PDA

צפה בגרסה המלאה : חידה - חלוקה בעצרת



עשהאל
28-06-2008, 20:54
בס"ד

x הוא מכפלה של n מספרים טבעיים עוקבים.
הוכיחו ש-x מתחלק בעצרת של n.

chenfire
28-06-2008, 20:56
ממש לא מובן הכוונה...לפי השורה הראשונה:
qq x=n! qq
אז ברור ש :
x/n!=1

אריאל
28-06-2008, 21:30
חן ,
x=5*6*7*8*9
n=5
הוכח ש x מתחלק ב 5!

talikag
28-06-2008, 22:05
מה ז"א? זה ברור מאליו.
x הוא מכפלה של n מספרים טבעיים עוקבים. ברור שאם יש n מספרים עוקבים, אחד מהם יתחלק ל-n. אם יש n מספרים עוקבים יש בין השאר n-1 מספרים עוקבים, אז יש גם לפחות מספר אחד שמתחלק ב-n-1, וכך הלאה עד ל-1.
מכאן ש-x מתחלק לn!.

ani100
28-06-2008, 23:12
מה ז"א? זה ברור מאליו.
x הוא מכפלה של n מספרים טבעיים עוקבים. ברור שאם יש n מספרים עוקבים, אחד מהם יתחלק ל-n. אם יש n מספרים עוקבים יש בין השאר n-1 מספרים עוקבים, אז יש גם לפחות מספר אחד שמתחלק ב-n-1, וכך הלאה עד ל-1.
מכאן ש-x מתחלק לn!.

עשהאל
28-06-2008, 23:26
בס"ד

זה אחד הכיוונים האפשריים, אך זה שגוי, כי לפי הגישה שלכם, גם 3*4 יתחלק ל-4! (3 מתחלק ל-1, 4 מתחלק ל-2, 3 ל-3 ו-4 ל-4).

דני
28-06-2008, 23:52
כיוון קטן :
נקח מקרה א' :
N=1 :
x=5
כלומר עלינו להוכיח ש


5/1! = שלם
, וזה ברור.
עבור N=2
ניקח כל מספר אז נרשום :
x=y1,Y1+1
כאשר או Y1+1 או Y2 זוגי ו-או Y1+1 ואו Y2 אי זוגי
לכן בטוח ש X יתחלק ב N!
מפני ש N! שווה ל N*(N-1)! zzzz
וכך עבור 3 כי גם מפני שאם תתחיל מ1 (את המכפלות של המספרים השווים ל X) אזי תגיע ל 1*2*3 וכך N=3 כלומר 3*(3-1)! ייתחלקו אחד בשני..
וכך עבור 4 וכול' וכול',
כלומר נסכם
אם יש לנו רק מספר אחד, הוכחנו שהוא מתחלק בעצרת N .
עבור כל שני מספרים ומעלה יש מספר אחד זוגי ואחד אי זוגי שחייב להתחלק ב N(מפני עבור N=2 יהיה תמיד מספר שמתחלק ב2 מפני שהכי נמוך שניתן לקחת זה 1,2 עבור N=4 גם המספרים הכי נמוכים שניתן לקחת הם 1*2*3*4 וכך הלאה והלאה) ולכן גם ייתחלק ב N*(n-1) zz .

talikag
29-06-2008, 01:54
בס"ד

זה אחד הכיוונים האפשריים, אך זה שגוי, כי לפי הגישה שלכם, גם 3*4 יתחלק ל-4! (3 מתחלק ל-1, 4 מתחלק ל-2, 3 ל-3 ו-4 ל-4).

יש בזה משהו אבל אנחנו לא מחשיבים שום איבר פעמיים... הרי אם יש n איברים עוקבים, והאיבר האחרון נניח (רק לשם הפשטות, זה יכול להיות גם כל איבר אחר) מתחלק ב-n, אז האיבר שלפניו מתחלק ב-n-1, האיבר שלפניו ב-n-2 וכך הלאה, עד לאיבר הראשון, שמתחלק ב-1 ללא שארית.
אם האיבר שמתחלק ב-n הוא באמצע (או בהתחלה) ולא בסוף, ממשיכים מהסוף כשמגיעים להתחלה.

אה... או שלא P:
אני אחשוב על דרך אחרת.

עשהאל
29-06-2008, 02:35
בס"ד

אמנם מחשיבים חלק מהאיברים פעמיים, אבל הכיוון נכון.

יש כיוון הרבה יותר יפה. ארמוז עליו במילה אחת: קומבינטוריקה.

talikag
29-06-2008, 02:50
ניסיתי עם אינדוקציה. לא ממש הלך לי. נשאר לי להוכיח שהאיבר שמתחלק ב-n+1 מבין n המספרים העוקבים (אם קיים אחד כזה) לא מצטמטם לאחר צמצום ב-n!. אני בטח לא בכיוון...

קומבינטוריקה? איך זה קשור? O_O

עשהאל
03-07-2008, 00:31
בס"ד

רמז: סמנו את המספר הראשון מבין המספרים המוכפלים ב-k. בטאו את המכפלה ע"י k ו-n. מה אומרת העובדה שהמכפלה הזו מתחלקת בעצרת של n? מה ידוע על התשובה לבעיות בקומבינטוריקה? ומהי השאלה הקומבינטורית?

אריאל
03-07-2008, 00:54
x=\frac{k*(k+1)*(k+2)*(k+3)*........*(k+n-1)}{1*2*3*..... * n}

תמיד יהיה מספר במונה שיתחלק במכנה זוגי או אי זוגי (בהתאמה ע"פ n ) מפני שהמכפלה במכנה מתחילה מ1 (המספרים הנמוכים ביותר ) .

או ב"קומבינטוריקה"
אם תיקח כמה ספרות (לא משנה איזה ) מכפלתם תמיד תתחלק במספר הצירופים האפשריים שניתן לעשות איתם .

עשהאל
03-07-2008, 01:14
בס"ד

הטענה הראשונה שלך לא מוכחת, והיא לא מוסיפה על מה שכבר נאמר כאן.
הטענה השנייה שלך שגויה לחלוטין.

אריאל
03-07-2008, 11:14
סליחה צודק כוונתי היתה עבור "כמה ספרות עוקבים" (ולא "לא משנה איזה" ) .
ואני כן חושב שזה מספיק, מפני שעבור כל N>=3, תמיד יהיה מספר זוגי ואי זוגי , ולכן ב2 ייתחלק לבטח, ב1 מתחלק, וחלוקה ל3 ישנם שלושה אפשרויות לשארית 0 1 2 , שאם ישנה, היא תתחלקו במכפלה 1*2*... , ומתחת ל 3,ישנם רק שני אפשרויות N=2 ואז נקבל מספר זוגי ואי זוגי, המספר הזוגי ייתחלק ב 2, ועבור N=1 אין בעיה(חלקי 1! .. ) .

עשהאל
03-07-2008, 13:53
בס"ד

כן, הוכחת עבור N<=3.
אבל אח"כ, (נניח n=4), הוכחת שבמכפלה יש גורם שמתחלק ב-2, יש גורם שמתחלק ב-3, ויש גורם שמתחלק ב-4. לא נובע מכאן שמכפלתם מתחלקת ב-24. (הסתכל על 3*4*5. יש שם גורם שמתחלק ב-2, יש שמתחלק ב-3, ויש שמתחלק ב-4, אך 60 לא מתחלק ב-24).

אתה באחד הכיוונים הנכונים. אני מעדיף את הכיוון הקומבינטורי (ההוכחה הזו יפה מאוד), אבל אתה יכול להמשיך בכיוון שלך.

עשהאל
06-07-2008, 17:43
בס"ד

טוב, אני ארחיב קצת את הרמז:
נניח שהמספר הראשון במכפלה הוא k+1 (אני מעדיף את זה ככה).
אזי המכפלה היא \frac{(k+n)!}{k!}. צריך להוכיח שהדבר הזה מתחלק ב-n!.
כלומר, צריך להוכיח שמספר מסויים הוא שלם. איזה מספר? למה הוא שלם?

TM1992
06-07-2008, 19:29
הביטוי שקיבלנו: !k+n)!/k!n) מייצג למעשה את מספר האפשרויות הקיימות לפיזור k עצמים זהים בתוך n+1 תאים שונים, ולכן מייצג מספר שלם, עפ"י נוסחה בקומבינטוריקה.

עשהאל
06-07-2008, 23:57
בס"ד

יפה מאוד!

אגב, מה המשמעות הקומבינטורית (הקבוצתית) של הטענה?

תלמיד
19-07-2008, 14:55
נראה די פשוט
אם איקב הוא מכפלה של n מספרים עוקבים, אז נניח המספר הכי גדול בכופלים הוא k והמספר הכי קטן הוא L+1
יעני:
L+1)(L+2)(...(k-1)k)
אז זה כאילו !k!/L וזה מה ששווה x
ועוד אנחנו יודעים שk-L=n
לכן !k-L+L)!/L) שזה !n+L)!/L)
שזה !n ולזה שווה x
וכמובן שזה אומר שאיקס מתחלק ב !n
מ.ש.ל

עשהאל
19-07-2008, 21:36
בס"ד

מאיפה הטענה ש-\frac{(n+L)!}{L!} שווה ל-n!?