PDA

צפה בגרסה המלאה : משהו מאתגר מאולימפיאדה מתמטית



am12348
18-01-2020, 20:50
שבוע טוב,

רצ"ב שאלה מאתגרת שהופיעה באחת האולימפיאדות:

נתון:

$ax+by=5$
$a x^2 + b y^2=10$
$a x^3 + b y^3=50$
$a x^4 + b y^4=130$

צריך לחשב את ערך הביטוי:
$13(x+y-xy)-120(a+b)=?$



אשמח לקרוא הצעות לפתרון

עמוס

avi500
20-01-2020, 13:41
נסמן $c_1=5,c_2=10,c_3=50,c_4=130$ ונסמן גם $c_0=a+b$
ע"י הכפלת 3 המשוואות הראשונות ב $x+y$ ושימוש בכולן, מקבלים 3 משוואות בצורה:
$
(x+y)c_n=c_{n+1}+xyc_{n-1}
$
עבור $n=1,2,3$
נסמן $u=x+y$, $v=xy$, אזי 2 המשוואות עבור $n=2,3$ הן (לאחר צמצום):
$
2u=10+v,5u=13+v
$
שפתרונן $u=1,v=-8$
ומהמשוואה עבור $n=1$:
$
5u=10+vc_0
$
אנחנו מקבלים :
$
c_0=5/8
$
מכאן שערך הביטוי המבוקש הוא:
$
13(u-v)-120c_0=42
$

am12348
22-01-2020, 08:09
יפה מאד!

להלן הצעה לפתרון שלי. הוא מעט שונה, אבל הוא מגיע לאותה תוצאה: 42

אנו נחשב בסעיפים את ערכם של הביטויים הבאים:
$x+y,xy,a+b$



1. נכפיל את המשוואה השנייה ב-x+y



$(ax^2+by^2)(x+y)=10(x+y)$
$\downarrow$
$ax^3+ax^2y+bxy^2+by^3=10(x+y)$
$\downarrow$
$ax^3+by^3+xy(ax+by)=10(x+y)$
לפי הנתון
$ax^3+by^3=50, ax+by=5$
$\downarrow$
$50+5xy=10(x+y)$


2. נכפיל את המשוואה השלישית ב-x+y
$(ax^3+by^3)(x+y)=50(x+y)$


$\downarrow$
$ax^4+ax^3y+bxy^3+by^4=50(x+y)$


$\downarrow$
$ax^4+by^4+ax^3y+bxy^3=50(x+y)$


$\downarrow$


$ax^4+by^4+xy(ax^2+by^2)=50(x+y)$
לפי הנתון
$ax^4+by^4=130,ax^2+by^2=10$


$\downarrow$


$130+10xy=50(x+y)$


3. מכל האמור לעיל יש לנו עכשיו שתי משוואות, שבאמצעותן נחשב את המה שאנו צריכים::

$50+5xy=10(x+y)$
$130+10xy=50(x+y)$


נמצא את ערכו של x+y

נחסיר מהמשוואה השנייה את פעמיים המשוואה הראשונה כדי לבטל את האיבר xy
$130+10xy-2(50+5xy)=50(x+y)-2 \cdot 10(x+y)$


$\downarrow$


$130+10xy-100 -10xy=50x+50y-20x-20y$


$\downarrow$


$30=30x+30y=30(x+y)$


4. נחלק את שני האגפים ב-30 נקבל:
$x+y=1$

5. נרצה לדעת את ערכו xy.

נציב במשוואה הראשונה
$50+5xy=10(x+y)$
את ערכו של x+y שחישבנו בסעיף הקודם-ערכו 1, נקבל:
$50=5xy=10(x+y) \to 50+5xy=10 \cdot 1=10 \to 5xy=10-50=-40 \to xy=-8$



6. ננסה למצוא את ערך הביטוי: a+b. נכפיל את המשוואה הראשונה ax+by ב-x+y
$(ax+by)(x+y)=5(x+y)$

$\downarrow$

$ax^2+axy+bxy+by^2=5(x+y)=5 \cdot 1=5$

$\downarrow$

$ax^2+by^2+axy+bxy=5$

$\downarrow$

$ax^2+by^2+xy(a+b)=5$
נתון כי
$ax^2+by^2=10$

$\downarrow$

$10+xy(a+b)=5$
אבל מצאנו בסעיף 5 כי ערך הביטוי xy הוא 8-, לכן
$10+(-8)(a+b)=5\to(-8)(a+b)=5-10=-5 \to a+b=\frac{5}{8}$


7. נציב בערך הביטוי, אותו אנו צריכים לחשב, את הערכים שחישבנו בסעיפים הקודמים:

$13(x+y-xy)-120(a+b)$

$x+y=1, xy=-8, a+b=\frac{5}{8}$


$\downarrow$
ונקבל את המבוקש

$13(1-(-8))-120\cdot \frac{5}{8} = 13\cdot 9-75 =117-75=42$
בברכה,
עמוס

ThePrince
22-01-2020, 10:51
נסמן $c_1=5,c_2=10,c_3=50,c_4=130$ ונסמן גם $c_0=a+b$
ע"י הכפלת 3 המשוואות הראשונות ב $x+y$ ושימוש בכולן, מקבלים 3 משוואות בצורה:
$
(x+y)c_n=c_{n+1}+xyc_{n-1}
$
עבור $n=1,2,3$
נסמן $u=x+y$, $v=xy$, אזי 2 המשוואות עבור $n=2,3$ הן (לאחר צמצום):
$
2u=10+v,5u=13+v
$
שפתרונן $u=1,v=-8$
ומהמשוואה עבור $n=1$:
$
5u=10+vc_0
$
אנחנו מקבלים :
$
c_0=5/8
$
מכאן שערך הביטוי המבוקש הוא:
$
13(u-v)-120c_0=42
$

אבי אשמח אם תוכל לפרט על מה שעשית (זה לא קריא). מה הקשר בין $c_n$ למשוואה ה-$i$-ית?

avi500
22-01-2020, 14:03
המשוואות הן
$
ax+by=5\\
ax^2+by^2=10\\
ax^3+by^3=50\\
ax^4+ay^4-130
$
נסמן את האיבר בצד ימין ב- $c_n$ כאשר $n$ הוא האינדקס לפי סדר המשוואות המופיע כאן:
$
ax+by=c_1\\
ax^2+by^2=c_2\\
ax^3+by^3=c_3\\
ax^4+ay^4-c_4
$
נכפיל לדוגמה את המשוואה הראשונה ב (x+y):
$
c_1(x+y)=(ax +by )(x+y)=ax^2+by^2+xy(a +b )=c_2+xyc_0
$
כאשר השתמשנו בהגדרות של ה- $c_n$ ובמשוואה השנייה בסדר, וכן הגדרנו $a+b=c_0$

כאשר מפעילים שיטה דומה גם על המשוואה השנייה והשלישית (ובאחרונה משתמשים ברביעית) , מקבלים את 3 המשוואות שציינתי בפוסט הראשון:
$(x+y)c_n=c_{n+1}+xyc_{n-1}
$
עבור $n=1,2,3$
ההמשך כפי שכתבתי למעלה.
צורה זו ממחישה שניתן גם לפתור עבור מערכת דומה גם מסדר גבוה יותר.