מערכת משוואות אי הומוגניות

[מאור בחמט]

שלום ! קיבלתי שאלה אחת בשיעורי בית שהיא מורכבת מ2 טענות וצריך להגיד אם הן נכונות או לא , קצת ניתקעתי בזה ואשמח מאוד לעזרה . מקור השאלה שיעורי בית של או"פ .
נתונה מערכת משוואות אי-הומוגניות של k משוואות ב n נעלמים .
1 אם למערכת אין פתרון אז k \geqn
(פה ממש אין לי כיוון אפילו איך לגשת לשאלה )
2 אם המטריצה המורחבת שקולת שורות למטריצה עם שורת אפסים , אז למערכת יש אינסוף פתרונות .
פה אני כמעט בטוח שהטענה נכונה מפני שבגירוג הסופי אם אני מקבל שורת אפסים טכנית אני יכול למחוק אותה ואז למעשה דרגת החופש שלי גדל ואני בעצם מוסיף עוד פרמטר וככה יוצא שאני מקבל אינסוף פתרונות למערכת . (לא בטוח אבל זה הכיוון לדעתי )
המון תודה מראש מאור :)

[אריאל]

1. לא נכון

דוגמא נגדית :

I. \ x+y=1 \\ II. \ x-y=0

וקל לראות שהמערכת הזאת היא אי הומוגנית וכמובן k=n ועדיין יש פתרון למערכת..

[אריאל]

2. הרעיון שלך נכון אבל צריך להתחשב בכל המקרים, לדוגמא קח את המקרה הבא :

I. \ x+y=1 \\ II. \ x-y=0 \\ III. \ 2x+0y=1

ויש רק פתרון 1 למערכת הזאת...

והמטריצה :

111 \\ 1(-1)0 \\ 201

שקולת שורות למטריצה עם שורת אפסים

שבוע טוב

[מאור בחמט]

המון תודה אריאל :)
וחג שמח

[unios]

1. לא נכון

דוגמא נגדית :

I. \ x+y=1 \\ II. \ x-y=0

וקל לראות שהמערכת הזאת היא אי הומוגנית וכמובן k=n ועדיין יש פתרון למערכת..
אחי, הדוגמא שלך לא סותרת. המשפט הוא אם אין פתרון אז k>=n זאת אומרת, אתה צריך לקיים קודם כל את התנאי של מערכת ללא פתרון ושאז הטענה לא תתקיים.
בכל מקרה זה בטוח נכון, כי ברגע ש k<n, זאת אומרת כשיש לך יותר משתנים ממשוואות, אז יש לך דרגת חופש ותמיד יהיה פתרון -> יעני תוכיח בשלילה ;)