PDA

צפה בגרסה המלאה : קומבינטוריקה - מספר מחלקים של מספר



am12348
04-02-2019, 08:24
שלום לכולם

נתון מספר טבעי השווה ל-
$4^{19} \cdot 5^{24}$

יהי N מספר טבעי המחלק את המספר הנ"ל בלי שארית

כמה אפשרויות יכולות להיות ל-N

נשמע כמו שאלה קומבינטורית מסובכת, אבל הדרך לפתרונה יחסית פשוטה

Bogri74
05-02-2019, 17:12
הי, לי יצא 499. האם זאת התשובה?

Yes
05-02-2019, 18:39
התשובה היא $975$.

אפשר לכתוב את המספר בצורה $2^{38} \cdot 5^{24}$, ואז המחלקים היחידים שלו הם כל האפשרויות של חזקות שאפשר לקחת משני המספרים האלה. לכן, אפשר לקחת את $2$ עם $39$ חזקות אפשריות (החל מ-$0$ ועד $38$) ובאותו אופן את $5$ עם $25$ חזקות. לכן מעקרון המכפלה התשובה היא $39\cdot 25=975$.

אריאל
05-02-2019, 22:31
שים לב שחמש בחזקת אפס זה כמו 2 בחזקת אפס

am12348
06-02-2019, 08:10
טוב מאד! גם אני חשבתי על הדרך הזאת

חשוב לציין, שכתיבת 4 בחזקת 19 כ-2 בחזקת 38 היא חשובה. על ידי כתיבה כזאת
אנו מביעים את המספר כמכפלה של גורמים ראשוניים ו"מכסים" את כל המחלקים האפשריים.

בהתחלה חשבתי לפתור את השאלה עם שימוש בשיקולים קומבינטוריים,. למרות שזאת גם דרך נכונה,
היא קצת יותר ארוכה.