PDA

צפה בגרסה המלאה : סדרה



Hurricane
12-05-2010, 11:14
מצא את האיבר הבא של הסדרה:
1,2,3,5,7,11,15,22,30

גל_כהן
12-05-2010, 12:48
ברק, שאלה יפה וזוהי כמובן סדרת החלוקות (רמנוג'ן, אחד מגיבורי הסאגה סביב השערת רימן, עסק
בה לא מעט והוא והארדי פיתחו נוסחה) הקובעת את מספר הדרכים בהן ניתן להרכיב מספר טבעי כלשהו
בעזרת סכום של מספרים טבעיים.
כך ניתן לרשום כי הדרך היחידה להרכיב את 1 היא 1,
הדרכים להרכיב את 2 הן 2 ו-1+1, הדרכים להרכיב את 3 הן 3,1+2,1+1+1 (לסדר אין חשיבות) וכך
הלאה. אתה הצגת את הסדרה עד 9 (יש 30 דרכים להרכיבו) ואת המספר הבא, הוא 10, ניתן להרכיב
ב-42 אופנים שונים.
ככל שהמספר גדול יותר, כך כמות הדרכים להרכיב אותו עולה.

על פי הארדי ורמנוג'ן, הקירוב האסימפטוטי למספר החלוקות של מספר (Numerical Partitions) הוא :
P(n) \sim \frac{1}{4n sqrt{3}}e^{\pi sqrt{\frac{2n}{3}}}
(כמובן כאשר n \right \infty).
לאחר מכן רמנוג'ן אף הדהים את הארדי ואת ליטלווד והוציא כמעשה קסמים את הנוסחה :
P(n)=\frac{1}{\pi sqrt{2}}\sum_{1 \leq k \leq N} sqrt{k} \(\sum_{h \ mod \ k} \omega_{h,k}e^{-2\pi i \frac{hn}{k}} \) \frac{d}{dn} \(\frac{cosh \(\frac{n sqrt{n-\frac{1}{24}}}{k} sqrt{\frac{2}{3}} \)-1}{sqrt{n-\frac{1}{24}}} \)+O(n^{-\frac{1}{4}})
מישהו רוצה להתחיל לפענח את זה?

כמו כן, בשנת 1937 האנס ריידמאכר גילה נוסחה אחרת ששיפרה את תוצאתם של הארדי-רמנוג'ן.
ופה נגמר הפרק ההיסטורי על פונקצית החלוקה.

להעמקה נוספת קראו בויקיפדיה וב-http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html

יום טוב :) !

asherm01
12-05-2010, 13:03
נראה ונשמע מעניין- אני רוצה לדעת עוד...
תוכלו קצת להרחיב?- את העקרון הבנתי...

matan1212
12-05-2010, 13:23
אז אמורה להיות המספר הבא.?42?

מאור עטר
12-05-2010, 13:27
רוצים את האיבר הראשון...

גל_כהן
12-05-2010, 13:57
רוצים את האיבר הבא והוא אכן 42 - מספר האופנים בהם ניתן לרשום את המספר 10.
למי שמעוניין, שייכנס לקישור :
http://theory.cs.uvic.ca/gen/nump.html
יקיש מספר בין 1 ל-50 ויקבל את החלוקות השונות.
(ניתן גם לקבוע בתיבה של k, את הכמות של מספרים שירכיבו את המספר n, כך שאם
תבחרו n=10 , k=2 אזי תקבלו את חמש האפשרויות : 5+5,9+1,8+2,7+3,4+6).

יום טוב :) !

Hurricane
12-05-2010, 14:13
גל, הנוסחה מפחידה מדי. ם_ם איך בכלל התחילו להוכיח את הדברים האלו? באמצעות תורת המספרים? אם כן אני עכשיו טס להוריד ספר. :p
מאור, בהתחלה אכן ביקשתי את האיבר הראשון, אבל אחר כך שיניתי את זה לאיבר הבא בסדרה.

moni
12-05-2010, 14:18
אין ספק שהמתמטיקה זה עולם קסום

גל_כהן
12-05-2010, 14:19
ברק, אתה מוזמן לחפש את רמנוג'ן (שינוח על משכבו בשלום, הוא באמת היה מתמטיקאי משכמו ומעלה)
ולשאול אותו.
אישית, אני לי מושג מה אומרים חצי מהדברים בנוסחה שלו, אני קראתי עליה בספר "המוזיקה
של המספרים הראשוניים"... ושלא נתחיל לדבר על ההוכחה, כי אליה אין לי שמץ איך הוא הגיע.
כל העיסוק בהוכחות האלה אכן נעשה בעזרת תורת המספרים וחקירה של פונקציות כאלה ואחרות.
אתה יכול לנסות לקרוא ולהבין, אני מקווה שתצליח להבין יותר ממני.

moni
12-05-2010, 14:22
סיפור החיים רמנוג'ן מרתק...
הסיפור שלו מראה כמה העולם לא מוכן לקבל אנשים שונים
הוא היה כותב מאמרים אך בגלל שלא היה כתובים בצורה הנהוגה לעגו עליו ועל התיאוריות שלו

גל_כהן
12-05-2010, 14:29
רז, מתמטיקאים לא קיבלו את הגישה שלו, אף אחד לא לועג עליו. עבודתו עם ג.ה. הארדי היא אחת
מהמרשימות אי פעם. ההודי הצנוע ממדרס פשוט הצליח לכתוב חצי מהמתמטיקה שפותחה עד לימיו
במו עצמו והוכיח דברים שרימן הוכיח עשרות שנים לפניו מבלי שהוא ידע בכלל על המתמטיקאי הדגול
והחשוב הזה.

ותסכים איתי שלהגיד שמתקיים 1+2+3+...=-\frac{1}{12} זה לא הדבר הכי שפוי בעולם
ולא פלא שמתמטיקאים רבים לא קיבלו אותו, לא מתוך לעג כלפיו, אלא מתוך אי הבנה של תפיסת עולמו
והצורה בה בחר. היום אין מתמטיקאי אחד שיחלוק על פועלו של האיש שהלך לעולמו בגיל צעיר, אולי
צעיר מדי.

וסיפור נוסף - מספר הארדי-רמנוג'ן :
אומרים שבזמן שרמנוג'ן שכב בבית החולים חולה בשחפת, הגיע הארדי לביקור.
הארדי אמר בפניו את מספר המונית שבה הגיע - מונית מספר 1729 והפטיר שזהו מספר
משעמם למדי.
רמנוג'ן פסל אותו ואמר "לא, הארדי, הוא לא משעמם בכלל, להיפך. זהו המספר הקטן ביותר שניתן
לרשום כסכום של שני מספרים מעוקבים בשני אופנים שונים".
ההודי אמר וצדק - 1729=10^3+9^3=12^3+1^3.

יום טוב :) !

Hurricane
12-05-2010, 14:45
ועוד בתקופה ההיא לא היו מחשבים. ם_ם פשוט גאונים.

ortald
12-05-2010, 14:48
רז, מתמטיקאים לא קיבלו את הגישה שלו, אף אחד לא לועג עליו. עבודתו עם ג.ה. הארדי היא אחת
מהמרשימות אי פעם. ההודי הצנוע ממדרס פשוט הצליח לכתוב חצי מהמתמטיקה שפותחה עד לימיו
במו עצמו והוכיח דברים שרימן הוכיח עשרות שנים לפניו מבלי שהוא ידע בכלל על המתמטיקאי הדגול
והחשוב הזה.

ותסכים איתי שלהגיד שמתקיים 1+2+3+...=-\frac{1}{12} זה לא הדבר הכי שפוי בעולם
ולא פלא שמתמטיקאים רבים לא קיבלו אותו, לא מתוך לעג כלפיו, אלא מתוך אי הבנה של תפיסת עולמו
והצורה בה בחר. היום אין מתמטיקאי אחד שיחלוק על פועלו של האיש שהלך לעולמו בגיל צעיר, אולי
צעיר מדי.

וסיפור נוסף - מספר הארדי-רמנוג'ן :
אומרים שבזמן שרמנוג'ן שכב בבית החולים חולה בשחפת, הגיע הארדי לביקור.
הארדי אמר בפניו את מספר המונית שבה הגיע - מונית מספר 1729 והפטיר שזהו מספר
משעמם למדי.
רמנוג'ן פסל אותו ואמר "לא, הארדי, הוא לא משעמם בכלל, להיפך. זהו המספר הקטן ביותר שניתן
לרשום כסכום של שני מספרים מעוקבים בשני אופנים שונים".
ההודי אמר וצדק - 1729=10^3+9^3=12^3+1^3.

יום טוב :) !


אתה מדהים אותי כל פעם מחדש.. מאיפה אתה יודע את כל זה ?!?

המתמטיקאי הזה פשוט גאוון!!

moni
12-05-2010, 14:54
http://www.hayadan.org.il/wp/topic/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%90%D7%99%D 7%9D/
פה יש כמה מאמרים טובים על גדולי המתמטיקאים בכל הזמנים

Hurricane
12-05-2010, 14:58
שמעתי שכשגאוס היה בן 3, הוא תיקן טעות מתמטית של אבא שלו. ם__ם
ועוד לחשוב שבגיל 10, כשחיטטנו באף, גאוס מצא נוסחה לסכום של סדרה חשבונית. O_o

moni
12-05-2010, 14:59
שמעתי שכשגאוס היה בן 3, הוא תיקן טעות מתמטית של אבא שלו. ם__ם
ועוד לחשוב שבגיל 10, כשחיטטנו באף, גאוס מצא נוסחה לסכום של סדרה חשבונית. O_o
גאוס לדעתי הגדול ביותר
הוא לא רצה שילדיו יעסקו במתמטיקה כדי שלא יביישו את שמו

Hurricane
12-05-2010, 15:03
טוב בידען כתוב שבגיל 7 הוא תיקן את אבא שלו, לא בגיל 3 (קראתי את זה באתר אחר).

מאור עטר
12-05-2010, 15:29
גאוס לדעתי הגדול ביותר
הוא לא רצה שילדיו יעסקו במתמטיקה כדי שלא יביישו את שמו
גאון גאון אבל קצת ענווה לא הייתה מזיקה לו....