1)-g(x)]+g(x)[f(x)-f(x_1)]}{g(x)g(x_1)(x-x_1)}
    נסדר קצת,
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{-f(x)[g(x)-g(x_1)]+g(x)[f(x)-f(x_1)]}{g(x)g(x_1)(x-x_1)}

    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{g(x)[f(x)-f(x_1)]-f(x)[g(x)-g(x_1)]}{g(x)g(x_1)(x-x_1)}

    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{1}{g(x)g(x_1)}\cdot\frac{g(x)[f(x)-f(x_1)]-f(x)[g(x)-g(x_1)]}{x-x_1}

    בהסתמך על חוקי הגבולות:
    z'(x)= \lim_{x->x_1} \frac{1}{g(x)g(x_1)}\cdot\frac{g(x)[f(x)-f(x_1)]-f(x)[g(x)-g(x_1)]}{x-x_1}
    נסדר קצת פעם נוספת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{1}{g(x)g(x_1)}\cdot \frac{g(x)[f(x)-f(x_1)]}{x-x_1}-\frac{f(x)[g(x)-g(x_1)]}{x-x_1}

    z'(x)=\lim_{x->x_1}  \frac{1}{g(x)g(x_1)}\cdot g(x)  \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}-\lim_{x->x_1}f(x)\frac{1}{g(x)g(x_1)}\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}

    נפעיל את הגבול. כל הביטויים בהם מופיע x יוחלפו ב-x_1. הביטוי הראשון הוא הנגזרת של f(x)
    והשני-של g(x). נקבל:

    z'(x_1)=\frac{1}{g(x_1)g(x_1)}\cdot g(x_1)\cdot f'(x_1)-f(x)\frac{1}{g(x_1)g(x_1)}\cdot g'(x_1)

    z'(x_1)=\frac{g(x_1)f'(x_1)}{g^2(x_1)}-\frac{f(x_1)g'(x_1)}{g^2(x_1)}

    z'(x_1)=\frac{f'(x_1)g(x_1)-f(x_1)g'(x_1)}{g^2(x_1)}

    דרך ב':
    ניתן להוכיח את הטענה גם בהסתמך על הוכחת מקרה פרטי ,עבור h(x)=\frac{1}{f(x)}, ושימוש בנגזרת מכפלה.
    נמצא את הנגזרת של h(x).
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת,
    h'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{h(x)-h(x_1)}{x-x_1}
    נציב את h(x):
    h'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(x_1)}}{x-x_1}
    מכנה משותף במונה,
    h'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{\frac{f(x_1)-f(x)}{f(x)f(x_1)}}{x-x_1}

    נוריד את המכנה מטה,
    h'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{f(x_1)-f(x)}{f(x)f(x_1)(x-x_1)}
    נסדר,
    h'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{1}{f(x)f(x_1)}\frac{f(x_1)-f(x)}{x-x_1}
    נוציא 1- החוצה, בהסתמך על חוקי הגבולות.
    h'(x)=-\lim_{x->x_1}\cdot \frac{1}{f(x)f(x_1)} \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}
    נפעיל את הגבול...
    h'(x_1)=-\frac{1}{f(x_1)f(x_1)}f'(x_1)

    h'(x_1)=-\frac{f'(x_1)}{f^2(x_1)}

    כעת, נגזור את z(x).
    z(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

    z(x)=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}

    z'(x)=f'(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot (\frac{1}{g(x)})'

    z'(x)=\frac{f'(x)}{g(x)}+f(x)\cdot -\frac{g'(x)}{g^2(x)}

    z'(x)=\frac{f'(x)}{g(x)}+-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}

    z'(x)=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}

    מכנה משותף,
    z'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 14:30
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  7. #7
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ה. נגזרת של פונקציה מורכבת / כלל השרשרת-
    תהיינה הפונקציות f(x) ו-g(x) ותהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=(f\circ g)(x),
    כלומר, z(x)=f(g(x))
    נרצה למצוא את הנגזרת של z(x).
    מהגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z_(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{x-x_1}
    נכפיל את המונה ואת המכנה בביטוי g(x)-g(x_1), ובכך, לא נשנה את השבר.
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(g(x))-f(g(x_1))}{x-x_1}\cdot \frac{g(x)-g(x_1)}{g(x)-g(x_1)}
    נסדר בצורה הבאה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{f(g(x)-f(g(x_1)}{g(x)-g(x_1)}\cdot \frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}
    אם נפעיל את הגבול, נקבל:
    z'(x_1)=f'(g(x_1))\cdot g'(x_1)
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  8. #8
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    3. נגזרות של פונקציות:
    אחרי חוקי הגזירה הבסיסיים, אציג את הנגזרות של קבוצת הפונקציות שאנו יודעים לגזור.
    א. נגזרת של פונקציית חזקה / פונקציית פולינום (המשתנה נמצא בבסיס)
    תהי הפונקציה z(x) המקיימת z(x)=x^n, ונרצה למצוא את הנגזרת שלה.
    דרך א':
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{z(x)-z(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{x^n-x_1^n}{x-x_1}
    נפרק את המונה בדרך הבאה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{(x-x_1)(x^{n-1}+x^{n-2}x_1+x^{n-3}x_1^2+...+x_1^{n-3}x^2+x_1^{n-2}x+x_1^{n-1})}{x-x_1}
    נצמצם:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} x^{n-1}+x^{n-2}x_1+x^{n-3}x_1^2+...+x_1^{n-3}x^2+x_1^{n-2}x+x_1^{n-1}
    נפעיל את הגבול:
    z'(x)=x_1^{n-1}+x_1^{n-2}x_1+x_1^{n-3}x_1^2+...+x_1^{n-3}x_1^2+x_1^{n-2}x_1+x_1^{n-1}

    z'(x)=x_1^{n-1}+x_1^{n-1}+x_1^{n-1}+...+x_1^{n-1}+x_1^{n-1}+x_1^{n-1}

    z'(x)=x_1^{n-1}+x_1^{n-1}+x_1^{n-1}+...+x_1^{n-1}+x_1^{n-1}+x_1^{n-1}

    z'(x)=n\cdot x_1^{n-1}

    דרך ב':
    נוכיח באינדוקציה את הטענה.
    1. נבדוק עבור n=1:
    (x^1)'=n\cdot x_1^{n-1}

    (x)'=1 \cdot x_1^{1-1}

    (x)'=1 \cdot x_1^{0}

    x'=1

    נבדוק ע"ס הגדרת הנגזרת אם הטענה נכונה,
    h(x)=x

    h'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{h(x)-h(x_1)}{x-x_1}
    נציב את h(x):

    h'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{x-x_1}{x-x_1}

    ואם נצמצם,
    h'(x)=1

    על כן, הטענה נכונה עבור n=1.

    2. נניח את הטענה עבור n=k:
    (x^k)'=kx^{k-1}

    3. נוכיח את הטענה עבור n=k+1:

    (x^{k+1})'=(k+1)x^k

    נפצל את אגף שמאל:
    (x^k\cdot x)'=(k+1)x^k
    נגזור את אגף שמאל לפי נגזרת מכפלה:
    (x^k)'\cdot x+x^k\cdot 1=(k+1)x^k

    (x^k)'\cdot x+x^k=(k+1)x^k

    באגף שמאל, נציב את הנחת האינדוקציה:
    kx^{k-1}\cdot x+x^k=(k+1)x^k

    בהסתמך על חוקי חזקות:
    kx^{k}+x^k=(k+1)x^k

    נוציא גורם משותף באגף שמאל החוצה:
    x^{k}(k+1)=(k+1)x^k

    והשוויון הנ"ל נכון לכל k.
    ע"פ אקסיומת האינדוקציה השלמה, לאחר שהנחנו את נכונות הטענה עבור מספר התחלתי n=1,הנחנו את נכונות הטענה עבור מספר כללי n=k והוכחנו את הטענה עבור המספר העוקב n=k+1, אז הטענה נכונה לכל n טבעי.
    (הערה: המושג "טבעי" הוא בעל משמעות כאן. אולם הנוסחא נכונה גם לשברים, אבל לא הוכחתי זאת...עדיין)

    ומהו פולינום?
    פולינום הוא פונקציה המורכבת מחזקות וממספרים המכפילים אותם. לדוגמא, f(x)=3x^4, f(x)=5x^2+3x+2, f(x)=9x^{91}+4x^{90}+x,f(x)=1,
    ולמה f(x)=1 היא פולינום? מכיוון שניתן לרשום אותה כ: f(x)=x^0...
    צורתו הכללית של פולינום (עם משתנה אחד...)
    p(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+dx^{n-3}+...+f
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    ([f(x)]^n)'=n\cdot [f(x)]^{n-1}\cdot f'(x)
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 21:44
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  9. #9
    הסמל האישי שלגל_כהן חובב מתמטיקה מושבע חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    לילה טוב, תומר
    שני דברים :
    1. שאפו!
    2. הוכחה של כלל החזקה לכל צורה שהיא (טבעיים, שליליים, שברים) תוכל לראות כאן - Proof of the Power Rule.
    שלב 4 שמוצג שם נותן הוכחה כוללת לכל חזקה שהיא, על סמך נגזרות של פונקציות מעריכיות. יותר ממוזמן לקרוא.
    עזרו לך? תן פידבק!

    ציטוט :

    "מה שעשינו למען עצמנו בלבד מת איתנו. מה שעשינו למען אחרים
    ולמען העולם נשאר ואינו מת לעולם".
    (אלברט פייק. בהשראת ספרו של דן בראון "הסמל האבוד")



  10. #10
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ב.נגזרת של פונקציית שורש:
    נוכיח את הטענה עבור הפונקציה הבסיסית: f(x)=\sqrt{x}. ניתן להוכיח את שאר המקרים בהסתמך הזהות הנ"ל ופונקציה מורכבת.
    דרך א':
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת.
    תהי הפונקציה f(x)=\sqrt{x} ונרצה למצוא את הנגזרת שלה.
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת:
    f'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}
    נציב את f(x):
    f'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_1}}{x-x_1}
    נכפיל את המונה והמכנה בביטוי (\sqrt{x}+\sqrt{x_1}) ובכך לא נשנה את הפונקציה.
    f'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_1}}{x-x_1}\cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{x_1}}{\sqrt{x}+\sqrt{x_1}}

    נעזר בנוסחא להפרש ריבועים- ולפיה נקבל:
    f'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{x_1})^2}{x-x_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_1}}

    f'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{x-x_1}{x-x_1}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_1}}

    נצמצם,
    f'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_1}}

    כעת, נפעיל את הגבול:
    f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1}}

    f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x_1}}

    דרך ב':
    בהסתמך על הזהות:
    \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x
    נגזור את שני הצדדים:
    (\sqrt{x})'\cdot \sqrt{x}+\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x})'=1
    נכנס איברים דומים:
    2(\sqrt{x})'\cdot \sqrt{x}=1
    וכעת, נבודד את (\sqrt{x})'
    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

    דרך ג':

    בהסתמך על נוסחת החזקה (עדיין לא הוכחתי עבור מקרה זה).
    (\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'
    נגזור כרגיל:
    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}

    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}

    נעזר בנוסחאות החזקות ונקבל,
    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}

    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}

    (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

    דרך ד':
    בהסתמך על נגזרת של פונקציה הפוכה (ראה בערך המתאים)
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    (\sqrt{f(x)}])'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 04-08-2012 בשעה 00:00
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  11. #11
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ג. נגזרת של חזקה, עבור מספרים שליליים
    תהי z(x) פונקציה המקיימת z(x)=x^{-n}, כך שn>0. נרצה למצוא אם כך את הנגזרת שלה.
    דרך א':
    נעזר בחוקי חזקות:
    z(x)=\frac{1}{x^n}.
    נגזור לפי נגזרת של מנת פונקציות (הוכחנו גם את הנגזרת h(x)=\frac{1}{f(x)}-ניתן אם כך לגזור ישירות)
    z'(x)=\frac{0\cdot x^n-1\cdot nx^{n-1}}{(x^n)^2}

    z'(x)=\frac{-1\cdot nx^{n-1}}{x^{2n}}

    z'(x)=-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}}

    נמשיך, בהסתמך על חוקי חזקות:
    z'(x)=-n\cdot x^{n-1-2n}

    z'(x)=-n\cdot x^{-n-1}

    דרך ב':
    נוכיח באינדוקציה.
    1. עבור n=1
    (x^{-1})'=-1\cdot x^{-1-1}

    (x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}

    (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}

    נעזר בהגדרת הנגזרת כדי לראות אם הטענה נכונה:
    h(x)=x^{-1}

    h'(x_1)=\frac{h(x)-h(x_1)}{x-x_1}
    נציב את h(x):
    h'(x_1)=\lim_{x->x_1}\frac{x^{-1}-x_1^{-1}}{x-x_1}
    נעזר בחוקי חזקות:
    h'(x_1)=\lim_{x->x_1}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_1}}{x-x_1}
    מכנה משותף במונה:
    h'(x_1)=\lim_{x->x_1}\frac{\frac{x_1-x}{x\cdot x_1}}{x-x_1}
    נוריד את המכנה מטה:
    h'(x_1)=\lim_{x->x_1}\frac{x_1-x}{x\cdot x_1\cdot (x-x_1)}
    נוציא 1-:
    h'(x_1)=-\lim_{x->x_1}\frac{x-x_1}{x\cdot x_1\cdot (x-x_1)}
    נצמצם:
    h'(x_1)=-\lim_{x->x_1}\frac{1}{x\cdot x_1}
    וכעת נותר רק להפעיל את הגבול:
    h'(x_1)=-\frac{1}{x_1\cdot x_1}

    h'(x_1)=-\frac{1}{x_1^2}

    על כן, הטענה נכונה עבור n=1.

    2. נניח את נכונות הטענה עבור n=k:
    (x^{-k})'=-k\cdot x^{-k-1}

    3. נוכיח את הטענה עבור n=k+1:
    (x^{-(k+1)})'=-(k+1)\cdot x^{-(k+1)-1)}

    (x^{-k-1})'=-(k+1)\cdot x^{-k-2}
    נעזר בחוקי חזקות:
    (x^{-k}\cdot x^{-1})'=-(k+1)\cdot x^{-k-2}

    נפתח את אגף שמאל לפי נגזרת מכפלה:
    (x^{-k})'\cdot {x^{-1}}+x^{-k}\cdot (x^{-1})'=-(k+1)\cdot x^{-k-2}
    וכבר מצאנו את הנגזרת (x^{-1}
    (x^{-k})'\cdot {x^{-1}}+x^{-k}\cdot -x^{-2}=-(k+1)\cdot x^{-k-2}
    נעזר בחוקי חזקות:
    (x^{-k})'\cdot {x^{-1}}-x^{-k-2}=-(k+1)\cdot x^{-k-2}

    נציב את הנחת האינדוקציה:
    (-k\cdot x^{-k-1})\cdot {x^{-1}}-x^{-k-2}=-(k+1)\cdot x^{-k-2}
    נעזר בחוקי חזקות:
    -k^{-k-2}-x^{-k-2}=-(k+1)\cdot x^{-k-2}
    ונוציא גורם משותף.
    -x^{-k-2}(k+1)=-(k+1)\cdot x^{-k-2}

    והרי, השוויונים שקולים-על כן, הוכחנו את הטענה עבור n=k+1

    ע"פ אקסיומת האינדוקציה השלמה, לאחר שהנחנו את נכונות הטענה עבור מספר התחלתי ,הנחנו את נכונות הטענה עבור מספר כללי והוכחנו את הטענה עבור המספר העוקב , אז הטענה נכונה לכל טבעי.

    דרך ג':
    הוכחה באמצעות הגדרת הנגזרת.
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{z(x)-z(x_1)}{x-x_1}

    נציב את z(x)
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{x^{-n}-x_1^{-n}}{x-x_1}
    נעזר בחוקי חזקות:
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{\frac{1}{x^n}-\frac{1}{x_1^n}}{x-x_1}

    מכנה משותף במונה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{\frac{x_1^n-x^n}{x_1^n\cdot x^n}}{x-x_1}

    נוריד מטה את המכנה,
    z'(x)=\lim_{x->x_1}\frac{x_1^n-x^n}{(x^n\cdot x_1^n)(x-x_1)}

    ונוציא החוצה 1-.
    z'(x)=\lim_{x->x_1}-\frac{x^n-x_1^n}{x^n\cdot x_1^n(x-x_1)}
    נסדר קצת...
    z'(x)=\lim_{x->x_1}-\frac{1}{x\cdot x_1}\frac{x^n-x_1^n}{x-x_1}
    נפעיל את הגבול. הביטוי שקיבלנו בשבר הימני שקול לביטוי (x^n)' עבור מספרים טבעיים (הוכחנו כבר!)
    אם כך,
    z'(x)=-\frac{1}{x_1^n\cdot x_1^n}\cdot(x_1^n)'

    z'(x)=-\frac{1}{x_1^{2n}}\cdot(x_1^n)'

    נפתח את הביטוי (x^n)' לפי מה שהוכחנו:
    z'(x)=-\frac{1}{x_1^{2n}}\cdot nx_1^{n-1}
    לפי חוקי חזקות
    z'(x)=-nx^{n-1-2n}

    z'(x)=-nx^{-n-1}
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    ([f(x)]^{-n})'=-n\cdot [f(x)]^{-n-1}\cdot f'(x)
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 21:46
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  12. #12
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ד. נגזרת של חזקה עם מעריך רציונאלי /נגזרת של שורש שאינו ריבועי / נגזרת של חזקה עם שבר:
    תהי z(x)פונקציה המקיימת z(x)=\sqrt[m]{x^n} ונרצה למצוא את הנגזרת שלה.
    בהסתמך על חוקי חזקות, ניתן לכתוב את הפונקציה גם כך:
    z(x)=x^{\frac{n}{m}}
    דרך א':
    נעלה את שני אגפים המשוואה בחזקת m:
    [z(x)]^m=x^n
    וכעת נגזור את שני האגפים:
    m[z(x)]^{m-1}\cdot z'(x)=n\cdot x^{n-1}
    נבודד את z'(x)
    z'(x)=\frac{nx^{n-1}}{m[z(x)]^{m-1}}
    נציב חזרה את z(x):
    z'(x)=\frac{n\cdot x^{n-1}}{m [x^{\frac{n}{m}}]^{m-1}}
    נסדר מעט...
    z'(x)=\frac{n}{m}\cdot \frac{x^{n-1}}{[x^{\frac{n}{m}}]^{m-1}}
    בהסתמך על חוקי חזקות:
    z'(x)=\frac{m}{n}\cdot \frac{x^{n-1}}{x^{\frac{n}{m}(m-1)}}
    נעזר שוב בחוקי חזקות:
    z'(x)=\frac{n}{m}\cdot x^{n-1-\frac{n}{m}(m-1)}
    ונפתח במעריך:
    z'(x)=\frac{n}{m}\cdot x^{n-1-n-\frac{n}{m}}

    z'(x)=\frac{n}{m}\cdot x^{\frac{n}{m}-1}

    ובהסתמך על חוקי חזקות, נוכל לרשום זאת כך.
    z'(x)=\frac{n}{m}\cdot x^{\frac{n-m}{m}}

    z'(x)=\frac{n}{m}\cdot x\sqrt[m]{x^{n-m}}
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    ([f(x)]^{\frac{m}{n}})'=\frac{m}{n}\cdot [f(x)]^{\frac{m}{n}-1}\cdot f'(x)=f'(x)\sqrt[m]{[f(x)]^{n-m}}
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 04-08-2012 בשעה 00:01
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  13. #13
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ה. נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
    על מנת שנוכל להוכיח את הנגזרות הללו, נצטרך להוכיח קודם כל את הטענה הבאה: \lim_{x->0} \frac{sin(x)}{x}=1.
    זהו גבול מפורסם מאוד והוא שימושי מאוד (ואף דיי נחוץ) ברוב ההוכחות בחדו"א של פונקציות טריגונומטריות.
    חשוב לחזור על מעגל היחידה לפני שמוכיחים את הגבול...כתבתי פעם הסבר קצר בנוגע למעגל היחידה (זהו הסבר קצר, לא סיכום מקיף, אך הוא יכול להספיק להבנת ההוכחה).
    https://www.emath.co.il/forums/%D7%A9...htm#post332636.
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    נסתכל על מעגל היחידה ועל זווית \alpha הנמצאת ברביע הראשון (הזווית נמדדת ברדיאנים). ראשית הצירים תסומן ב-O, נקודת החיתוך של הרדיוס עם המעגל תסומן בA והחיתוך של האנך מנקודה זאת לציר x יסומן ב-B.
    נעלה משיק למעגל מנקודת החיתוך החיובית של מעגל היחידה (תסומן ב-C). נמשיך את הישר OB מהצד של B עד לחיתוך של הישר עם המשיק בנקודה D.
    שרטוט מצורף.
    הוכחת גבול.jpg
    משיקולי מעגל היחידה מתקיימים הגדלים הבאים: AO=1,OC=1,OB=cos(\alpha),AB=sin(\alpha)
    ולמה CD=tan(\alpha)?

    ואחרי התלאות הללו, נוכיח את שתי נוסחאות הגזירה.
    נעזר בהרחבה הראשונה של משפט תאלס. הישרים AB וDC מקבילים זה לזה,בין היתר, בהסתמך על המשפט "רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה".
    מכאן,
    \frac{OB}{OC}=\frac{AB}{DC}
    נציב סימונים:
    \frac{cos(\alpha)}{1}=\frac{sin(\alpha)}{DC}

    cos(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{DC}

    DC=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}

    DC=tan(\alpha)

    מכאן, ההוכחה מתפצלת לשתי שיטות.
    א. הוכחה לפי אורכים:
    אורכה של הקשת AC הוא כגודל הזווית המרכזית עליה היא נשענת.
    נזכור שהזווית אלפא נמדדת ברדיאנים.
    על כן, אורך הקשת AC הוא \alpha.
    נחבר את A ואת C. משולש ABC הוא ישר זווית (AB אנך לOC) וAC הוא היתר במשולש. על כן,
    AC>AB
    AC>sin(\alpha)
    מאידך,
    \overbrace{AC}>AC
    (המרחק הקטן ביותר בין שתי נקודות הוא הישר המחבר בינהן).
    משני הקודמים:
    sin(\alpha)\leq \overbrace{AC}
    מנימוקים דומים:
    \overbrace{AC}\leq tan(\alpha)
    על כן, ניתן לאחד את אי השוויונות ולקבל:
    sin(\alpha)\leq \overbrace{AC}\leq tan(\alpha)
    ונציב את אורך הקשת AC.
    sin(\alpha)\leq \alpha \leq tan(\alpha)
    נחלק את אי השוויון השמאלי באלפא.
    sin(\alpha)\leq \alpha

    \frac{sin(\alpha)}{\alpha}\leq 1

    נפתח את אי השוויון הימני:
    \alpha\leq tan(\alpha)

    \alpha\leq \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}
    נחלק באלפא, נכפיל בקוסינוס אלפא:
    cos(\alpha)\leq \frac{sin(\alpha)}{\alpha}

    נאחד את אי השוויונים שוב.
    cos(\alpha)\leq \frac{sin(\alpha)}{\alpha} \leq 1

    נרצה לחשב את הגבול של אלפא באפס.
    לפיכך,
    \lim_{\alpha->0} cos(\alpha)\leq \lim_{\alpha->0}\frac{sin(\alpha)}{\alpha} \leq \lim_{\alpha->0}1
    כמובן, שהגבול הימני הוא 1.
    מתקיים גם,
    \lim_{\alpha->0} cos(\alpha)=1
    ולכן,
    1\leq \lim_{\alpha->0}\frac{sin(\alpha)}{\alpha} \leq 1

    מכאן, משתמשים בכלל הסנדוויץ' (דיי מצחיק, לא?)- אם משהו קטן שווה ל1, ומשהו גם גדול שווה ל1, הרי שהוא שווה ל1.
    \lim_{\alpha->0}\frac{sin(\alpha)}{\alpha}=1

    ב.הוכחה באמצעות שטחים:
    שטח המעגל כולו הוא \pi (אנו במעגל היחידה מודדים ברדיאנים, והרדיוס של מעגל היחידה הוא כמובן 1). הגזרה הנשענת על x מהווה \frac{x}{2\pi} מהיקף המעגל, ולכן שטחה הוא \frac{x}{2}.
    אם קשה קצת להבין...נוסחא לשטח גזרה ברדיאנים הוא:
    S_{\overbrace{AC}}=\frac{R^2 \cdot \alpha}{2},והרי הרדיוס הוא 1.
    שטח המשולש AOC הוא:
    S_{\Delta AOC}=\frac{AB\cdot CO}{2}=\frac{sin(\alpha)\cdot 1}{2}
    שטח המשולש ODC הוא:
    S_{\Delta AOD}=\frac{DC\cdot CO}{2}=\frac{tan(\alpha)}{2}.
    המשולש AOC מוכל בגזרה AC, המוכלת במשולש AOD.
    מכאן,
    S_{\Delta AOC}\leq S_{\overbrace{AC}}\leq S_{\Delta AOD}
    לכן,
    \frac{sin(\alpha)}{2}\leq \frac{\alpha}{2} \leq \frac{tan(\alpha)}{2}

    sin(\alpha) \leq  \alpha \leq tan(\alpha)

    מכאן, ממשיכים כמו בדרך א'

    אם עקבתם אחרי שתי ההוכחות, יכולתם לשים לב לבעיה טכנית בשתי ההוכחות, עליה תוכלו לקרוא בבלוג של גדי אלכסנדרוביץ' באתר "לא מדוייק"-מומלץ בחום (: הונאה מעבר לגבול | לא מדויק
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    לאחר שהוכחנו את הגבול-נחזור להוכחה המקורית.
    א. הנגזרת של סינוס:
    תהי הפונקציה z(x) המקיימת z(x)=sin(x), ונרצה למצוא את הנגזרת שלה.
    ע"פ הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{sin(x)-sin(x_1)}{x-x_1}
    נעזר בנוסחא להפרש סינוסים:
    sin(\alpha)-sin(\beta)=2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})
    (אם יהיה לי זמן, אוכיח אותה מתישהו).
    מכאן,
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{2sin(\frac{x-x_1}{2})cos(\frac{x+x_1}{2})}{x-x_1}
    נסדר קצת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1}{2\cdot \frac{\sin(\frac{x-x_1}{2})}{x-x_1}\cdot \cos(\frac{x+x_1}{2}})

    נעזר בגבול שהוכחנו (שכמובן, תקף גם למקרה הזה) ונפעיל את הגבול:
    z'(x_1)=2\cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(\frac{x+x_1}{2})

    z'(x_1)=\cos(\frac{2x_1}{2})

    z'(x_1)=\cos(x_1)

    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    [sin(f(x)]'=cos(f(x))\cdot f'(x)

    ב. הנגזרת של קוסינוס:
    דרך א'
    ע"פ הגדרת הנגזרת.
    תהי הפונקציה z(x) המקיימת z(x)=cos(x), ונרצה למצוא את הנגזרת שלה.
    ע"פ הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{cos(x)-cos(x_1)}{x-x_1}
    נעזר בנוסחא להפרש קוסינוסים:
    cos(\alpha)-cos(\beta)=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})
    נקבל:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{-2\sin(\frac{x+x_1}{2})sin(\frac{x-x_1}{2})}{x-x_1}
    נסדר בצורה הבאה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1}{-2\cdot \frac{\sin(\frac{x-x_1}{2})}{x-x_1}\cdot \sin(\frac{x+x_1}{2}})
    נפעיל את הגבול ונעזר בגבול שהוכחנו (התקף גם כאן)
    z'(x_1)=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot sin(\frac{x_1+x_1}{2}

    z'(x_1)=-1\cdot sin(\frac{2x_1}{2}

    z'(x_1)=-sin(x_1)

    דרך ב'
    נובעת בעיקר מזהויות טריגונומטריות... ועל הידיעה של הנגזרת של פונקציית הסינוס וכלל השרשרת.
    נסתמך למשל על הזהות
    1-sin^2(x)=cos^2(x)
    נגזור את שני האגפים:
    -2sin(x)(sin(x))'=(cos^2(x))'

    -2sin(x)cos(x)=(cos^2(x))'

    -2sin(x)cos(x)=2cos(x)(cos(x))'

    ואם נצמצם:
    (cos(x))'=-sin(x)
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    [cos(f(x)]'=-sin(f(x))\cdot f'(x)

    ג. הנגזרת של טנגנס:
    דרך א':
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת.
    תהי הפונקציה z(x) המקיימת z(x)=tan(x), ונרצה למצוא את הנגזרת שלה.
    ע"פ הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{z(x)-z(x_1)}{x-x_1}
    נציב את z(x):
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{tan(x)-tan(x_1)}{x-x_1}
    נציב:
    tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}

    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{\frac{sin(x)}{cos(x)}-\frac{sin(x_1)}{cos(x_1)}}{x-x_1}
    מכנה משותף במונה,
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{\frac{sin(x)cos(x_1)-sin(x_1)cos(x)}{cos(x)cos(x_1)}}{x-x_1}
    המכנה יורד מטה:
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{sin(x)cos(x_1)-sin(x_1)cos(x)}{cos(x)cos(x_1)(x-x_1)}
    נסדר קצת (בין היתר, בהסתמך על הנוסחא לסכום והפרש זוויות)
    z'(x)=\lim_{x->x_1} \frac{1}{cos(x)cos(x_1)}\cdot \frac{sin(x-x_1)}{x-x_1}
    נפעיל את הגבול ונעזר בגבול שהוכחנו למעלה.
    z'(x_1)=\frac{1}{cos(x_1)cos(x_1)} \cdot 1
    z'(x_1)=\frac{1}{cos^2(x_1)}

    דרך ב':

    בהסתמך על הנגזרות של סינוס וקוסינוס, ונגזרת מנה.
    z(x)=tan(x)

    z(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}

    נגזור,
    z'(x)=\frac{cos(x)cos(x)-sin(x)\cdot -sin(x)}{cos^2(x)}

    z'(x)=\frac{cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)}{cos^2(x)}

    z'(x)=\frac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)}

    והרי במונה זוהי הזהות הפיתגוראית...sin^2(x)+cos^2(x)=1
    ולכן,
    z'(x)=\frac{1}{cos^2(x)}

    דרך ג':
    בהסתמך על זהויות וידיעת הנגזרות הקודמות, ניתן להגיע לנגזרת של פונקציית הטנגנס.
    למשל,
    1+tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
    נגזור את שני הצדדים,
    2tan(x)\cdot (tan(x))'=-\frac{(cos^2(x))'}{cos^4(x)}

    2tan(x)\cdot (tan(x))'=-\frac{2cos(x)\cdot -sin(x)}{cos^4(x)}

    2tan(x)\cdot (tan(x))'=+\frac{2cos(x)sin(x)}{cos^4(x)}

    tan(x)\cdot (tan(x))'=+\frac{cos(x)sin(x)}{cos^4(x)}
    נפתח בצד שמאל, נצמצם בצד ימין:
    \frac{sin(x)}{cos(x)} \cdot (tan(x))'=+\frac{sin(x)}{cos^3(x)}
    נצמצם ונקבל:
    (tan(x))'=+\frac{1}{cos^2(x)}
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    [tan(f(x)]'=\frac{f'(x)}{cos^2(f(x))}
    --------------------------------------------------------------------------------------
    הערה: קיימות פונקציות טריגונומטריות רבות. למשל,
    cot(x)=\frac{1}{tan(x)} \  \ sec(x)=\frac{1}{cos(x)} \ \ csc(x)=\frac{1}{sin(x)}
    כמובן, שלא אוכיח אותן (ב3 דרכים שונות) כל אחת. אתם מוזמנים לעשות זאת (:
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 21:52
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  14. #14
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ו. נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית
    אם תשאלו תלמיד בכיתה ח', ט', י או יא' מהו פאי (\pi) הוא ידקלם את הגדרתו: "היחס בין היקף המעגל לקוטרו", או ישיב "קבוע מתמטי". לעומת זאת, אם תשאלו את אותם התלמידים מהו e, הם לא ישיבו דבר.
    המצב הנוכחי הוא שתלמידים נחשפים לקבוע e רק בכיתה יב', ולו, כמו לפאי, תכונות חשובות רבות. הקבוע הנ"ל הוא פתרונן של בעיות בהסתברות, בתחומים רבים במתמטיקה, באנליזה, בבעיות גידול ודעיכה, בתחומי בנקאות ועוד ועוד...אך, רבים אינם מכירים את הקבוע הנ"ל.
    בחלקה הראשון של ההודעה אוכיח כיצד נתגלה אותו הקבוע, ובחלקה השני, אוכיח את הנגזרת של הפונקציה.
    א. מציאת ערכו של e:
    נסתכל על משפחת הפונקציות f(x)=a^x (כלומר, פונקציות כמו f(x)=a^xf(x)=2^x, f(x)=6^x, f(x)=99^x). נשים לב שכל הפונקציות ממשפחה זאת חותכות את ציר ה-y בנקודה קבועה,(0,1).
    נרצה להעביר משיק לגרף הפונקציה הזו בנקודה בה x=0 (נקודת החיתוך של כל הפונקציות השייכות למשפחה).
    נבחר בפונקציה f(x)=2^x ונעביר לה משיק בנקודה x=0; אם נמדוד את שיפוע המשיק לפונקציה נקבל ששיפועו הוא בערך 0.69. הזווית שהמשיק יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה-x היא בת 34.7 מעלות.
    נבחר כעת בפונקציה f(x)=3^x ונעביר לה משיק בנקודה x=0;אם נמדוד את שיפוע המשיק לפונקציה נקבל ששיפועו הוא בערך 1.09. הזווית שהמשיק יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה-x היא בת 47.6 מעלו.
    מהדוגמאות למעלה, עולה שקיימת פונקציה, בה הבסיס הוא בין 2 ל3, שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=0 הוא 1, והזווית שהוא יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה-x היא 45 מעלות.
    (הערה: הקשר בין הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-x ובין השיפוע הוא הקשר \tan(\alpha)=m. הסיבה לכך פשוטה. ניתן להוריד מהישר אנך לציר ה-x. הגדרת הטנגנס במשולש ישר זווית היא היחס בין הניצב מול הזווית לבין הניצב ליד הזווית, והרי הניצב מול הזווית הוא ערך ה-y שלו, והניצב ליד הזווית הוא ערך ה-x שלו; בנוסף, היחד בינהם הוא שיפוע הישר, ולכן מתקיים הקשר).

    נסמן את הבסיס הנ"ל ב-e. ע"פ ההגדרה שלנו, אנו רוצים לדרוש ששיפוע הישר לפונקציה f(x)=e^x בנקודה (0,1) יהיה 1.
    נזכר בהגדרת הנגזרת שלנו ובמשמעותה-זוהי דרך למצוא את נגזרתה של פונקציה באמצעות נקודה אחת בלבד, על כן, נעזר בהגדרת הנגזרת ונביע את שיפוע הפונקציה בנקודה (0,1).

    m=\lim_{x->x_1} \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}
    בסימון x-x_1=h אותו ציינתי בתחילת האשכול. נובע מסימון זה x=h+x_1.
    נציב זאת בנגזרת:
    m=\lim_{h->0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}
    נציב את הפונקציה f(x):
    m=\lim_{h->0} \frac{e^{x_1+h}-e^{x_1}}{h}
    אך אנו רוצים את השיפוע בנקודה (0,1), על כן, x_1=0. נציב זאת בגבול.
    m=\lim_{h->0} \frac{e^{0+h})-e^{0}}{h}

    m=\lim_{h->0} \frac{e^h-1}{h}

    לפי דרישתנו, המשיק לפונקציה בנקודה זאת צריך להיות 1. על כן,m=1.
    נציב זאת בגבול:
    1=\lim_{h->0} \frac{e^h-1}{h}
    נבודד הביטוי e^h:
    \lim_{h->0} h=\lim_{h->0} e^h-1

     \lim_{h->0} h+1=\lim_{h->0} e^h
    וכעת, נוציא שורש מסדר h לשני האגפים.
     \lim_{h->0}\sqrt[h]{h+1}=\lim_{h->0} e

     \lim_{h->0}\sqrt[h]{h+1}=e

    בעזרת חוקי חזקות, נעביר את הביטוי לצורה מוכרת יותר.
     \lim_{h->0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=e
    אם נסמן m=\frac{1}{h} נקבל ביטוי מוכר יותר.
     \lim_{m-> \infty}(1+\frac{1}{m})^{m}=e
    והרי הסימון הראשוני שלנו אינו משנה (יכולנו לסמן m\to 0,z\to 0\ Q\to 0 בנגזרת... ולכן, ניתן לכתוב את הביטוי בצורה הבאה.
    \lim_{h->\infty}{(1+\frac{1}{h})^h}=e
    כעת, הצבה של מספרים גדולים ככל היותר תניב ערך מדוייק יותר לe-הרי המספר הנ"ל הוא תוצאה של גבול.
    בדיוק כמו \pi, גם e הוא מספר אי רציונאלי (שלא ניתן לכתיבה ע"י יחס בין זוג מספרים) וגם מספר טרנסצנדנטי (לא פתרון של משוואה בה המקדמים הם רציונאלים. למשל, \sqrt{2} אינו מספר טרנסצנדנטי כיוון שהוא פתרון המשוואה  2-x^2=0). כמו \pi, גם ספרות המספר e אינן נתנות לחיזוי (בניגוד, למשל, למספר 0.12341234...)-כלומר, המספר אינו מחזורי.
    בנוסף, כמו \pi, גם כעת אנשים מתחרים על מציאת יותר ויותר ספרות של e וקיימים אתרים המציגים מאות,אלפי ומאות אלפי ספרות של e, לדוגמא, באתר הבא:
    http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil.
    נסתפק בקירוב e=2.7182 (אתם מוזמנים לקחת את המחשבון ולהציב מספר גדול בנוסחא שהוכחנו, ולמצוא יותר ויותר ספרות של e בקירובים ההולכים ונעשים טובים יותר ויותר).
    כמובן שe הוא מספר אינסופי, ורק אם נמשיך את הפעולה באופן אינסופי נוכל לקבל את ערכו המדוייק...אבל איו ביכולתנו לעשות זאת...
    בידיעת המספר e, נעבור להוכחת הנגזרת.
    ב. הוכחת הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית:
    תהי הפונקציה z(x) פונקציה המקיימת z(x)=e^x, ונרצה למצוא את נגזרתה.
    ע"ס הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{h->0} \frac{z(x_1+h)-z(x_1)}{h}
    נציב את הפונקציה z(x)=e^x.
    z'(x)=\lim_{h->0} \frac{e^{x_1+h}-e^{x_1}}{h}
    בהסתמך על חוקי חזקות:
    z'(x)=\lim_{h->0} \frac{e^{x_1}\cdot e^{h}-e^{x_1}}{h}
    נוציא גורם משותף:
    z'(x)=\lim_{h->0} e^{x_1}\cdot \frac{e^h-1}{h}
    נפעיל את הגבול, והרי, הביטוי הימני הוא הנגזרת של הפונקציה e^x בנקודה x=0-ערך שהוא 1 (ובכך למעשה הסתמכנו במציאת גודלו של הקבוע e-ניתן לראות בחלק א')
    לכן,
    z'(x)=e^{x_1}\cdot 1

    z'(x)=e^{x_1}

    כלומר, נגזרת הפונקציה z(x)=e^x היא למעשה הפונקציה עצמה e^x-וזוהי למעשה הפונקציה היחידה המקיימת תנאי זה.
    באוניברסיטה, כאשר לומדים לפתור משוואות דיפרנציאליות (משוואות המערבות נגזרות ואינטגרלים), עושים שימוש בעובדה זאת, ופתרון המשוואה f(x)=f'(x) הוא f(x)=e^x.

    ואם אתם מתמטיקאים, כנראה ששמעתם את הבדיחה הבאה:
    מתמטיקאי משוגע נכנס לבית משוגעים עם זוג מספריים ביד. הוא עובר חדר חדר בבית המשוגעים וצועק על כל הפונקציות "אני הולך לגזור אתכן!!!" הפונקציות בורחות מהחדרים ונסות מביתה משוגעים בבהלה. המתמטיקאי רואה שהחדרים ריקים, מלבד חדר אחד, ובו אחת הפונקציות ישנה.
    הוא ניגש אל הפונקציה ושואל אותה:"את אינך מפחדת? אמרתי שאני אגזור אותך!". ענתה לו הפונקציה "אני e^x..."
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    (e^{f(x)})'=e^{f(x)}\cdot f'(x)
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 21:50
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

  15. #15
    הסמל האישי שלDmot צוין לשבח חבר Emath בכיר

    פרטי משתמש

    ברירת מחדל

    ז. נגזרת של פונקציה מעריכית (המשתנה מופיע במעריך)
    פונקציה מעריכית היא מקרה כללי של הפונקציה האקספוננציאלית, z(x)=e^x, וצורתה היא z(x)=a^x.
    זוהי אחת מההוכחות היחידות בהן לא אשתמש בהגדרת הנגזרת כדי להוכיח את נגזרת הפונקציה. אבל, מה שכן אעשה, היא לאחר שאוכיח את נגזרת הפונקציה בדרך אחרת, אראה משהו מעניין בעזרת הגדרת הנגזרת...
    נסתמך על הזהות הבאה:
    e^{\ln{a}}=a
    על כן, ניתן לכתוב את הפונקציה z(x)=a^x גם בצורה הבאה:
    z(x)=(e^{\ln{a}})^x
    בהסתמך על חוקי חזקות,מתקיים:
    z(x)=e^{x\ln{a}}.
    כעת, נגזור את שני האגפים לפי x:
    z'(x)=(e^{xln(a)})'\cdot (\ln(a)
    והרי הנגזרת של הפונקציה e^x היא הפונקציה עצמה...
    z'(x)=e^{xln(a)}\cdot \ln{a}
    נסדר את הביטוי שקיבלנו לפי חוקי החזקות:
    z'(x)=(e^{ln(a)})^x \cdot \ln{a}
    ובהסתמך על הזהות המופיע בראשית ההודעה נקבל:
    z'(x)=a^{x} \ln{a}

    זהו המקרה הכללי של הפונקציה המעריכית (אותו הוכחנו באמצעות מקרה פרטי). צריך לבדוק אם המקרה הכללי מכיל בתוכו את המקרה הפרטי-אחרת, נתקלנו בסתירה.
    נעשה זאת.
    תהי הפונקציה z(x} פונקציה המקיימת z(x)=e^x ונרצה לבדוק את נגזרתה.
    ע"פ חוק הגזירה שהוכחנו:
    z'(x)=e^{x} \ln{e}
    והרי הלוגוריתם הטבעי מוגדר עבור בסיס e, ולכן, ln(e)=1. על כן, נגזרת הפונקציה שלנו היא
    z'(x)=e^x \cdot 1 \\ z'(x)=e^{x}
    כמובן, שמה שעשינו הוא בסה"כ בדיקה. לא יכולנו להוכיח את הנגזרת של הפונקציה z(x)=e^x באמצעות הגזירה הנ"ל, כי למעשה הסתמכנו על הגזירה הזו כשמצאנו את הנגזרת של z(x)=a^x...

    כעת, נסתכל על הגדרת הנגזרת של הפונקציה.
    תהי הפונקציה z(x) פונקציה המקיימת z(x)=a^x ונרצה לבדוק את נגזרתה.
    בהסתמך על הגדרת הנגזרת:
    z'(x)=\lim_{h\to 0} {\frac{z(x_1+h)-z(x_1)}{h}}
    נציב את הפונקציה z(x}:
    z'(x)=\lim_{h\to 0} {\frac{a^{x_1+h}-a^{x_1}}{h}}
    נוציא גורם משותף:
    z'(x)=\lim_{h\to 0} a^{x_1}\cdot {\frac{a^{h}-1}{h}}
    כעת, נוציא את הביטוי השמאלי מחוץ לסוגריים, כיוון שאינו תלוי ב-h.
    z'(x)=a^{x_1}\cdot \lim_{h\to 0}{\frac{a^h-1}{h}
    נשים לב שבצד ימין אנו מקבלים ביטוי שאינו תלוי ב-x ותלוי רק בa וב-h.
    מהו אותו ביטוי?
    נחזור לנגזרת שמצאנו בחלקו הראשון של האשכול.
    z'(x)=a^{x} \ln{a}
    נציב אותה במקום הביטוי משמאל (ונהפוך את x_1 לx כללי...)
    a^{x}\cdot \ln{a}=a^{x}\cdot \lim_{h\to 0}{\frac{a^h-1}{h}
    הפונקציה המעריכית אינה מתאפסת לעולם (הדבר נובע מהעובדה שהישר y=0,כלומר, ציר x,הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה).
    לכן,נוכל לצמצם אותה בשני צדי המשוואה.
    \ln{a}=\lim_{h\to 0}{\frac{a^h-1}{h}
    וזהו למעשה כלי יעיל לחישוב פונקציית הln של מספר. במחשבונים בהם לא קיימת הפונקציה, ואנו רוצים למצוא את ערכו של ln, נוכל להשתמש בזהות הבאה, ולהציב מספר קטן כרצוננו.
    חלק מהמחשבונים משתמשים בזהות הזו על מנת לחשב את הערך המוצג במחשבון (:
    כמובן, שלעולם לא נוכל לקבל את הערך המדוייק של הביטוי, כיוון שאנו צריך h המתקרב מאוד ל-0. אך, ניתן להשיג קירובים מספיקים ככל שנבחר h קטן יותר.
    -
    בהסתמך על פונקציה מורכבת וכלל השרשרת, נקבל את נוסחת הגזירה הבאה:
    (a^{f(x)})'=a^{f(x)}\cdot f'(x)\cdot ln(a)
    נערך לאחרונה על ידי Dmot, 03-08-2012 בשעה 21:53
    בברכה, תומר
    -עזרו לך? תן פידבק!-

עמוד 1 מתוך 3 1 2 3 אחרוןאחרון

מידע אודות האשכול הנוכחי

Users Browsing this Thread

כרגע 1 משתמשים צופים באשכול זה. (0 חברים ו 1 אורחים )

ביקרו באשכול זה : 1

הרשאות

  • אתה לא יכול לפרסם אשכולות חדשים
  • אתה לא יכול לפרסם תגובות
  • אתה לא יכול לצרף קבצים להודעותיך
  • אתה לא יכול לערוך את הודעותיך
  •  
אודות Emath
האתר Emath הינו יוזמה פרטית והוקם בתחילת שנת 2008 .
מטרתנו הינה למנף את הישגי התלמידים למתמטיקה ופיסיקה בארץ בכלל ובפרט בקרב תלמידי התיכון .
אנו מספקים מספר שירותים לתלמיד, ביניהם גישה למאות אלפי פתרונות איכותיים לתרגילים, פורום עזרה במתמטיקה ופיסיקה הגדול מסוגו בארץ, מאגר סיכומים, מרתונים בוידאו, פתרונות לבגרויות ועוד.
כלים אלו, מאפשרים לכל אחד, ללא תלות במיקומו, ללמוד, לתרגל ולהתמקצע על-מנת להתכונן בצורה מיטבית לבגרות במתמטיקה או פיסיקה .

לכל שאלה ניתן ליצור איתנו קשר
הצטרפו אלינו