PDA

צפה בגרסה המלאה : פולינומי לגנדר



haidvash
29-12-2018, 15:31
אהלן , קיבלתי את התרגיל הבא ולא הצלחתי בסעיף 2 להגיע למה שביקשו . לא מבין האם יש קשר לפונקציה יוצרת כאן ? האם עליי להבין חוקיות מסויימת ? אשמח לעזרה בתרגיל זה בפתרון סעיף 2.


45783

ThePrince
31-12-2018, 20:52
נשים לב: $$L_n\left(x\right)=e^x\cdot\left(e^{-x}n!-e^{-x}x^n\right)=n!-x^n!$$

ולכן

$$\int_0^{\infty}e^{-x}\cdot\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)dx$$
נשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים באופן הבא:

\begin{align*}
&\left[u'=e^{-x},v=\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)\right] &\int_{ }^{ }u'v=uv-\int_{ }^{ }uv'
\end{align*}

ונקבל:
$$\int e^{-x}\cdot\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)dx = \\
-e^{-x}\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)-\int_{ }^{ }e^{-x}\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)dx$$

נשים לב שבשני הצדדים יש את אותו אינטגל ולכן נעביר אותו אגף, נבודד ונקבל
$$\int_{}^{}e^{-x}\cdot\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)dx=-\frac{1}{2}e^{-x}\left(n!-x^n\right)\cdot\left(m!-x^m\right)$$
.נציב את הגבולות ונקבל את הפתרון

haidvash
03-01-2019, 11:01
תודה רבה !