PDA

צפה בגרסה המלאה : בעיה בגיאמטריה



DANs
22-07-2008, 13:14
ABCD מלבן
נתון: DE=EC

א.הוכח : AE=BE

ב.נתון : זווית AEB =60
הוכח: משולש MNE משולש שווה צלעות

ג.נתון זווית DEC=120
הוכח: DM=MN=NC

dafnaw
22-07-2008, 13:38
סעיף א'

נתון כי ABCD הוא מלבן ולכן כל זוג צלעות נגדיות שוות באורכן, ובפרט AD = BC. כמו כן כל זויותיו ישרות.
נתון כי DE = EC ולכן משולש DEC הוא משולש שווה שוקיים, ולכן זויות הבסיס שלו שוות.
מכאן כי זוית ADE מורכבת מהזוית הישרה של המלבן, וזוית הבסיס של משולש DEC ולכן גודלה כסכום זויות אלה. אותו הדבר נכון גם לגבי זוית BCE ולכן הזוויות ADE ו- BCE שוות.
מכאן כי המשולשים ADE ו- BCE חופפים לפי משפט צ.ז.צ ולכן כל זויותיהם וכל צלעותיהם שוות בהתאמה, ובפרט AE = BE.

dafnaw
22-07-2008, 13:41
סעיף ב'

בסעיף א' הוכחנו כי AE = BE ולכן משולש AEB הוא משולש שווה שוקיים ולכן זוויות הבסיס שלו שוות.
נתון כי זוית הראש במשולש AEB היא בת 60 מעלות. מכיוון שבמשולש יש 180 מעלות, פירוש הדבר שסכום זוויות הבסיס במשולש AEB הוא 120ץ אבל מכיוון שזוויות אלה שוות זו לזו, הרי שגודלה של כל זוית בסיס היא 60 מעלות גם כן.
לכן משולש AE הוא משולש שכל זויותיו הן בנות 60 מעלות ולכן זהו משולש שווה צלעות.

dafnaw
22-07-2008, 13:51
סעיף ג'

מכיוון שלפי הנתונים משולש DEC הוא שווה שוקיים, ונתון כי זווית הראש היא בת 120 מעלות, הרי שזויות הבסיס הן בנות 30 מעלות כל אחת (הזויות CDE ו- DCE).
מכיוון שנתון כי ABCD הוא מלבן, הרי שכל זוג צלעות נגדיות שלו מקבילות ובפרט AB || CD.
בסעיף ב' הוכחנו כי משולש AEB הוא משולש שווה צלעות ולכן כל זויותיו בנות 60 מעלות ולכן גם משולש MEN הוא משולש שווה צלעות (זויות מתאימות בישרים מקבילים מחייבים זאת). לכן הזויות DME ו- CNE הן בנות 120 מעלות כל אחת כזויות צמודות.
מכיוון שבמשולש יש 180 מעלות, נקבל כי הזויות DEM ו- CEN הן בנות 30 מעלות כל אחת.
מכאן כי המשולשים DEM ו- CEN הם משולשים שווי שוקיים כך שמתקיים DM = ME וגם CN = NE.
אך מכיוון שמשולש MEN הוא שווה צלעות, הרי שמתקיים: MN = NE = ME ביחד נקבל כי DM = MN = NC כמבוקש.

DANs
22-07-2008, 14:31
תודה!!!!!!!!!!