PDA

צפה בגרסה המלאה : תרגיל מחצי גמר אולימפיאדה למתמטיקה



matan1212
14-03-2010, 22:53
פשט את הביטוי הזה:

\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{16}}+\frac{1}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{25}}


תשובה סופית:

\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}

Big
15-03-2010, 20:14
וואי ישבתי עכשיו שעה ורבע על החרא הזה

daniel_y
15-03-2010, 20:42
והצלחת?

Big
15-03-2010, 21:24
חחחחחחחחחח לא אני מת לראות אולי מישהו הצליח.

גל_כהן
16-03-2010, 09:25
נסתכל על המכנה הראשון (ואח"כ נעבור לשני המכנים האחרים) :
\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}.
נסדר את זה כסדרה :
\sqrt[3]{4} \ , \ \sqrt[3]{6} \ , \ \sqrt[3]{9}.
זוהי סדרה הנדסית בה :
a_1=\sqrt[3]{4} \ , \ q=\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \ , \ n=3.
נמצא את סכום הסדרה :
S=\frac{4^{\frac{1}{3}} \( \(\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)^3-1 \)}{\sqrt[3]{\frac{3}{2}}-1} ולבסוף :
S=\frac{4^{\frac{1}{3}}}{2(\sqrt[3]{\frac{3}{2}}-1)}
ועל כן השבר הראשון הוא :
\frac{2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}}-2}{2^{\frac{2}{3}}}=\frac{2 \sqrt[3]{3}-2 \sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}.
באופן דומה מראים כי השבר השני מסתכם לכדי \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}
והשבר השלישי מסתכם לכדי \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}
ובאם סוכמים את שלוש התוצאות שלעיל מקבלים :
\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}

יום טוב :) !

Bogri74
16-03-2010, 10:30
גל, פתרון יפה!

matan1212
17-03-2010, 01:25
נסתכל על המכנה הראשון (ואח"כ נעבור לשני המכנים האחרים) :
\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}.
נסדר את זה כסדרה :
\sqrt[3]{4} \ , \ \sqrt[3]{6} \ , \ \sqrt[3]{9}.
זוהי סדרה הנדסית בה :
a_1=\sqrt[3]{4} \ , \ q=\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \ , \ n=3.
נמצא את סכום הסדרה :
s=\frac{4^{\frac{1}{3}} \( \(\sqrt[3]{\frac{3}{2}} \)^3-1 \)}{\sqrt[3]{\frac{3}{2}}-1} ולבסוף :
s=\frac{4^{\frac{1}{3}}}{2(\sqrt[3]{\frac{3}{2}}-1)}
ועל כן השבר הראשון הוא :
\frac{2 \sqrt[3]{\frac{3}{2}}-2}{2^{\frac{2}{3}}}=\frac{2 \sqrt[3]{3}-2 \sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}.
באופן דומה מראים כי השבר השני מסתכם לכדי \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{3}
והשבר השלישי מסתכם לכדי \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}
ובאם סוכמים את שלוש התוצאות שלעיל מקבלים :
\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}

יום טוב :) !


פיתרון יפה

בוא נראם מישהו יעלהע פיתרון נוסף

גל_כהן
17-03-2010, 02:47
מתן, אתה מכיר פתרון אחר? אולי תשתף אותנו? התמודדת באולימפיאדה?

matan1212
17-03-2010, 03:15
מתן, אתה מכיר פתרון אחר? אולי תשתף אותנו? התמודדת באולימפיאדה?


לא השתתפתי

פיתרון נוסף מסתמך על a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

גל_כהן
17-03-2010, 03:17
אתה מוכן להראות אותו?

matan1212
17-03-2010, 03:33
\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}} \times \frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}

הסימן x זה כפל

עכשיו לפי הנוסחא שהבאתי למעלה זה הופך להיות

\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}{2-3}

\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}

עושים ככה לאורך כל קטע וקטע ומגיעים לתוצאה

גל_כהן
17-03-2010, 03:37
לא ממש ברור, תוכל אולי לכתוב בוורד או בעזרת MathType או משהו דומה?

matan1212
17-03-2010, 03:40
לא ממש ברור, תוכל אולי לכתוב בוורד או בעזרת mathtype או משהו דומה?


חח אני באמצע לכתוב את זה קצת מתקשה אבל אני עורך לראות איך ייצא ועורך את זה שוב

גל_כהן
17-03-2010, 03:43
פתרון נפלא, מתן, כל הכבוד.

יום טוב :) !

lioryor
11-03-2011, 20:45
איפה הפתרון של מתן? לי יש פתרון גם יפה תנסו עשיתי דבר כזה

\sqrt[3]{2}=x

\sqrt[3]{3}=y

\sqrt[3]{5}=y

ולמשל את 4 עשיתי 2*2 6 2*3 וכך הלאה מתן מה הדרך שאתה עשיתה?

אריאל
04-11-2011, 09:11
הפתרון של מתן שוחזר, אתה מוזמן להסתכל.