PDA

צפה בגרסה המלאה : מקום גיאומטרי של משוואה בביטוי מרוכבים



יתרו
21-08-2010, 06:39
שאלה לקוחה מבגרות מועד חורף 2010 שאלון 807

שאלה מס' 3 סעיף א'

נתון מקום גיאומטרי המקיים: qqq [z - z(gag)+i] = [3z + z(gag) - i] qqq , z = x+yi
מצא את משוואת הישר , המשיק לגרף של המקום הגיאומטרי הנתון בנקודה שבה x = 0

הערה:
הסוגריים המרובעות במשוואה לעיל הם ערך מוחלט!

poos9
21-08-2010, 06:51
הנה הפיתרון :
|z-\overline{z}+i|=|3z+\overline{z}-i|
נציב z=x+yi במשוואה ונקבל :
|x+yi-(x-yi)+i|=|3x+3yi+x-yi-i|
|2yi+i|=|4x+2yi-i|
הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא בעצם הרדיוס שלו ולכן על פי הנוסחה :
|z|=R=\sqrt{x^2+y^2} .
נוציא שורש משני האגפים ואז נעלה בריבוע . מותר להעלות שני אגפי משוואה בריבוע כי שניהם חיוביים , כי ביטוי מתחת לשורש הוא תמיד חיובי. (חשוב לציין זאת במבחן כדי שלא ירדו נקודות מיותרות !):
|\sqrt{0^2+(2y+1)^2}|=|\sqrt{(4x)^2+(2y-1)^2}|
4y^2+4y+1=16x^2+4y^2-4y+1
נקבל את המקום הגיאומטרי :
y=2x^2 שזוהי בעצם פרבולה שמשיקה לציר ה-x בנקודה x=0 (שהיא נקודת מינימום) , כלומר המשיק לפרבולה הוא בעצם ציר ה-x שמשוואתו היא y=0 .
אבל אם לא שמים לב לזה יש לגזור את הפונקציה ולהציב במקום ה-x אפס .
נגזור :
y'=4x
y'_{(0)}=4*0=0
ה-y של הנקודה הוא גם 0 ולכן אם נציב בנוחסה למציאת משוואת ישר שאומרת :
y-y_{1}=m(x-x_{1}) נקבל כי הישר הוא y=0 .
מקווה שמובן ,
בהצלחה!

יתרו
21-08-2010, 07:31
תודה רבה לך.
לא יכולתי לצפות להסבר יותר מובן וברור מזה שנתת!

poos9
21-08-2010, 07:36
תודה רבה לך.
לא יכולתי לצפות להסבר יותר מובן וברור מזה שנתת!
בכיף! שמחה שעזרתי :)