PDA

צפה בגרסה המלאה : מרוכבים - משוואה



andreysheva
22-08-2010, 19:10
אשמח לקבל פתרון לתרגיל והסבר כמה שיותר מפורט
א.פתור את המשוואה:
http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP229619c22i8gh9f499g80000264a3ci1bd68i4ff?MSPSto reType=image/gif&s=9&w=119&h=24
ב.הוכח כי חמשת השורשים מהווים סדרה הנדסית, ומצא את מנת הסדרה.

matan1212
22-08-2010, 19:33
תהפוך לצורה הגיאומטרית..תשתמש במשפט דה מאובר ותמצא את 5 הפתרונות



z=(16-16sqrt{3}i)^{\frac{1}{5}

תהפוך את מה שיש בתוך הסוגריים לצורה הגיאומטרי ולאחר מכן תשתמש במשפט מאובר..

andreysheva
22-08-2010, 19:43
הבנתי שזה מה שאני צריך לעשות אבל אני לא מבין איך להוציא את כל ה 5 פתרונות, לפי מה שאני זוכר צריך להוסיף כמות מעלות מסוימת כל פעם אחרי שנעבור לצורה גאומטרית אבל אני לא יודע איך בדיוק

matan1212
22-08-2010, 19:44
הבנתי שזה מה שאני צריך לעשות אבל אני לא מבין איך להוציא את כל ה 5 פתרונות, לפי מה שאני זוכר צריך להוסיף כמות מעלות מסוימת כל פעם אחרי שנעבור לצורה גאומטרית אבל אני לא יודע איך בדיוק


שאתה מקבל את אלפא..אתה מקבל את זה בצורה של


x=m+kn -כאשר m זה המעלות ואז אתה מציב k=0,1,2,3 עד 4 אתה בונה 5 משוואות שם בצורה הגיאומטרי ופשוט מעביר לצורה האלגברית

andreysheva
22-08-2010, 19:52
כשמעבירים לצורה הטריגונמטרית יוצא
http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP262619c23256334639id00004g90257g5afeh771?MSPSto reType=image/gif&s=22&w=213&h=27
עכשיו איך אני מתאים את זה לנוסחא הנ''ל?(X=M+KN)

poos9
22-08-2010, 19:54
המשוואה :
z^5=16-16\sqrt{3}i
נעביר את המספר המרוכב 16-16\sqrt{3}i מההצגה האלגברית להצגה קוטבית . בהצגה קוטבית יש לחשב את הרדיוס ואת הזווית \theta .
על מנת לחשב את הרדיוס , נשתמש בנוסחה :\sqrt{x^2+y^2}=R
\sqrt{16^2+(16\sqrt{3})^2}=\sqrt{1024}=32 כלומר הרדיוס שווה ל32 .
עכשיו נעבור לחשב את הזווית \theta . זווית זאת ניתן לחשב על פי הנוסחה :
tan\theta=\frac{y}{x} .
במקרה שלנו :
tan\theta=\frac{-16\sqrt{3}}{16}
tan\theta=-\sqrt{3}
\theta=-60 \ or \ 120
עכשיו נסתכל על ההצגה האלגברית , ה-x הוא חיובי וה-y הוא שלילי . ולכן הזווית שמתאימה לנו היא 60- מעלות .
נחזור למשוואה :
(Rcis\theta)^5=32cis(-60)
R^5=32
R=2
cis5\theta=cis(-60)
5\theta=300+360k
נחלק ב-5 :
\theta=60+72k
Z_{k}=2cis(60+72k)
Z_{0}=2cis60=2cos60+2sin60i=1+\sqrt{3}i
Z_{1}=2cis132=2cos132+2sin132i=-1.338+1.486i
Z_{2}=2cis204=2cos204+2sin204i=-1.827-0.813i
Z_{3}=2cis276=2cos276+2sin276i=0.209-1.989i
Z_4=2cis348=2cos348+2sin348i=1.956-0.416i
כדי להוכיח שהסדרה היא הנדסית נשתמש בכלל הבא :
b^2=a*c
סדרה הנדסית נקראת כך משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.
כאשר a,b,c הם שלושה איברים סמוכים .
ניקח את Z_{0},Z{1},Z_{2}
הוכחה :
(2cis132)^2=2cis60*2cis204
4cis264=4cis264
התקבל פסוק אמת ולכן זוהי סדרה הנדסית .
נחשב את מנת הסדרה :
\frac{Z_{1}}{Z_{0}}=\frac{2cis132}{2cis60}=1*cis72 =cos72+sin72i=0.309+0.951i => עדיף תמיד לרשום בשתי ההצגות .
מקווה שברור,
בהצלחה!

matan1212
22-08-2010, 19:59
כשמעבירים לצורה הטריגונמטרית יוצא
http://www3.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP262619c23256334639id00004g90257g5afeh771?MSPSto reType=image/gif&s=22&w=213&h=27
עכשיו איך אני מתאים את זה לנוסחא הנ''ל?(X=M+KN)


z_{i}=2cis(-12+\frac{360k}{5})

andreysheva
22-08-2010, 19:59
תודה על ההסבר המפורט, אבל אני לא ממש מבין מאיפה

http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?cis5%5Ctheta=cis%28-60%29
http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?5%5Ctheta=300+360k
אשמח אם תסביר

poos9
22-08-2010, 20:02
תודה על ההסבר המפורט, אבל אני לא ממש מבין מאיפה

http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?cis5%5ctheta=cis%28-60%29
http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?5%5ctheta=300+360k
אשמח אם תסביר
פשוט הוספתי 360 מעלות ל60- , זאת המחזוריות .

andreysheva
22-08-2010, 20:05
אבל למה 5 אומגה שווה לזה?, מאיפה ה 5?

matan1212
22-08-2010, 20:07
אבל למה 5 אומגה שווה לזה?, מאיפה ה 5?


לפי משפט דה מאובר

poos9
22-08-2010, 20:08
אבל למה 5 אומגה שווה לזה?, מאיפה ה 5?
זה לפי משפט דה מואבר , את הריודס מעלים בחזקת 5 ואת הזווית כופלים פי 5 .
והזווית היא theta ולא אומגה .

matan1212
22-08-2010, 20:09
שיטה תשתמש בזה:

http://up203.siz.co.il/up3/4vjtmizn0ztu.jpg (http://www.siz.co.il/)

andreysheva
22-08-2010, 20:10
אוקיי תודה, נראה לי אני אסתדר מכאן :)

poos9
22-08-2010, 20:16
אגב במבחן אתה צריך לכתוב : Z_{1},Z_{2},Z_{3},Z_{4},Z_{5}
ולא כמו שאני רשמתי , פשוט כדי שתבין איזה kים הצבתי . אתה אמור לכתוב :
Z_{1} ולזכור שאתה בודק עבור k=0!