PDA

צפה בגרסה המלאה : אתגר בחזקות



cross_color
14-10-2008, 17:26
הוכיחו שכל מספר גדול מ2 בחזקת שלוש אפשר להציג כהפרש של שני ריבועים כלומר
n^3=a^2-b^2
דוגמה למספר 3 אפשר להציג
2^3- 2^6 = 3^3

גל_כהן
14-10-2008, 18:19
היי , הנה שתי הצעות :
1 ) סכום המספרים המעוקבים מ-1 עד n ניתן על פי הביטוי :
\sum_{k=1}^{n}{k^3}=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 קל להוכיח זאת באינדוקציה.
כמו כן מתקיים :
n^3=\sum_{k=1}^{n}{k^3}-\sum_{k=1}^{n-1}{k^3}
אבל :
\sum_{k=1}^{n-1}{k^3}=\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2
ומכאן :
n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2-\left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2
כלומר המספר המעוקב n^3 הוא ההפרש בין שני ריבועים.

2 ) אם מתקיים : n^3=x^2-y^2 , אזי : n^3=(x-y)(x+y)
נרשום בהתאמה :
x-y=n \\ x+y=n^2
ומתוך כך נקבל את הביטויים עבור x ו-y בתלות ב-n :
x=\frac{n(n+1)}{2} \ , \ y=\frac{n(n-1)}{2}
מכיוון שמכפלת שני מספרים עוקבים היא בוודאי זוגית אזי x ו-y הינם מספרים שלמים ומכאן
שהמספר המעוקב n^3 הוא ההפרש בין שני ריבועים שלמים.

ואתגר נוסף בחזקות - מצאו את המספר הקטן ביותר הניתן להצגה כהפרש של שני ריבועים ב-4
דרכים שונות וציינו את 4 הדרכים.

יום טוב :) !

cross_color
14-10-2008, 18:39
גל -פתרונות יפים
*בקשר לאתגר הנוסף לאיזה קבוצה המספר הקטן שייך?(שלמים,טבעיים,אי שלילים)
והנה עוד אתגר נחמד
הוכיחו ששום מספר בסדרה
.... 11,111,1111,11111
אינו ריבוע שלם

גל_כהן
14-10-2008, 18:43
אני מדבר על המספר הטבעי הקטן ביותר המקיים את התנאי - אם תוכל למצוא גם עבור שדות מספרים
אחרים לך על זה.

בקשר לאתגר שנתת - אני ארשום פתרון בהמשך הערב עקב כך שאני מעט עסוק כרגע.

יום טוב וחג שמח :) !

cross_color
16-10-2008, 14:35
רמז לאתגר שהבאתי:
3 + 08....1111 = 11111...11

cross_color
16-10-2008, 19:05
היות ואין היענות (כנראה שזה לא מעניין אף אחד...), אני מציג פתרון ופורש מהנושא
3 + 08....1111 = 11111...11
08....11111 מתחלק ב 4 ללא שארית (בגלל שמסתיים ב 08)
לכן 3 + 08....1111 = 11111...11
הוא מהצורה 4K+3
עפ משפט החלוקה עם שארית(b> r > = 0 a=qb+r ) אפשר בקלות לבדוק שריבוע של מספר אף פעם לא ישאיר שארית 3 בחלוקה ב 4 ( מספר בריבוע הוא מהצורה 4K או 8K+1)
מש"ל
*(מספרים מהצורה 11111...11 נקראים R(n)zz מהמילה האנגלית repunits)

גל_כהן
16-10-2008, 19:15
cross_color - אחלה אתגר ואחלה פתרון לאתגר שהצגת.
אגב , האם כבר מצאת את התשובה לאתגרון שצירפתי?

יום טוב :) !

cross_color
16-10-2008, 19:47
כן לדעתי מצאתי,
ננסח את הבעיה באופן מתמטי
n=a^2-b^2
כאשר n שייך לטבעיים וa,b שייכים לשלמים
n=a^2-b^2=(a-b)zz*(a+b)zz
הגורמים האלה חייבים להיות מחלקים של n בגלל שיש 4 דרכים שונות להציג את המספר n כהפרש של שני ריבועים לn חייבים להיות לפחות 4 מחלקים בדיקה מראה שהמספר הטבעי הקטן ביותר העונה על הדרישות הנל הוא 15 ו ארבעת הדרכים הן
2^( 7-)- 2^8 =15
2^( 1-)- 2^4 =15
2^ 1- 2^4 =15
2^( 7+)- 2^8 =15

אריאל
16-10-2008, 19:50
cross_color , קודם כל לא מצאתי מילה כזו " repunits"
ודבר שני, למה פרשת?
אשמח לראות עוד אתגרים עם פתרונות (ברגע שאפחד לא מצליח) מה רע שתעשיר אותנו עם הידע שלך?

גל_כהן
16-10-2008, 19:55
cross_color , זו לא הייתה כוונתי - התכוונתי ארבע הצגות שונות במספרים טבעיים
בלבד - גם המחסר והמחוסר הינם טבעיים.

יום טוב :) !

cross_color
16-10-2008, 20:29
משיקולים קודמים ויחוס למחסר והמחוסר כמספרים טבעיים
9^2=512
כאשר a,b בהתאמה
(129,127)
(66,62)
(36,28)
(24,8)
*אגב אתגרון ממש יפה
הרחבה לאתגרון הראה שלכל n טבעי קיים מספר טבעי שניתן להצגה כהפרש של שני ריבועים ב n דרכים שונות

גל_כהן
16-10-2008, 20:47
cross_color - ישנו מספר טבעי קטן יותר הניתן לכתיבה כהפרש של שני ריבועים טבעיים.

באשר להרחבה - אני אמתין עם הפתרון כדי לתת הזדמנות לחבר'ה.

יום טוב :) !

cross_color
16-10-2008, 21:08
נסיון 2
384
(28,20)

(35,29)

(50,46)

(97,95)
*אשמח אם תפרסם את הפיתרון להרחבה כי זו הייתה הנחה שלי לגבי הפרש שני ריבועים ואם יש לזה הוכחה הרי זה תכונה מדהימה ששווה לדעת ולהמשיך לחקור

גל_כהן
16-10-2008, 21:12
cross_color , זו הנחה מעניינת ואכן ישנה הוכחה לעניין ,
אך היא מסובכת לטעמי ואיני ממש מבין אותה לעומקה ולכן אעדיף שלא
לפרסם משהו שאיני בטוח בהבנתי המלאה בו.
באשר לנסיונך - נסה לרדת עוד יותר נמוך.

בהצלחה ויום טוב :) !

cross_color
16-10-2008, 21:34
ניסיון 3
105
(53,52)
(13,8)
(11,4)
(19,16)
*דרך אגב מצאתי דרך ממש נחמדה למצוא זוגות כאלה ואולי יש לי פתרון אלמנטרי להרחבה אבל אני צריך עוד קצת להתעמק בו ואז אני אפרסם

גל_כהן
16-10-2008, 21:48
עוד קצת...

יום טוב :) !

cross_color
17-10-2008, 10:48
ניסיון 4
96
(25,23)
(11,5)
(14,10)
(10,2)

גל_כהן
17-10-2008, 11:16
עכשיו זה הפתרון הנכון - 96 הוא המספר הטבעי הקטן ביותר הניתן להצגה
ב-4 צורות שונות כהפרש בין שני ריבועים.

יום טוב :) !

נ.ב
מה עם ההוכחה להרחבה?

cross_color
19-10-2008, 10:59
פיתרון להרחבה