PDA

צפה בגרסה המלאה : אינטגרלים מאתגרים



dan123a67
19-08-2008, 20:35
היי,
חשבתי לשים פה כמה אינטגרלים מאתגרים. אני אנסה להשתתף, לעזור ולכוון בפתרון התרגילים ...;)

חשבו את האינטגרלים הבאים:


http://img391.imageshack.us/img391/8414/20429154ju3.png

dan123a67
07-11-2008, 17:21
הקפצה

אריאל
09-12-2008, 10:55
אולי תתן רמזים.. נתחיל באינטגרל הראשון .

dan123a67
16-01-2009, 20:33
הקפצה..

רמז: שימוש בשיטת הצבה.

:47_002:

dan123a67
16-01-2009, 20:43
היי,

אם מישהו צריך עוד רמזים אני אשמח לתת.. :14_002:
השאלות בהחלט נחמדות..שווה לנסות. :47_002:

גל_כהן
25-01-2009, 15:33
הצעתי לתרגיל הראשון :
http://emath.co.il/integral1.gif

יום טוב :) !

dan123a67
25-01-2009, 20:56
פתרון מדוייק !! :78::40_002:

The Merovingian
26-01-2009, 06:07
הנה פתרון אפשרי לשאלה השנייה:


http://i39.tinypic.com/4sgz0o.gif

The Merovingian
26-01-2009, 07:37
פתרון לשאלה ג' למטה, אך לפני כן תיקון קטן לפתרון הקודם שלי:

ה ln צריך להיות בערך מוחלט, וכמובן שכחתי להוסיף C לאחר ביצוע האינטגרל...

להלן הפתרון לשאלה ג', שוב הצבה פשוטה מביאה לפתרון מהיר:


http://i44.tinypic.com/xlbk8p.gif

גל_כהן
26-01-2009, 17:23
יש לך טעות בפתרון לתרגיל השני שכן מתקבל : t^2+1=e^x , בעוד רשמת מינוס ,
ועל כן כל האינטגרל אינו נכון.
תקן זאת והעלה פתרון חדש.

יום טוב :) !

dan123a67
26-01-2009, 21:08
היי,

The Merovingian כל הכבוד!!! :40_002: :)
כמו שגל אמר יש טעות בתרגיל הראשון . . אבל אחרי התיקון הפתרון הוא ישיר (קצר יותר)..

נסו את התרגילים הבאים. :)

The Merovingian
27-01-2009, 05:07
היי,

The Merovingian כל הכבוד!!!
כמו שגל אמר יש טעות בתרגיל הראשון . . אבל אחרי התיקון הפתרון הוא ישיר (קצר יותר)..

נסו את התרגילים הבאים.
לעזאזל.. טוב אני לא מופתע, החישוב נעשה אחרי לילה לבן:canny:
בכל אופן הרעיון היה די ברור.

לגבי השאלה החמישית, הפתרון די פשוט כך שאתן לאחרים הזדמנות לנסות.
ולגבי השאלה הרביעית - זה נסיון לרצח? ;)
ניסיתי במספר דרכים, למראית עין תרגיל פשוט, וזה לא הולך. פירוק לגורמים למשל הוביל למכפלת 4 פולינומים ריבועיים במכנה, אך לא מצאתי דרך להפריד בין המכפלות (בהפיכה לסכומים ע"י שברים חלקיים).
אני מניח שבשלב מסוים יש להשתמש בהצבה, שכן זה מוטיב חוזר בשאלותיך..
בכל אופן רמז קטן יתקבל בשמחה (:


הנה התיקון לשאלה 2:

http://i40.tinypic.com/16jkl21.gif

audiTT
26-02-2009, 15:52
הנשמה לשרשור ..... :85:

פתרון לאינטגרל אחרון (ייתכנו טעויות)

ועוד 2 אינטגרלים :


\int\frac{1}{cos^4{x}}dx

\int\frac{1}{sin^3{x}}dx

אריאל
21-06-2009, 13:35
לגבי הפתרון שלך AUDITT, בסוף, לא מתקיים :

\int{\frac{1}{t^2+1}=-0.5ln(t^2+1)

נראה לי הפכת שם בין הביטויים ונראה כי בסוף זה איכשהו יוצא בסדר.. כנראה שהבאת את זה בתור נוסחא(אני מדבר על השורה הרביעית מהסוף)

אריאל
21-06-2009, 22:37
מצרף פתרון לאינטגרל

\int{\frac{1}{sin^3x} }

אריאל
21-06-2009, 23:09
לגבי האינטגרל \int{\frac{1}{cos^4x}dx

נציב :

tgx=t \\ dt=\frac{1}{cos^2x}dx

מתקיים : \int{\frac{1}{cos^4x}dx = \int{\frac{1}{cos^2x} \frac{dx}{cos^2x}}

וידועה הזהות : cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x}=\frac{1}{1+t^2}

נציב, ומתקיים :

\int{\frac{1}{cos^2x} \frac{dx}{cos^2x}} = \int{(1+t^2)dt}=t+\frac{t^3}{3}+C=tgx+\frac{tg^3x} {3}+C

dan123a67
25-08-2009, 18:55
היי,
הנה כמה תרגילים שמצאתי...
לא ניסיתי לפתור את כולם ..

dan123a67
25-08-2009, 19:02
תרגיל 8
מי שלא מכיר :
secx = 1/cosx , גרף הפונקציה מצורף.

dan123a67
25-08-2009, 19:02
תרגיל 9

dan123a67
25-08-2009, 19:02
תרגיל 10

dan123a67
25-08-2009, 19:03
תרגיל 11

dan123a67
02-09-2009, 17:14
פתרונות לאינטגרלים :dance3:

אריאל
03-09-2009, 00:39
פתרונות יפים ומדויקים תודה :laugh:

yagel
20-05-2010, 12:25
מישהו יוכל לעזור לי בפתרון הבעיה
http://img413.image (http://img413.imageshack.us/img413/9719/452f.jpg)shack.us/img413/9719/452f.jpg (http://img413.imageshack.us/img413/9719/452f.jpg)

תודה

am12348
03-06-2011, 14:16
שלום לכולם,

יתכן שכבר מישהו פתר

מצ"ב קובץ עם חישוב האינטגרל החמישי

אתם מוזמנים לעיין בפתרון ולהעיר את הערותיכם

עמוס
חשבו את האינטגרלים הבאים:


http://img391.imageshack.us/img391/8414/20429154ju3.png[/QUOTE]

אריאל
07-06-2011, 17:20
שלום לכולם,

יתכן שכבר מישהו פתר

מצ"ב קובץ עם חישוב האינטגרל החמישי

אתם מוזמנים לעיין בפתרון ולהעיר את הערותיכם

עמוס
חשבו את האינטגרלים הבאים:


http://img391.imageshack.us/img391/8414/20429154ju3.png[/quote]

פתרון מצוין !

rannnnn
08-06-2011, 10:29
אהלן

עריכה: לא ראיתי שהאינטגרל נפתר חחח מצטער :)
ניסיון שלי לאינטגרל הראשון:
http://www.zigijloh.com/images/qu5xwqlkw3p2hm0.gif
יום טוב :)

rannnnn
08-06-2011, 14:18
עוד שני אינטגרלים אתם מוזמנים לנסות:
http://www.zigijloh.com/images/qy53bphtyef85vj.gif
בהצלחה :)

dan123a67
08-06-2011, 17:48
שלום,

מצורף.

rannnnn
08-06-2011, 18:01
שלום,

מצורף.

אהלן דן
לגבי הפתרון לתרגיל השני נכון :)
לגבי התרגיל הראשון לא הבנתי זאת התשובה שיצאה לך?
או שלפי זהות הגעת למה שווה cos^5x ומשם צריך להמשיך לעשות אינטגרל?
:)

dan123a67
08-06-2011, 19:02
צריך להציב את הזהות ולפתור את האינטגרל שנשאר שהוא בסיסי

rannnnn
08-06-2011, 19:33
אוקיי
יש לי שאלה קטנה
באיזה זהות השתמשת?
לי אישית יצאה התשובה:
http://www.zigijloh.com/images/ouasa5zdn8om198.gif

עריכה: אם יש אולי רמז לשאלה 4 שפרסמת זה יהיה נחמד :)

:)

rannnnn
08-06-2011, 21:30
אהלן
ניסיון לפתור את תרגיל 8:
מקווה שזה נכון
עריכה: תודה לגל שתיקן אותי על טעות הקלדה
http://www.zigijloh.com/images/yzmm9x7h5xntw4c.gif
:)

גל_כהן
08-06-2011, 22:06
מצטער לאכזב אותך, אבל \frac{1+sin^2x}{1+sinx} \neq 1.

rannnnn
08-06-2011, 22:09
מצטער לאכזב אותך, אבל \frac{1+sin^2x}{1+sinx} \neq 1.

עריכה שמתי לב לטעות
אהלן גל
למה לאכזב? מטעויות לומדים :)
אבל לא הבנתי על מה אתה מתכוון
אשמח לתשובה
:)

גל_כהן
08-06-2011, 22:16
רשמת באמצע הפתרון :
f'(x)=\frac{cos^2x+sinx[sinx+1]}{cos^2x}=\frac{1+sin^2x}{cos^2x}.
כנראה שהריבוע על הסינוס השתרבב לך, כי הוא לא צריך להיות שם.

אח"כ גררת את זה הלאה ורשמת :
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\frac{1+sin^2x}{cos^2x}}{ \frac{1+sinx}{cosx}}=\frac{1}{cosx}
והצמצום הזה הוא כמובן לא נכון. הכל נובע ממה שרשמת בנגזרת עצמה והריבוע שסתם הוכנס שם.

התוצאה הסופית נכונה ואכן מתקיים :
\frac{f'(x)}{f(x)}=sec(x).

באשר לאינטגרל :
\int{\[\frac{1}{1-u} \]}du=-ln|1-u|+C ולא כפי שנרשם.

לילה טוב :) !

rannnnn
08-06-2011, 22:21
רשמת באמצע הפתרון :
f'(x)=\frac{cos^2x+sinx[sinx+1]}{cos^2x}=\frac{1+sin^2x}{cos^2x}.
כנראה שהריבוע על הסינוס השתרבב לך, כי הוא לא צריך להיות שם.

אח"כ גררת את זה הלאה ורשמת :
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{\frac{1+sin^2x}{cos^2x}}{ \frac{1+sinx}{cosx}}=\frac{1}{cosx}
והצמצום הזה הוא כמובן לא נכון. הכל נובע ממה שרשמת בנגזרת עצמה והריבוע שסתם הוכנס שם.

התוצאה הסופית נכונה ואכן מתקיים :
\frac{f'(x)}{f(x)}=sec(x).

באשר לאינטגרל :
\int{\[\frac{1}{1-u} \]}du=-ln|1-u|+C ולא כפי שנרשם.

לילה טוב :) !

חחח מצטער הייתה לי טעות הקלדה עכשיו שמתי לב בטעות באמת כתבתי בריבוע שבדף אצלי לא כתוב בריבוע :)
בקרוב אני אערוך :)
עוד אינטגרל:
http://www.zigijloh.com/images/jouge6pr95w49ou.gif
בהצללחה :)

גל_כהן
08-06-2011, 23:11
sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \right \frac{1}{sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2}{e^x-\frac{1}{e^x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}.
נסמן e^x=t \right dx=\frac{dt}{e^x} \right \int{\[\frac{2e^x}{e^{2x}-1} \]}dx=\int{\[\frac{2}{t^2-1} \]}dt.
ניעזר בפירוק לשברים חלקיים :
\frac{2}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1} \right At+A+Bt-B=2 \right A=1 \ , \ B=-1
ואז :
\int{\[\frac{2}{t^2-1} \]}dt=\int{\[\frac{1}{t-1} \]}dt-\int{\[\frac{1}{t+1} \]}dt=ln(t-1)-ln(t+1)=ln\(\frac{e^x-1}{e^x+1} \)+C

לילה טוב :) !

jinni
08-06-2011, 23:20
sinh^{-1}x היא הפונקציה ההפוכה ל-sinh ולא ההופכית אבל פתרון יפה :)

rannnnn
08-06-2011, 23:26
sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \right \frac{1}{sinh(x)}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=\frac{2}{e^x-\frac{1}{e^x}}=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}.
נסמן e^x=t \right dx=\frac{dt}{e^x} \right \int{\[\frac{2e^x}{e^{2x}-1} \]}dx=\int{\[\frac{2}{t^2-1} \]}dt.
ניעזר בפירוק לשברים חלקיים :
\frac{2}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1} \right At+A+Bt-B=2 \right A=1 \ , \ B=-1
ואז :
\int{\[\frac{2}{t^2-1} \]}dt=\int{\[\frac{1}{t-1} \]}dt-\int{\[\frac{1}{t+1} \]}dt=ln(t-1)-ln(t+1)=ln\(\frac{e^x-1}{e^x+1} \)+C

לילה טוב :) !

אהלן
פתרון באמת יפה כמו ש jinni אמר
אבל הכוונה הייתה : arc sinh(x) zzz
גם אני בהתחלה שהביאו לי את התרגיל חשבתי כמוך
ואז העירו לי שהכוונה לפונקציה ההפוכה
מצטער שהטעתי ולא כתבתי ישירות arc sinh(x)

dan123a67
10-06-2011, 17:51
אוקיי
יש לי שאלה קטנה
באיזה זהות השתמשת?
לי אישית יצאה התשובה:
http://www.zigijloh.com/images/ouasa5zdn8om198.gif

עריכה: אם יש אולי רמז לשאלה 4 שפרסמת זה יהיה נחמד :)

:)

שוב, בפתרון כתבתי את הזהות שבה צריך להתשמש. כלומר, מציבים את הזהות באינטגרל ופותרים את האינטגרל שמתקבל (טרוויאלי)

אריאל
10-06-2011, 18:02
תרגיל 12 :

\int \frac{1}{(a^2+x^2) ^2} dx

כאשר a קבוע כלשהו שונה מאפס .

rannnnn
10-06-2011, 18:04
שוב, בפתרון כתבתי את הזהות שבה צריך להתשמש. כלומר, מציבים את הזהות באינטגרל ופותרים את האינטגרל שמתקבל (טרוויאלי)

אהלן
http://www.zigijloh.com/images/dgvp0y1zaqes1dx.gif
שבת שלום :)!

jinni
11-03-2012, 18:29
תרגיל 12

לקח לי זמן אבל הגעתי לפתרון
נתחיל בהעלמת הפרמטר וניעזר בהצבה שלt=x/a

\int \frac{1}{a^4 ((x/a)^2+1)^2} dx=\frac{1}{a^4} \int ( \frac{1}{(x/a)^2+1})^2 dx=\\
\frac{1}{a^4} \int ( \frac{1}{t^2+1})^2 \cdot a dt=\frac{1}{a^3}\int ( \frac{1}{t^2+1})^2 dt

עכשיו נטפל במקרה הזה:
אחרי כמה זמן של מחשבה ניתן להגיע לכך ש:
\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}=-\frac{2i}{(x^2+1)}
מכאן האינטגרל

\int (-\frac{1}{2i} \cdot (\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}))^2 dx=\\
-\frac{1}{4} \int (\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i})^2 dx=\\
-\frac{1}{4} (\int (\frac{1}{(x+i)^2}-\frac{2}{(x-i)(x+i)}+\frac{1}{(x-i)^2}) dx)=\\
-\frac{1}{4} (\int (\frac{1}{(x+i)^2} dx-\int \frac{2}{x^2+1} dx+\int \frac{1}{(x-i)^2}) dx)=\\
-\frac{1}{4} (-\frac{1}{x+i}-2\int \frac{1}{x^2+1} dx-\frac{1}{x-i})=\\
\frac{1}{4} (\frac{1}{x+i}+i\int (\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i} )dx+\frac{1}{x-i})=\\
\frac{1}{4} (\frac{1}{x+i}+i(log(x+i)-log(x-i) )+\frac{1}{x-i})


עכשיו נחזור למקרה הכללי

\frac{(\frac{1}{x/a+i}+i(log(x/a+i)-log(x/a-i) )+\frac{1}{x/a-i})}{4a^3}

jinni
11-03-2012, 19:02
רק עוד כמה שיפורים שאני מרגיש חייב לעשות :

\\
\theta=Arg(x+ia)\\
\frac{1}{4a^3}(\frac{a}{x+ia}+\frac{a}{x-ia}+i \cdot log(\frac{e^{i \cdot \theta}}{e^{-i \cdot \theta}}))=\\
\frac{1}{4a^3}(\frac{2a}{x^2+a^2}+i log(e^{2i\theta}))=\frac{1}{4a^3}(\frac{2a}{x^2+a^ 2}-2\arctan(\frac{a}{x}))+C=\frac{1}{2a^3}(\frac{a}{x ^2+a^2}-\arctan(\frac{a}{x}))+C